选修曲线参数方程

1、关于选修曲线的参数方程第一张，PPT共三十六页，创作于2022年6月？救援点投放点 一架救援飞机在离灾区地面500m高处100m/s的速度作水平直线飞行。为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面（不记空气阻力），飞行员应如何确定投放时机呢？ 即求飞行员在离救援点的水平距离多远时，开始投放物资？如图，建立平面直角坐标系。 因此,不易直接建立x,y所满足的关系式。 x表示物资的水平位移量，y表示物资距地面的高度， 由于水平方向与竖直方向上是两种不同的运动，第二张，PPT共三十六页，创作于2022年6月xy500o物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成：（1）沿ox作初速为100m/s的匀速直线运

2、动；（2）沿oy反方向作自由落体运动。 在这个运动中涉及到哪几个变量？这些变量之间有什么关系？ t时刻，水平位移为x=100t，离地面高度y，即：y=500-gt2/2，物资落地时，应有y=0，得x10.10m；即500-gt2/2=0，解得，t10.10s， 因此飞行员在距离救援点水平距离约为1010米时投放物资，可以使其准确落在指定位置。第三张，PPT共三十六页，创作于2022年6月 参数方程的概念： 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 x，y 都是某个变数 t 的函数 那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数 x, y 的变数 t 叫做参变数，简称参数。 并且对于

3、t 的每一个允许值，由方程组所确定的点 M(x, y) 都在这条曲线上， 参数是联系变数x, y的桥梁，可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数。 相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。第四张，PPT共三十六页，创作于2022年6月例1: 已知曲线C的参数方程是 （为参数） (1)判断点M1(0，1)，M2(5，4)与曲线C的位置关系；(2)已知点M3（6，a）在曲线C上，求a的值。 解：(1)把点M1的坐标(0,1)代入方程组，解得t=0，所以M1在曲线上把点M2的坐标(5,4)代入方程组，得到这个方程无解，所以点M2不在曲线C上(2)因为

4、点M3(6,a)在曲线C上，所以解得t=2, a=9 所以，a=9.第五张，PPT共三十六页，创作于2022年6月练习 1、曲线与x轴的交点坐标是( )BA(1，4)； B (25/16, 0) C(1, -3) D(25/16, 0)2、方程所表示的曲线上一点的坐标是( )DA(2，7)； B(1/3, 2/3) C(1/2, 1/2) D(1，0)3 已知曲线C的参数方程是 点M(5,4)该曲线上.(1)求常数a; （2）求曲线C的普通方程 (1)由题意可知: 1+2t=5，at2=4；a=1，t=2； 代入第二个方程得: y=(x-1)2/4 第六张，PPT共三十六页，创作于2022年6

5、月（4）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程.参数方程求法: （1）建立直角坐标系, 设曲线上任一点P坐标为;（2）选取适当的参数; （3）根据已知条件和图形的几何性质, 物理意义, 建立点P坐标与参数的函数式;第七张，PPT共三十六页，创作于2022年6月圆的参数方程第八张，PPT共三十六页，创作于2022年6月复习：1.圆的标准方程是什么？它表示怎样的圆？(x-a)2+(y-b)2=r2，表示圆心坐标为 (a,b),半径为r的圆。2.三角函数的定义？3.参数方程的定义？一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数，即第九张，PPT共三十六页，创作于2022

6、年6月探求：圆的参数方程点P在P0OP的终边上, 如图,设O的圆心在原点,半径是r.与x 轴正半轴的交点为P0 ,圆上任取一点P,若OP0 按逆时针方向旋转到OP位置所形成的角P0 OP =,求P点的坐标。根据三角函数的定义得解:设P（x,y）,(1) 我们把方程组(1)叫做圆心为原点、半径为r的圆的参数方程。 其中参数表示OP0到OP所成旋转角， 。第十张，PPT共三十六页，创作于2022年6月yxorM(x, y) 圆周运动中，当物体绕定轴作匀速运动时，物体上的各个点都作匀速圆周运动， 怎样刻画运动中点的位置呢？第十一张，PPT共三十六页，创作于2022年6月那么=t. 设|OM|=r，那

