高中数学立体几何知识总结

1、立体几何知识总结 立体几何知识点一向量1三点P,A,B共线已知O是空间任一点,有且. 当的中点2四点P,A,B,C共面已知O是空间任一点,有+且.3设,则 . . =(4设点A,B,C是线段AB的中点, 则. 点C( |AB|=5运算律: , 6设直线的方向向量为=(m,n),则直线的斜率k=7设P分所成的比为,既=,且, 则（分点坐标=）8设G是ABC的重心,则G9向量的加法运算三角形或平形四边形法则,向量的减法运算三角形法则（终点-起点，如）10向量与平面平行：指向量所在的直线与平面平行或向量在平面内。记作/。11共面向量：（1）定义：指平行于同一平面的向量（2）定理：如果两个向量不共线，

2、则向量与向量共面的充要条件是存在实数对使10空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数对。称为空间的一个基底，都叫做基向量。11空间向量的坐标表示：xByxzyBAO 当=（单位正交基底）时，有，则称（）是向量的坐标。二立体几何1掌握平面性质的三大公理及三个推论.2空间两直线的位置关系平行、相交和异面.3两条异面直线所成的角:（1）概念,(2)范围(0,90，（3）求法: 作角平移，说明，求角。4直线与平面的位置关系:直线在平面内和直线在平面外平行和相交。5掌握直线与平面平行,平面与平面平行的性质和判定定理线线平行面面平行线面平行 6 掌握直线与平面垂直,

3、平面与平面垂直的性质和判定定理线线垂直线面垂直面面垂直 OBBAa7其它与平行,垂直有关的定理(1) (2)(3) (4)8三垂线定理与逆定理AB是平面的斜线, BO是斜线AB在平面内的射影, 定理: ; 逆定理:ABOCD9直线与平面所成的角0,90(1)斜线与平面所成的角:定义:斜线与它在平面内的射影所成的角,范围（0,90）最小角定理:(2)直线与平面平行或直线在平面内成角为0(3)直线与平面垂直成角为9010二面角（1）概念,(2)范围0,180,(3)二面角的平面角: 定义, 构造方法定义法、垂面法和三垂线法，（4）二面角的求法: 作平面角, 说明, 求角11掌握用向量法求(证明)一

4、些几何量(1)证明线线垂直和线面垂直(2)求两条异面直线的夹角：利用ABOabOBCAadbD(3)求两条异面直线a,b的公垂线长d利用OBA其中是异面直线a,b的公共法向量(4)求点A到平面的距离d 其中是平面的法向量,B是平面上的一个已知点。(5)求直线AB与平面所成的角 =(6)求二面角ABNM 或其中分别是两个平面的法向量 利用12棱柱与棱锥(1)直棱柱的侧面积=底面周长高,体积=底面面积高(2)斜棱柱的侧面积=直截面周长侧棱长,体积=直截面面积侧棱长(3)长方体的对角线长其中分别为长,宽,高ABCSOMOOMA(4)棱锥的体积=底面面积高(5)掌握正棱锥的高,斜高,侧棱,底面边长,侧

5、棱与底面的夹角,侧面与底面的夹角求法:解题时在利用下面两个图形求解BROAr13球ORrAd(1)球的截面(圆)的性质:球心O与圆心的连线O与圆面垂直球心与圆面的距离经度纬线纬度经线O地轴P(2)球面上两点A,B的球面距离定义:经过A,B两点的大圆的劣弧长求法:利用大圆O与小圆的公共弦AB,注意劣弧AB所对的圆心角是角AOB而不是角AB(3)经度与纬度纬度:某点P的纬度就是指经过这点的球半径与经过这点的纬度圈所在的平面的夹角经度:某点P的经度就是指经过这点的经线与地轴确定的半平面与0经线与地轴确定的半平面所在的二面角的大小.(4)球内接长方体的性质: 长方体的中心就是球心, 长方体的对角线长就

