三角恒等变换之辅助角公式

1、三角恒等变换之辅助角公式-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company Onel辅助角公式a sin0 + b cos0 =a2 + b2 sin（0 + 中）在三角函数中，有一种常见而重要的题型，即化asin0+ bcos0为一个角的一个三角函数的形式，进而求原函数的周期、值域、单调区间等.为了帮助学 生记忆和掌握这种题型的解答方法，教师们总结出公式a sin 0 + b cos0 =a2 + b2 sin（0 + 中）或 a sin 0 + b cos0 =a2 + b2 cos（0 -），让学生在大量的训练和考试中加以记忆和活用.但事与愿违，半个学期不到，大部分学生都忘了，教

2、师不得不重推一遍.到了高三一轮复习，再次忘记，教 师还得重推!本文旨在通过辅助角公式的另一种自然的推导,体现一种解决问题的 过程与方法，减轻学生的记忆负担;同时说明“辅助角”的范围和常见的取角方法, 帮助学生澄清一些认识;另外通过例子说明辅助角公式的灵活应用，优化解题过程 与方法;最后通过例子说明辅助公式在实际中的应用,让学生把握辅助角与原生角 的范围关系,以更好地掌握和使用公式.一.教学中常见的的推导方法教学中常见的推导过程与方法如下1.引例例 1 求证：瑚3 sin a +cos a =2sin （ a ）=2cos （ a -）.63其证法是从右往左展开证明，也可以从左往右“凑”，使等式

3、得到证明,并得出 结论：一般地,asin0 +bcos0是否可以化为一个角的三角函数形式呢2.辅助角公式的推导例2化a sin0 + b cos0为一个角的一个三角函数的形式.E sin0 +b cos0 ）,解:asin0 +bcos0 =a2 + b2 （可见，。3sina +cosa可以化为一个角的三角函数形式.顼a 2 + b2 （a2 + b2ab令 ：=cos中，:订二sin中,则 asin0 +bcos0 = a2 + b2 （sin0 cos中 +cos 0 sin中）=Va2 + b2 sin（0 + 中）,（其中 tan中=一）aab 令 ：=sin中，:订 二cos中，则

4、asin +bcos = a2 + b2 (sin sin中 +cos cos中)=；a2 + b2 cos( -中),(其中tan中=三)其中中的大小可以由sin中、cos中的符号确定中的象限，再由tan中的值求出.或由tan中=b和(a,b)所在的象限来确定.a推导之后，是配套的例题和大量的练习.但是这种推导方法有两个问题:一是为什么要令ab:2 + b2 =cos中,：2 + b2二sin中让学生费解.二是这种“规定”式的推导，学生难记易忘、易错！二.让辅助角公式a sin 0 + b cos 0 =(a2 + b2 sin(0 +中)来得更自然能否让让辅助角公式来得更自然些这是我多少年

5、来一直思考的问题.2009年 春.我又一次代2008级学生时,终于想出一种与三角函数的定义衔接又通俗易懂 的教学推导方法.首先要说明，若a=0或b=0时，asin0 + bcos0已经是一个角的一个三角函数的形式，无需化简.故有ab尹0.1.在平面直角坐标系中，以a为横坐标,b 为纵坐标描一点P(a,b)如图1所示,则总有一个角中，它的终边经过点P.设OP=r,r=(a2 + b2，由三角函数的定义知b bsin中二二=,r a2 + b2aaco抑=r=T0K.所以 asin0 +bcos0 = wa2 + b2 cos中 sin0 +寸a2 + b2 sin中 cos0=a2 + b2 s

6、in(0 +中).(其中 tan中=) ayO中的终边P（b,a）r图2 x2.若在平面直角坐标系中，以b为 横坐标，以a为纵坐标可以描点P(b,a),如 图2所示,则总有一个角中的终边经过点P(b,a)，设 OP=r，则 r= (a2 + b2 .由三角函 数的定义知a asin 中=一=,r a2+ b2b bcos中二一二一.r yla 2 + b 2asin0 +bcos6 = va2 + b2 sin sin0 + a2 + b2 cos中 cos0=a2 + b2co s（0 一中）.（其中 tan中=例3化3sin 0 + cos0为一个角的一个三角函数的形式.解:在坐标系中描点

7、P(x/3,1)，设角中的终边过点P,则OPr=(，3) +12 =中=2 ,cos中=.K 八八八八八.j3sin 0+ cos0=2cos中 sin0 +2sin中cos0=2sin(0+ 中).tan中=-g = ； + 2k兀，. 3sin 0 + cos0 =2sin(0 + 二).66经过多次的运用,同学们可以在教师的指导下，总结出辅助角公式asin0 +bcos0 =0 hcc0 =、：a2 + b2 (sin0 + ,= cos0 )=cos0 ）=asin0 +bcos0 = a2 + b2 （我想这样的推导，学生理解起来会容易得多，而且也更容易理解八 八, abasin0