7、么由三角函数定义，有如果在时刻t，点M转过的角度是，坐标是M(x, y)，即这就是圆心在原点O，半径为r 的圆的参数方程参数 t 有物理意义(质点作匀速圆周运动的时刻)考虑到=t，也可以取为参数，于是有第十二张，PPT共三十六页，创作于2022年6月圆心为原点半径为r 的圆的参数方程. 其中参数的几何意义是OM0绕点O逆时针旋转到OM的位置时，OM0转过的角度 圆心为 ，半径为r 的圆的参数方程一般地，同一条曲线，可以选取不同的变数为参数，另外，要注明参数及参数的取值范围。第十三张，PPT共三十六页，创作于2022年6月1.写出下列圆的参数方程:(1)圆心在原点,半径为 :_;(2)圆心为(-

8、2,-3),半径为1: _.x = cosy = sinx =-2+cosy =-3+sin2.若圆的参数方程为 ,则其标准方程为:_.x =5cos+1y =5sin-1(x-1)2+(y+1)2=253.已知圆的方程是x2+y2-2x+6y+6=0,则它的参数方程为_.x =1+2cosy =-3+2sin练习第十四张，PPT共三十六页，创作于2022年6月解： x2+y2+2x-6y+9=0化为标准方程, (x+1)2+(y-3)2=1参数方程为(为参数)例1 已知圆方程x2+y2+2x-6y+9=0,将它化为参数方程。练习：第十五张，PPT共三十六页，创作于2022年6月 例2 如图,

9、圆O的半径为2，P是圆上的动点，Q(6,0)是x轴上的定点，M是PQ的中点，当点P绕O作匀速圆周运动时，求点M的轨迹的参数方程。yoxPMQ解：设点M的坐标是(x, y),则点P的坐标是(2cos,2sin).由中点坐标公式可得因此，点M的轨迹的参数方程是第十六张，PPT共三十六页，创作于2022年6月例3 已知x、y满足,求的最大值和最小值解：由已知圆的参数方程为第十七张，PPT共三十六页，创作于2022年6月2 点P(x, y)是曲线为参数)上任意一点，则的最大值为( )A 1 B 2 C D练习1 P(x, y)是曲线(为参数)上任意一点,则的最大值为( )AA36 B6 C26 D25

10、D3 圆的圆心的轨迹是( ) A圆 B直线 C椭圆 D双曲线A第十八张，PPT共三十六页，创作于2022年6月( 为参数)上任意一点,则4 点P(x, y)是曲线的最大值为 .5 已知点P是圆 上一个动点,定点A(12, 0)， 点M在线段PA上，且2|PM|=|MA|，当点P在圆上运动 时，求点M的轨迹解：设点M的坐标是(x, y),则点P的坐标是(4cos,4sin).2|PM|=|MA|, 由题设(x-12, y)= 因此，点M的轨迹的参数方程是第十九张，PPT共三十六页，创作于2022年6月 例4 (1)点P(m,n)在圆x2+y2=1上运动,求点Q(m+n, 2mn)的轨迹方程; (

11、2)方程x2+y2-2(m+3)x+2(1-4m2)y+16m4+9=0.若该方程表示一个圆, 求m的取值范围和圆心的轨迹方程. 已知P(x, y)圆C：x2+y26x4y+12=0上的点。 (1)求 的最小值与最大值(2)求xy的最大值与最小值例5 最值问题例6 参数法求轨迹 已知点A(2, 0),P是x2+y2=1上任一点, 的平分线交PA于Q点,求Q点的轨迹.AQ:QP=2:1第二十张，PPT共三十六页，创作于2022年6月 例7 已知A（1，0）、B（1，0）,P为圆上的一点,求 的最大值和最小值以及对应P点的坐标. 第二十一张，PPT共三十六页，创作于2022年6月参数方程和普通方程