6、是球的直径(5)正四面体的内切球与外接球的性质:它们是同心球,球心在正四体的高线上,内切球与外接球的半径的和等于正四面体的高,求解时可利用等体积法.(6)球体积,球的表面积,弧长公式立体几何知识点总结1.空间多边形不在同一平面内的若干线段首尾相接所成的图形叫做空间折线.若空间折线的最后一条线段的尾端与最初一条线段的首端重合，则叫做封闭的空间折线.若封闭的空间折线各线段彼此不相交，则叫做这空间多边形平面，平面是一个不定义的概念，几何里的平面是无限伸展的.平面通常用一个平行四边形来表示.平面常用希腊字母、或拉丁字母M、N、P来表示，也可用表示平行四边形的两个相对顶点字母表示，如平面AC.在立体几何

7、中，大写字母A，B，C，表示点，小写字母，a,b,c,l,m,n,表示直线，且把直线和平面看成点的集合，因而能借用集合论中的符号表示它们之间的关系，例如：Al点A在直线l上；A点A不在平面内；l直线l在平面内；a直线a不在平面内；lm=A直线l与直线m相交于A点；l=A平面与直线l交于A点；=l平面与平面相交于直线l.2.平面的基本性质公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.公理3 经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面.根据上面的公理，可得以下推论.推论1 经过一条直线和

8、这条直线外一点，有且只有一个平面.推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面.推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.直接证法3.证题方法反证法证题方法 间接证法 同一法4.空间线面的位置关系 共面 平行没有公共点(1)直线与直线 相交有且只有一个公共点异面(既不平行，又不相交) 直线在平面内有无数个公共点(2)直线和平面 直线不在平面内 平行没有公共点 (直线在平面外) 相交有且只有一公共点(3)平面与平面 相交有一条公共直线(无数个公共点)平行没有公共点5.异面直线的判定证明两条直线是异面直线通常采用反证法.有时也可用定理“平面内一点与平面外一点的连线，与平面内不经过该点的直线是异面直

9、线”.6.线面平行与垂直的判定 (1)两直线平行的判定定义：在同一个平面内，且没有公共点的两条直线平行.如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行，即若a,a，=b,则ab.平行于同一直线的两直线平行，即若ab,bc,则ac.垂直于同一平面的两直线平行，即若a，b，则ab两平行平面与同一个平面相交，那么两条交线平行，即若,=b,则ab如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线与这两个平面的交线平行，即若=b,a,a，则ab.(2)两直线垂直的判定定义：若两直线成90角，则这两直线互相垂直.一条直线与两条平行直线中的一条垂直，也必与另一条垂直.即若b

10、c,ab,则ac一条直线垂直于一个平面，则垂直于这个平面内的任意一条直线.即若a,b，ab.三垂线定理和它的逆定理：在平面内的一条直线，若和这个平面的一条斜线的射影垂直，则它也和这条斜线垂直.如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与这个平面的垂线垂直.即若a,b,则ab.三个两两垂直的平面的交线两两垂直，即若,，,且=a,=b,=c，则ab,bc,ca.(3)直线与平面平行的判定定义：若一条直线和平面没有公共点，则这直线与这个平面平行.如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线与这个平面平行.即若a,b，ab,则a.两个平面平行，其中一个平面内的直线平行于另一个平面，即若,l，

11、则l.如果一个平面和平面外的一条直线都垂直于同一平面，那么这条直线和这个平面平行.即若,l，l，则l.在一个平面同侧的两个点，如果它们与这个平面的距离相等，那么过这两个点的直线与这个平面平行，即若A，B，A、B在同侧，且A、B到等距，则AB.两个平行平面外的一条直线与其中一个平面平行，也与另一个平面平行，即若,a，a，a，则.如果一条直线与一个平面垂直，则平面外与这条直线垂直的直线与该平面平行，即若a,b，ba，则b.如果两条平行直线中的一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面(或在这个平面内)，即若ab,a,b(或b)(4)直线与平面垂直的判定定义：若一条直线和一个平面内的任何一条直线

12、垂直，则这条直线和这个平面垂直.如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.即若m，n，mn=B,lm,ln,则l.如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面.即若la,a,则l.一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面，即若,l，则l.如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面，即若,a=，l，la,则l.如果两个相交平面都垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面，即若,且a=,则a.(5)两平面平行的判定定义：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面平行，即无公共点.如果一个平面内