8、+bcos0 凑成 x/a2 + b2 (； 厂 sin + , cos。)的道理,以及为什么只有两种形式的结果.例4化sin a vcosa为一个角的一个三角函数的形式.解法一:点(1,、3)在第四象限.OP=2.设角中过P点.则J3 1sin中七,cos中=2 .满足条件的最小正角为5_兀3g = 5 兀 + 2k兀,k g Z. ,3. k 1 .、3、.、. sin a - 3 cos a = 2( sin a 2 cos a) = 2(sin a cos g + cos a sin g) =2sin( a +g) = 2sin( a + 3 兀 + 2k 兀)=2sin( a + 3

9、 兀).解法二:点P(- J3,1)在第二象限,OP=2，设角中过P点.则sin g = cos g22 .满足条件的最小正角为5 兀,g = 5 兀 + 2k兀,k g Z. k1 .3sin a J3 cos a = 2( sin a 2 cos a) = 2(sin a sin g + cos a cos g)=2cos(a g) = 2cos(a 5 兀一2k 兀)=2cos(a 5 兀).三.关于辅助角的范围问题由 a sin 0 + b cos 0 = a2 + b2 sin(0 +g)中，点66P(a,b)的位置可知，终边过点P(a,b)的角可能有四种情况(第一象限、第二象限、第

10、三象限、第四象限).设满足条件的最小正角为中1，则中=气+ 2冗.由诱导公式(一)知a sin 0 + b cos 0 = Ja 2 + b2 sin(0 + 中)=J a 2 + b2 sin(0 + 中).其 b.中中 (0,2K), tan =一,卬的具体位置由sin中与cos中决定，卬的 ii a 1111大小由taw=：决定.类似地，a sin 0 + b cos 0 = a2 + b2 cos（0 中）, 中的终边过点P （b,a）,设满足条件的最小正角为%，则咋%+2kK.由诱导公式有a sin0 + bcos0 = a2 + b2 cos(0 一中)=Ja2 + b2 cos(

11、0 一中), 其中中(0,2兀),tan = a,卬的位置由sin中和cos中确定，卬的大22 b 2222小由tan = -j-确定.2b注意：一般地，g壬卬2 :以后没有特别说明时，角气（或卬/是所 求的辅助角.四.关于辅助角公式的灵活应用引入辅助角公式的主要目的是化简三角函数式.在实际中结果是化为正弦 还是化为余弦要具体问题具体分析，还有一个重要问题是，并不是每次都要化 为a sin0 + b cos0 = a2 + b2 sin（0 + 中）的形式或a sin 0 + b cos 0 = J a2 + b2 cos（0-也）的形式.可以利用两角和与差的 正、余弦公式灵活处理.例5 化下

12、列三角函数式为一个角的一个三角函数的形式.（1）J3sin a cos a ； TOC o 1-5 h z 2K（2）解：_sin( a) + 二 cos( a)636331v 3 sin a cos a = 2( sin a _ cos a)22(1)=2(sin a cos 一 cos a sin 一) = 2sin( a _)666J2 . z7ix J6z7i、_i_ sm( -ot) + 2r_ cos( -ot) 6363J2 1 . k x J3 z7i v= 2 sm(3- a) + cos% a)(2 )2sin(H-a)cos + cos(里-a)sin J2 . z2k

13、、=_1_ sm( -a)33在本例第（1）小题中，。=必,b = T,我们并没有取点P （提-1 ）,而取的是点P （够，1 ）.也就是说，当1、人中至少有一个是负值时.我们可以取p （阡|牛，或者p （阡 叫）.这样确定的角甲（或 甲2）是锐角，就更加方便.7171 X例 6 已知向量& =(COS(X + _)J)/5 =(COS3 + 3), 2),7US = （sin（x + _）,0），求函数人=a-BB-c + 2的最大值及相应的x的值. TOC o 1-5 h z 7117171解:h(x) = cos2(x +sin(x + _)cos( x + _) + 212 、I +

14、cos(2% + _7i) 23 _ sin(2x + _7i) + _2232-2 、1 . 52 、 c= _cos(2x + _7i) - _ sin(2x + _7i) + 2=丰g cos(2x + 争)萼 sin(2x + |k) + 2=2/Ecos(2x + 11k ) + 212.c . 1111一这时2x + 兀一2k兀，x k兀兀.k g Z这时1224此处,若转化为两角和与差的正弦公式不仅麻繁，而且易错,请读者一试.五.与辅助角有关的应用题与辅助角有关的应用题在实际中也比较常见,而且涉及辅角的范围，在相应范 围内求三角函数的最值往往是个难点.例7如图3,记扇OAB的中心角为45 ，半径为1,矩形PQMN内接于这个扇 形，求矩形的对角线1的最小值.解:连结OM,设ZAOM= .则MQ= sin ,OQ=COS ,OP=PN= sin .PQ=OQ-OP=COS - sin .12