12、的互化 第二十二张，PPT共三十六页，创作于2022年6月 把它化为我们熟悉的普通方程，有 cos=x-3, sin=y; 于是(x-3)2+y2=1，轨迹是什么就很清楚了 在例1中，由参数方程直接判断点M的轨迹是什么并不方便， 一般地, 可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程； 曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式. 在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致，否则，互化就是不等价的.把参数方程化为普通方程：第二十三张，PPT共三十六页，创作于2022年6月（1）参数方程通过消元（代入消元、加减消元、利用三角恒等式消元等）消去参数化为普通方程。如：参数方程消去参数

13、可得圆的普通方程(x-a)2+(y-b)2=r2.参数方程（t为参数）可得普通方程y=2x-4通过代入消元法消去参数t ,（x0）。注意： 在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致。否则，互化就是不等价的. 第二十四张，PPT共三十六页，创作于2022年6月 例1、把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线？解: (1)由得代入得到这是以（1，1）为端点的一条射线；所以把得到第二十五张，PPT共三十六页，创作于2022年6月(1)(2)(3)x=t+1/ty=t2+1/t2(1) (x-2)2+y2=9(2) y=1- 2x2（- 1x1）(3) x2- y=2（

14、x2或x- 2）练习、将下列参数方程化为普通方程：步骤：（1）消参； （2）求定义域。第二十六张，PPT共三十六页，创作于2022年6月练习 将下列参数方程化为普通方程(2)第二十七张，PPT共三十六页，创作于2022年6月B例2 求参数方程表示（ ）（A）双曲线的一支, 这支过点（1, 1/2）;（B）抛物线的一部分, 这部分过（1, 1/2）;（C）双曲线的一支, 这支过点（1, 1/2);（D）抛物线的一部分, 这部分过（1, 1/2).第二十八张，PPT共三十六页，创作于2022年6月例3、把下列参数方程化为普通方程， 并说明它们各表示什么曲线？第二十九张，PPT共三十六页，创作于20

15、22年6月例、将下列参数方程化为普通方程：(1)(2)(3)x=t+1/ty=t2+1/t2（1）（x-2）2+y2=9（2）y=1- 2x2（- 1x1）（3）x2- y=2（X2或x- 2）步骤：（1）消参； （2）注意取值范围。第三十张，PPT共三十六页，创作于2022年6月 参数方程化为普通方程的过程就是消参过程常见方法有三种：1.代入法：利用解方程的技巧求出参数t,然后代入消去参数2.三角法：利用三角恒等式消去参数3.整体消元法：根据参数方程本身的结构特征, 整体上消去 化参数方程为普通方程为F(x,y)=0：在消参过程中注意变量x、y取值范围的一致性，必须根据参数的取值范围，确定f

16、(t)和g(t)值域得x、y的取值范围。小 结第三十一张，PPT共三十六页，创作于2022年6月普通方程化为参数方程：普通方程化为参数方程需要引入参数：如：直线 l 的普通方程是 2x-y+2=0，可以化为参数方程: 一般地, 如果知道变量x, y中的一个与参数t的关系,例如x=f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变量与参数t的关系y=g(t)，那么:就是曲线的参数方程。 在参数方程与普通方程的互化中，必须使x, y的取值范围保持一致第三十二张，PPT共三十六页，创作于2022年6月例3 求椭圆的参数方程：(1)设为参数；(2)设为参数.为什么两个参数方程合起来才是椭圆的参数方程？第三十三张，PPT共三十六页，创作于2022年6月在y=x2中，xR, y0，因而与 y=x2不等价；练习:曲线y=x2的一种参数方程是（ ）.在A、B、C中，x, y的范围都