13、有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行，即若a,b，ab=P,a,b,则.垂直于同一直线的两平面平行.即若a,a,则.平行于同一平面的两平面平行.即若,则.一个平面内的两条直线分别平行于另一平面内的两条相交直线，则这两个平面平行，即若a,b,c,d,ab=P,ac,bd,则.(6)两平面垂直的判定定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，那么这两个平面互相垂直，即二面角a=90.如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直，即若l,l，则.一个平面垂直于两个平行平面中的一个，也垂直于另一个.即若，则.7.直线在平面内的判定(1)利用公理1：一直线上不重合的两

14、点在平面内，则这条直线在平面内.(2)若两个平面互相垂直，则经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内，即若,A，AB，则AB.(3)过一点和一条已知直线垂直的所有直线，都在过此点而垂直于已知直线的平面内，即若Aa,ab，A,b，则a.(4)过平面外一点和该平面平行的直线，都在过此点而与该平面平行的平面内，即若P，P，Pa,a，则a.(5)如果一条直线与一个平面平行，那么过这个平面内一点与这条直线平行的直线必在这个平面内，即若a,A，Ab,ba,则b.8.存在性和唯一性定理(1)过直线外一点与这条直线平行的直线有且只有一条；(2)过一点与已知平面垂直的直线有且只有一条；(3)过

15、平面外一点与这个平面平行的平面有且只有一个；(4)与两条异面直线都垂直相交的直线有且只有一条；(5)过一点与已知直线垂直的平面有且只有一个；(6)过平面的一条斜线且与该平面垂直的平面有且只有一个；(7)过两条异面直线中的一条而与另一条平行的平面有且只有一个；(8)过两条互相垂直的异面直线中的一条而与另一条垂直的平面有且只有一个.9.射影及有关性质(1)点在平面上的射影自一点向平面引垂线，垂足叫做这点在这个平面上的射影，点的射影还是点.(2)直线在平面上的射影自直线上的两个点向平面引垂线，过两垂足的直线叫做直线在这平面上的射影.和射影面垂直的直线的射影是一个点；不与射影面垂直的直线的射影是一条直

16、线.(3)图形在平面上的射影一个平面图形上所有的点在一个平面上的射影的集合叫做这个平面图形在该平面上的射影.当图形所在平面与射影面垂直时，射影是一条线段；当图形所在平面不与射影面垂直时，射影仍是一个图形.(4)射影的有关性质从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中：(i)射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长；(ii)相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长；(iii)垂线段比任何一条斜线段都短.10.空间中的各种角等角定理及其推论定理若一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，则这两个角相等.推论若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，则这两组直线所成的锐角(

17、或直角)相等.异面直线所成的角(1)定义：a、b是两条异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线aa,bb,则a和b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a和b所成的角.(2)取值范围：090.(3)求解方法根据定义，通过平移，找到异面直线所成的角；解含有的三角形，求出角的大小.11.直线和平面所成的角(1)定义 和平面所成的角有三种：(i)垂线 面所成的角 的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.(ii)垂线与平面所成的角 直线垂直于平面，则它们所成的角是直角.(iii)一条直线和平面平行，或在平面内，则它们所成的角是0的角.(2)取值范围090(3)求解方法作出斜线

18、在平面上的射影，找到斜线与平面所成的角.解含的三角形，求出其大小.最小角定理斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角，亦可说，斜线和平面所成的角不大于斜线与平面内任何直线所成的角.12.二面角及二面角的平面角(1)半平面 直线把平面分成两个部分，每一部分都叫做半平面.(2)二面角 条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个平面叫做二面角的面，即二面角由半平面一棱一半平面组成.若两个平面相交，则以两个平面的交线为棱形成四个二面角.二面角的大小用它的平面角来度量，通常认为二面角的平面角的取值范围是0180(3)二面角的平面角以二面

19、角棱上任意一点为端点，分别在两个面内作垂直于棱的射线，这两条射线所组成的角叫做二面角的平面角.如图，PCD是二面角-AB-的平面角.平面角PCD的大小与顶点C在棱AB上的位置无关.二面角的平面角具有下列性质：(i)二面角的棱垂直于它的平面角所在的平面，即AB平面PCD.(ii)从二面角的平面角的一边上任意一点(异于角的顶点)作另一面的垂线，垂足必在平面角的另一边(或其反向延长线)上.(iii)二面角的平面角所在的平面与二面角的两个面都垂直，即平面PCD，平面PCD.找(或作)二面角的平面角的主要方法.(i)定义法(ii)垂面法(iii)三垂线法()根据特殊图形的性质(4)求二面角大小的常见方法

