上海市2020-2021学年宝山区高三数学一模试卷

1、上海市2020-2021 学年宝山区高三数学一模试卷考生注意：.本试卷共21题，黄分150分，考试时间120分钟；.本试卷包括试题卷和答题纸两部分，答题纸另页，正反面；.在本试题卷上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题;.可使用符合规定的计算器答题.一、填空题（本大题共有12题，？t分54分，其中第1题至第6题每题填对得4分，否则一律得零分；第7题至第12题每题填对得5分，否则一律得零分. 转生应在答题纸相应编号的空格 内直接填写结果.若集合 A = （-巴3）, B=（-4, +0）,则 AAB=.抛物线y2 = 6x的准线方程为 .1.已知复数z满足=i （i为虚数单位），则2=

2、.z 1.设向量m=（1,2）, b=（2, 1）,则a与E的夹角的大小为（结果用反三角函数表不）.已知二项式（2x+）6,则其展开式中的常数项为 xx0 ,.若实数x, y满足 2x-y0,则z=2x + y的最大值为 .x+y-30,.已知圆锥的底面半径为1 ,高为3,则该圆锥的侧面展开图的圆心角0的大小为. 方程cos2 x sin x=0在区间0,n上的所有解的和为 .已知函数f (x)的周期为2,且当0vxwi时，f (x)=log4x,那么f q)=.设数列xn的前n项和为Sn,对任意nCN*,均有Sn + xn = 1,则& =.设函数 f (x)=a?sin2 x + b?co

3、s2 x (a, b C R),给出下列结论：当a=0, b = 1时，f (x)为偶函数；汽当a=1, b = 0时，f (2x)在区间(0, 4)上是单调函数；当a=#,b = 1时，f (目)在区间(2兀，2兀)上恰有3个零点；当a=0,已知f (x)与g(x)在N上不具有性质P(f , g),将a的最小值记为a0 .设有穷数列bn满足b1 = 1 , bn+1 =1+ bn(n C N*,nw504 xa。),这里a0表示不超过a0的最大整数.若去掉bn中的一项bt后， 剩下的所有项之和恰可表为m2 (mCN*),则bt + m的值为.二、选择题(本大题共有 4题，？t分20分)每题有

4、且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13.直线x+3y-1 = 0的一个法向量可以是(A) (3, -1)(B) (3, 1)()(C) (1 ， 3)(D) (-1 , 3)14. “函数 f (x)=sin( cox) (x,3C R,且3W0)的最小正周期为 2”是“3=n”的()(A)充分非必要条件(B)必要非充分条件(C)充要条件(D)既非充分又非必要条件则这5个不同的.从0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9这10个数中任取5个不同的数,的中位数为4的概率为3(B)2?.下列结论中错误的是区产1 ,(

5、A)存在实数x, y满足并使得4(x+1)(y + 1) 9成立;|x+y|1, |x|1,(B)存在实数x, y满足并使得4(x+1)(y +1) = 7成立;|x+y|1,|x|1,(C)满足且使得4(x+1)(y+1) = -9成立的实数x, y不存在;|x+y|1, |x|1,(D)满足且使得4(x+1)(y+1) v-9成立的实数x, y不存在.|x + y|f (x + 1)；(2)设xC3, 4,且函数y=f (x) + 3存在零点，求实数 m的取值范围.19.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1题满分6分，第2题满分8分.式汽设函数f (x) = sin( cox+ 6)(

6、0 , 6 v 2)最小正周期为2n，且f (x)的图象过坐标原点.(1)求3、6的值；2_ 2 _ _ 2(2)在XBC中，若2f (B) + 3f (C) = 2 f (A)?f (B)?f (C) + f (A),且二边 a、b、c所对的角依b f (B+C)次为A、B、C.试求的值.c20.(本题满分16分)本题共有3个小题，第1题满分4分，第2题满分6分，第3题 满分6分.x2已知Fi、F2分别为椭圆正一+y2 = 1的左、右焦点，M为1的一点. 4(1)若点M的坐标为(1 , m) (m0),求咛MF2的面积;(2)若点M的坐标为(0, 1),且直y = kx-| (kCR)与茂于