20、先找(或作)出二面角的平面角，再通过解三角形求得的值.利用面积射影定理S=Scos其中S为二面角一个面内平面图形的面积，S是这个平面图形在另一个面上的射影图形的面积，为二面角的大小.利用异面直线上两点间的距离公式求二面角的大小.13.空间的各种距离点到平面的距离(1)定义 面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离.(2)求点面距离常用的方法：1)直接利用定义求找到(或作出)表示距离的线段；抓住线段(所求距离)所在三角形解之.2)利用两平面互相垂直的性质.即如果已知点在已知平面的垂面上，则已知点到两平面交线的距离就是所求的点面距离.3)体积法其步骤是：在平面内选取

21、适当三点，和已知点构成三棱锥；求出此三棱锥的体积V和所取三点构成三角形的面积S；由V=Sh，求出h即为所求.这种方法的优点是不必作出垂线即可求点面距离.难点在于如何构造合适的三棱锥以便于计算.4)转化法将点到平面的距离转化为(平行)直线与平面的距离来求.14.直线和平面的距离(1)定义一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离.(2)求线面距离常用的方法直接利用定义求证(或连或作)某线段为距离，然后通过解三角形计算之.将线面距离转化为点面距离，然后运用解三角形或体积法求解之.作辅助垂直平面，把求线面距离转化为求点线距离.15.平行平面的距离(1)定义 个平

22、行平面同时垂直的直线，叫做这两个平行平面的公垂线.公垂线夹在两个平行平面间的部分，叫做这两个平行平面的公垂线段.两个平行平面的公垂线段的长度叫做这两个平行平面的距离.(2)求平行平面距离常用的方法直接利用定义求证(或连或作)某线段为距离，然后通过解三角形计算之.把面面平行距离转化为线面平行距离，再转化为线线平行距离，最后转化为点线(面)距离，通过解三角形或体积法求解之.16.异面直线的距离(1)定义 条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线.两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离.任何两条确定的异面直线都存在唯一的公垂线段.(2)求两条异面直线的距

23、离常用的方法定义法 题目所给的条件，找出(或作出)两条异面直线的公垂线段，再根据有关定理、性质求出公垂线段的长.此法一般多用于两异面直线互相垂直的情形.转化法 为以下两种形式：线面距离面面距离等体积法最值法射影法公式法立 体 几 何的“十个位置关系”一、确定直线的条件两平面有一个公共点，则相交于过此点的直线,唯一；两异面直线有且只有一条公垂线；过一点有且只有一直线与已知平面垂直；过直线外一点有且只有一直线与已知直线平行。二、确定一平面的条件（1） 不在同一直线上的三点确定一平面；（2）一直线及其外一点确定一平面；（3） 两平行直线确定一平面； （4）两相交直线确定一平面；过两异面直线中的一条直

24、线而与另一条直线平行的平面唯一；过一点而与两异面直线分别平行的平面唯一；过一点而与已知直线垂直的平面唯一； 过一点而与已知平面平行的平面唯一；（9） 过不垂直于已知平面的直线而与已知平面垂直的平面唯一。三、直线落于平面上的条件若直线上有两点在平面上，则该直线在平面内；过一点与已知直线垂直的直线均在过此点而垂直于已知直线的平面内；过平面外一点与已知平面平行的直线均在过此点而平行于已知平面的平面内；两平面相垂直，过其中一个平面内一点而垂直于令一个另平面的直线在第一平面内；过直线上每一点而垂直于已知平面的直线，均在过此直线且与已知平面垂直的平面内。四、线段或角相等的条件平行平面间的平行线段相等；（2

25、）平行直线上每点与平面间的距离相等；（3） 由一点向平面引垂线和斜线段，射影等的斜线段等，反之亦然；（4） 两边分别平行（垂直）且方向相同的角相等；（5） 若平面的斜线与平面内角的两边成等角，则其射影平分此角；平面的斜线上点与平面内角的两边距离相等，则其射影落于角平分线；两平行线与同一直线所成角相等；两平行线与同一平面所成角相等； 两平行平面与同一直线所成角相等；两平行平面与同一平面所成角相等。五、两直线平行的条件三平面两两相交，若两交线平行，则第三条交线必与之平行；平行于同一直线的两直线平行； （3） 线面平行则线线平行；（4） 垂直于同一平面的两直线平行； （5） 面面平行则线线平行；分别

26、过两平行线中一条直线的两相交平面的交线与之平行。六、两直线垂直的条件所成的角是直角，两直线垂直；垂直于平行线中的一条，必垂直于另一条；线线垂直，则线面垂直； （4） 三垂线定理及其逆定理。七、直线与平面平行的条件线面无公共点，则线面平行； （2） 线线平行，则线面平行；（3） 一平面及该平面外一直线m垂直于同一平面，则线m与面平行；（4） 平面内的任一直线必平行于这平面的平行平面（面面平行，则线面平行）。八、直线与平面垂直的条件直线垂直于平面内的两相交直线，则线面垂直；两平行直线中有一条垂直于平面，则另一直线垂直于该平面；直线垂直于平行平面中的一个，则垂直于另一个；两相交平面分别垂直于第三平面

27、，其交线垂直于第三平面；两平面相垂直，则其中一平面内垂直于交线的直线，垂直于另一个平面。九、两平面平行的条件一平面内的两相交直线分别平行于另一平面，则面面平行；两平面内分别有两相交直线分别平行，则面面平行；垂直于同一直线的两平面平行；平行于同一个平面的两平面平行；无公共点的两平面平行。十、两平面垂直的条件相交构成直二平面角的两平面垂直；（2） 若一个平面过另一个平面的垂线，则这两平面垂直；（3） 若垂直于平行平面中的的一个平面，则垂直于另一个平面。(此外：关于“平行”、“垂直”问题的证明，还可以依据“初中平面几何结论”或“定义”去证明。但使用“平面几何结论”要先说明共面。)立体几何题怎么解高考

28、立体几何试题一般共有4道(客观题3道, 主观题1道), 共计总分27分左右,考查的知识点在20个以内. 选择填空题考核立几中的计算型问题, 而解答题着重考查立几中的逻辑推理型问题, 当然, 二者均应以正确的空间想象为前提. 随着新的课程改革的进一步实施,立体几何考题正朝着”多一点思考,少一点计算”的发展.从历年的考题变化看, 以多面体和旋转体为载体的线面位置关系的论证,角与距离的探求是常考常新的热门话题.例1 四棱锥PABCD的底面是边长为a的正方形，PB面ABCD.（1）若面PAD与面ABCD所成的二面角为60，求这个四棱锥的体积；（2）证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面PCD所成的二

29、面角恒大于90讲解:（1）正方形ABCD是四棱锥PABCD的底面, 其面积为从而只要算出四棱锥的高就行了.面ABCD,BA是PA在面ABCD上的射影.又DAAB， PADA， PAB是面PAD与面ABCD所成的二面角的平面角， PAB=60. 而PB是四棱锥PABCD的高，PB=ABtg60=a, .（2）不论棱锥的高怎样变化，棱锥侧面PAD与PCD恒为全等三角形. 作AEDP，垂足为E，连结EC，则ADECDE， 是面PAD与面PCD所成的二面角的平面角. 设AC与DB相交于点O，连结EO，则EOAC， 在 故平面PAD与平面PCD所成的二面角恒大于90. 本小题主要考查线面关系和二面角的概

30、念，以及空间想象能力和逻辑推理能力, 具有一定的探索性, 是一道设计新颖, 特征鲜明的好题.例2 如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC为等腰直角三角形，ACB=900，AC=1，C点到AB1的距离为CE=，D为AB的中点.（1）求证：AB1平面CED；（2）求异面直线AB1与CD之间的距离；（3）求二面角B1ACB的平面角.讲解:（1）D是AB中点，ABC为等腰直角三角形，ABC=900，CDAB又AA1平面ABC，CDAA1.CD平面A1B1BA CDAB1，又CEAB1， AB1平面CDE；（2）由CD平面A1B1BA CDDEAB1平面CDE DEAB1DE是异面直线AB1与C