7、两不同点A、B,求证：MAMB 为定值，并求出该定值；(3)如右图，设点M的坐标为(s, t),过坐标原点O作圆M ： (xs)2+(y t)2 = r2 (其中为定值，0vrv1,且|s|*r)的两条切线，分别交IT点P、Q,直线OP、OQ的斜率分 另ij记为kk2.如果kk2为定值.试问：是否存在锐角0,使得2|OP|?|OQ| = 5?sec 0?若存在,试求出0的一个值；若不存在，请说明理由.21.(本题满分18分)本题共有3个小题，第1题满分4分，第2题满分6分，第3题 满分8分.若有穷数列Xn：x1, x2,，*门满足为+1/叶1,*10(这里1, n N*, n 3,1 i0),

8、则称有穷数列xn具有性质P(t). 已知有穷数列 入具有性质P(t)(常数t=)，且必-X/十区-X2I十十|xn-Xn_i|W2- , 试求t的值；(2)设ai+i =2|ai+t+2| -|ai+t-2| (i, n C N*, n3, 1i2),判断有穷数列an是否具有性质P(t-2),并说明理由；(3)若有穷数列yn：y1, y2,，yn具有性质P(i),其各项的和为2000,将y1, y2,，yn中的最大值记为 A.当AC N*时，求A+ n的最小值参考答案、填空题(本大题共有12题,满分54分)5. 160(-4-3)6. 4Tt44 . arccos 一5636411 .12 .

9、 3103、选择题(本大题共有 4题，t分20分)16. A三、解答题(本大题共有 5题，t分76分)17 .(本题满分14分)本题共有2个小题，第1题满分6分，第2题满分8分.解：方法一：(1)联结TC,在长方体ABCDA1B1cl D1中，因为DD1，平面ABCD,即TD，平面ABCD,所以直线TCI平面ABCD所成的角即为/ TCD,在RtZTCD中，由 DT=2 , CD= AB=4 ,可得 tan CD=DT=, CD 2兀1显然 /TCDC(0,-),故/TCD=arctan所以 直线TC与平面ABCD所成角的大小为arctan 1.2(2)由已知可得 A1T=TC=245, A1

10、C= 2、/i4,所以 S/A1TC= 2?214?6=2 yj21 .又易得 S/TCC1 = 2?6?4=12 .设点C1到平面A1T C的距离为h.在长方体ABCDA1B1C1D1中，因为 A1D1，平面 CDC1D1,即 A1D1L平面 TCC1,11再由 VC1-A1TC= VA1 -TCC1 得3s%TC小= 3S1?A1D1 ,所以,S h=.；ZTCC1?A1D112?2S/A1TC4 217.即 点Ci到平面A1T C的距离为421方法所以直线TCI平面ABCD所成角的大小为arcsin5兀-,故 0=arcsin(1)如图，以D为原点，DA、DC、DD1分别为x、y、z轴，

11、建立空间直角坐标系.由已知可得 A(2, 0, 0)、B(2, 4, 0)、C(0, 4, 0)、D(0, 0, 0)、T(0, 0, 2), TOC o 1-5 h z - 2f故TC=(0, 4, -2),又平面ABCD的一个法向量n=(0, 0, 1),设直线TC与平面ABCD所成角的大小为0,贝 Usin|TC?n|258= -2 2=，注意至U 8 C 0 HYPERLINK l bookmark6 o Current Document |tC|?M 2r ?15(2)注意到 C1(0, 4, 6), A1(2, 0, 6),及 T(0, 0, 2), C(0, 4, 0),A1T=

12、(-2, 0, -4) , CT=(0, -4, 2), gT=(0 , -4, -4),设平面A1T C的一个法向量为m=(x, y, z),m?AT=0由已知，得，即-2x-4z= 0 x= -4y-4y+2z=0,所以 z=2y可取m = (-4, 1,2),m?CT=0所以点C1到平面A1T C的距离为|C1T?m| |0X(-4) + (4)x1 +(-4)x2| 4V21扁J3 7即 点C1到平面A1T C的距离为4 2118 .(本题满分14分)本题共有2个小题，第1题满分6分，第2题满分8分解：(1)当 m =1 时，f (x)= x+,由 f (x) +1 f (x+1)得(