31、D的公垂线段CE=，AC=1 , CD=；（3）连结B1C，易证B1CAC，又BCAC , B1CB是二面角B1ACB的平面角.在RtCEA中，CE=，BC=AC=1,B1AC=600， , , .作出公垂线段和二面角的平面角是正确解题的前提, 当然, 准确地作出应当有严格的逻辑推理作为基石.例3 如图al是120的二面角，A，B两点在棱上，AB=2，D在内，三角形ABD是等腰直角三角形，DAB=90，C在内，ABC是等腰直角三角形ACB=求三棱锥DABC的体积；（2）求二面角DACB的大小； （3）求异面直线AB、CD所成的角. 讲解: (1) 过D向平面做垂线，垂足为O，连强OA并延长至E

32、. 为二面角al的平面角.是等腰直角三角形，斜边AB=2.又D到平面的距离DO=（2）过O在内作OMAC,交AC的反向延长线于M,连结DM.则ACDM.DMO 为二面角DACB的平面角. 又在DOA中，OA=2cos60=1.且 （3）在平在内，过C作AB的平行线交AE于F，DCF为异面直线AB、CD所成的角. 为等腰直角三角形，又AF等于C到AB的距离，即ABC斜边上的高,异面直线AB,CD所成的角为arctg比较例2与例3解法的异同, 你会得出怎样的启示? 想想看. 例4在边长为a的正三角形的三个角处各剪去一个四边形这个四边形是由两个全等的直角三角形组成的，并且这三个四边形也全等，如图若用

33、剩下的部分折成一个无盖的正三棱柱形容器，如图则当容器的高为多少时，可使这个容器的容积最大，并求出容积的最大值 图 图 讲解: 设容器的高为x则容器底面正三角形的边长为, . 当且仅当 .故当容器的高为时，容器的容积最大，其最大容积为对学过导数的同学来讲，三次函数的最值问题用导数求解是最方便的，请读者不妨一试. 另外，本题的深化似乎与20XX年全国高考文科数学压轴题有关，还请做做对照. 类似的问题是:某企业设计一个容积为V的密闭容器，下部是圆柱形，上部是半球形，当圆柱的底面半径r和圆柱的高h为何值时，制造这个密闭容器的用料最省（即容器的表面积最小）. 例5 已知三棱锥PABC中，PC底面ABC，

34、AB=BC，D、F分别为AC、PC的中点，DEAP于E （1）求证：AP平面BDE； （2）求证：平面BDE平面BDF；（3）若AEEP=12，求截面BEF分三棱锥PABC所成两部分的体积比讲解: (1）PC底面ABC，BD平面ABC，PCBD由AB=BC，D为AC的中点，得BDAC又PCAC=C，BD平面PAC 又PA平面、PAC，BDPA由已知DEPA，DEBD=D，AP平面BDE （2）由BD平面PAC，DE平面PAC，得BDDE由D、F分别为AC、PC的中点，得DF/AP由已知，DEAP，DEDF. BDDF=D，DE平面BDF又DE平面BDE，平面BDE平面BDF （3）设点E和点A

35、到平面PBC的距离分别为h1和h2则 h1h2=EPAP=23, 故截面BEF分三棱锥PABC所成两部分体积的比为12或21值得注意的是, “截面BEF分三棱锥PABC所成两部分的体积比”并没有说明先后顺序, 因而最终的比值答案一般应为两个, 希不要犯这种”会而不全”的错误.例6 已知圆锥的侧面展开图是一个半圆，它被过底面中心O1且平行于母线AB的平面所截，若截面与圆锥侧面的交线是焦参数（焦点到准线的距离）为p的抛物线.（1）求圆锥的母线与底面所成的角；（2）求圆锥的全面积 讲解: （1）设圆锥的底面半径为R，母线长为l，由题意得：,即,所以母线和底面所成的角为（2）设截面与圆锥侧面的交线为MON，其中O为截面与AC的交点，则OO1/AB且在截面MON内，以OO1所在有向直线为y轴，O为原点，建立坐标系，则O为抛物的