13、x+)+ 1 (x+1)十一，即x-1x-1x_, 解得 x1,x-1 x所以，原不等式的解集为(-8, 0)U(1, +oo).(2)函数y= f (x) + 3存在零点xC3, 4方程x +旦+3=0有解xC 3, 4,亦即 x-1m = (x+3)(x1)有解xC 3 , 4,注 意至Um = -(x + 1)2+4在 xC3,4 上 递 减 ， 故m e (4+1)2+4, -(3+1)2 + 4=-21 , 12,从而，实数 m 的取值范围为-21 , -12.19 .(本题满分14分)本题共有2个小题，第1题满分6分，第2题满分8分.2式解：(1)依题意，可得 =2 所以3 = 1

14、,故f (x)=sin( x+扪，因为f (x)的图象过坐标原 TOC o 1-5 h z 点，所以 f (0)=0,即 sin 6=0 , 式汽注意到()V2 ,所以 sin A cos AA72 ,2bcX sin A - cos A = 2,所以 sin A-cos A=n/2, H b= a/2c , A=1,b f (B + C) J2csin( B + C) 广故=V2sin A=1 .cc20 .（本题满分16分）本题共有3个小题，第1题满分4分，第2题满分6分，第3题 满分6分.解：（1）由已知条件得14+m2=1 ,因为m0,所以m=23,又匕、F2的坐标分别为（工,。）、M

15、，0）,1- 3 3因此，ZF1MF2的面积为-?23?=-x2Y+y2=i(2 )设 A(xA, yA)B(xB, yB),由得(4k2+1)x2kx-=03525y= kx 524 kA=64k2+256-0,且25xA + xB5(4 k2+1)6425(4 k2+1)3 又 yA=kxA-5,3 yB=kxB-5所以,MA MB6464yA1)?(xB，yB-1)(k2+1)xAxB_5k-2524 k(k +1)? 25(4 k2+1) 5k?5(4 k2+1)64+ 25-0,即mamB=0为定值.（3）满足2|OP|?|OQ|=5sec 0的锐角 不存在.理由如下:1kls2因为

16、直线 OP： y=kx与。M相切，所以 / 2=r,即(s2r2)k1 2stk1 + t2 r2 = 0,k1 +12同理，由直线 OQ： y = k2x与。M 相切，可得(s2 r2)k2 2stk2 + t2r2 = 0,是，kk2是关于肥方程（s2-r2）a-2st 912-r2 = 0的两实根,注意到|s|wr,且+t2=1 ,故4c o (1 -s)-r2t2-r24，k1k2=”s2-r2 因k1k2为定值，故不妨设 卜水2= B （定值），1。41于是有 B= s2 r2 ,即(S+4)s2 + -1+(1- S)r2=0 .依题意可知，s变化，而r、B均为定值，所以1计一 二

17、04-1 +(1 1解得 k1k2= 8=-, r= 4一+y2=1再设 P(x1, y1), Q(x2, y2),由4 得 y=%x2424X1 二1 +4k2X2 =1 +4k22,2 ；同理可得4kl24k2y1 二=,21 +4k1y2=,21 +4k2B)r2 = 0 TOC o 1-5 h z 9 Q 2222 4(1 +k2)4(1+k2)9所以10P囹卬2.f)：；925：,与(X)相矛盾.因此，这样的锐角 不存在.21 .(本题满分18分)本题共有3个小题，第1题满分4分，第2题满分6分，第3题满分8分.解：(1)因为有穷数列Xn具有性质 P(t),所以，|Xi+1 -Xi|

18、t, (i=1 , 2, n- 1),n 1再由已知条件可得，(n 1)t= t t ”t W|X2 X1I十风X2I十十|Xn-Xn |w (n 1)2即(n 1)twn21,而nm,所以，tw； 注意到t),所以，t = ；.(2)当2产。时，有穷数列an不具有性质P(t2)；当a10时，有穷数列an具有性质P(t-2).理由如下:若aiW。，则有穷数列an显然不具有性质P(t 2).若a10,则由 t2,可得 a2=2| a1+t+2| -|a1 + t-2|=2( a1 + t+2) (a1+t 2)= a1+t+6 ,所以，a2a1 +(t-2) (a1 0),且220,同理可得，a3= a2+ t+6 (a20),所以，a3a2+(t 2),且230,一般地，若 ai=a-i+t+6 (ai0),则aiai_十(t 2),且ai0,于是，ai+i =2|ai+t+2| -|ai+t-2|=2(ai+t+2) (ai+1 2)= a+1+6 ,所以，ai+i ai+(t 2),且 ai0 (仍有 ai+i0,这