2023高考科学复习解决方案-数学(名校内参版) 第八章 8.2空间几何体的表面积与体积（Word学案）

1、82空间几何体的表面积与体积(教师独具内容)1棱柱、棱锥、棱台的表面积是围成多面体各个面的面积之和；圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展开为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和；掌握球的表面积公式；组合体的表面积应注意重合部分的处理2在掌握正方体V正方体a3(a是正方体的棱长)、长方体V长方体abc(a，b，c分别是长方体的长、宽、高)体积公式的基础上进一步学习柱体、锥体、台体的体积公式以及柱体、锥体、台体它们的体积公式之间的关系熟练掌握球的体积公式3重点提升数学运算、逻辑推理和直观想象素养(教师独具内容)1本考点属于高考必考内容，命题的关注点在于几何体的表面

2、积与体积的求解，以数学文化与生活、生产实际中的几何体加工为情境的题会成为命题的热点2从近几年的高考试题来看，空间几何体的表面积、体积等问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度为中低档主观题考查较全面，考查线、面位置关系及表面积、体积公式，无论是何种题型都考查学生的空间想象能力预测2023年高考仍将以空间几何体的表面积、体积为主要考查点，重点考查学生的空间想象能力、运算能力及逻辑推理能力(教师独具内容)(教师独具内容)1圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧 eq o(,sup3(01)2rlS圆锥侧 eq o(,sup3(02)rlS

3、圆台侧 eq o(,sup3(03)(rr)l2空间几何体的表面积与体积公式表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积S侧2S底V eq o(,sup3(01)S底h锥体(棱锥和圆锥)S表面积S侧S底V eq o(,sup3(02) eq f(1,3)S底h台体(棱台和圆台)S表面积S侧S上S下V eq f(1,3)(S上S下 eq r(S上S下)h球S eq o(,sup3(03)4R2V eq o(,sup3(04) eq f(4,3)R3注：柱体、锥体、台体的侧面积，就是各个侧面面积之和；表面积是各个面的面积之和，即侧面积与底面积之和把柱体、锥体、台体的面展开成一个平面图形，称为它的展开图，圆

4、柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形，其表面积就是展开图的面积1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2S.()(2)球的体积公式是V4R2.()(3)体积为8的正方体的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为12.()(4)圆锥的表面积公式为S表rl.()答案(1)(2)(3)(4)2将一个相邻边长分别为4，8的矩形卷成一个圆柱，则这个圆柱的表面积是()A402B.642C322或642D3228或32232答案D解析圆柱侧面积为48322.当底面周长为4时，底面半径为2，表面积为322243228；当底面

5、周长为8时，底面半径为4，表面积为32221632232.故选D.3.在直角梯形ABCD中，ADCD，ADBC，BC2AD2CD2，若将直角梯形绕AD边旋转一周，则所得几何体的表面积为()A eq blc(rc)(avs4alco1(3r(2) B. eq blc(rc)(avs4alco1(5r(2)C eq blc(rc)(avs4alco1(3r(2) D. eq blc(rc)(avs4alco1(5r(2)答案B解析将直角梯形绕AD边旋转一周，则所得几何体为底面半径为1，高为2的圆柱中挖去一个同底的，高为1的圆锥，圆锥的母线长为 eq r(2)，故几何体的表面积为122121 eq

6、r(2) eq blc(rc)(avs4alco1(5r(2).4母线长为5的圆锥的侧面展开图的圆心角等于 eq f(8,5)，则该圆锥的体积是_答案16解析由题意知，侧面展开图的弧长为5 eq f(8,5)8，设圆锥底面圆的半径为r，则82r，r4，圆锥的高h eq r(5242)3，体积为 eq f(1,3)42316.5如图，长方体ABCDA1B1C1D1的体积是60，E为CC1的中点，则三棱锥CEBD的体积是_答案5解析因为长方体ABCDA1B1C1D1的体积为VBCDCCC160，所以VCEBDVEBCD eq f(1,3) eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)BC

7、DC) eq f(1,2)CC1 eq f(1,12)BCDCCC1 eq f(1,12)605.1(2021新高考卷)已知圆锥的底面半径为 eq r(2)，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为()A2 B2 eq r(2)C4 D4 eq r(2)答案B解析设圆锥的母线长为l，底面半径为r，因为圆锥的侧面展开图为一个半圆，所以2rl.所以l2r2 eq r(2).故选B.2(2021新高考卷)正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为()A2012 eq r(3) B28 eq r(2)C eq f(56,3) D eq f(28r(2),3)答案D解析作出图形，连

8、接该正四棱台上、下底面的中心，如图，因为该四棱台上、下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，所以该棱台高h eq r(22（2r(2)r(2)）2) eq r(2)，下底面面积S116，上底面面积S24，所以该棱台的体积V eq f(1,3)h(S1S2 eq r(S1S2) eq f(1,3) eq r(2)(164 eq r(64) eq f(28r(2),3).故选D.3(2021全国甲卷)已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且ACBC，ACBC1，则三棱锥OABC的体积为()A eq f(r(2),12) B eq f(r(3),12)C eq f(r(2),4) D eq f

9、(r(3),4)答案A解析记ABC外接圆的圆心为O1，连接OO1，则OO1平面ABC，由ACBC，ACBC1，知O1为AB的中点，且AB eq r(2)，O1B eq f(r(2),2)，又球O的半径为1，所以OB1，所以OO1 eq f(r(2),2)，所以VOABC eq f(1,3)SABCOO1 eq f(1,3) eq f(1,2)11 eq f(r(2),2) eq f(r(2),12).故选A.4(2019全国卷)已知三棱锥PABC的四个顶点在球O的球面上，PAPBPC，ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，CEF90，则球O的体积为()A8 eq r(6)

10、B4 eq r(6)C2 eq r(6) D eq r(6)答案D解析设PAPBPC2a，则EFa，FC eq r(3)，EC23a2.在PEC中，cos PEC eq f(a23a2（2a）2,2ar(3a2) eq f(34a2,2ar(3a2).在AEC中，cos AEC eq f(a23a24,2ar(3a2) eq f(1,2ar(3a2).PEC与AEC互补，cos PECcos AEC，即34a21，解得a eq f(r(2),2)，故PAPBPC eq r(2).又ABBCAC2，PA，PB，PC两两垂直，外接球的直径2R eq r(（r(2)）2（r(2)）2（r(2)）2)

11、 eq r(6)，R eq f(r(6),2)，V eq f(4,3)R3 eq f(4,3) eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(6),2) eq sup12(3) eq r(6).故选D.5(2021全国甲卷)已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为30，则该圆锥的侧面积为_答案39解析设该圆锥的高为h，则由已知条件可得 eq f(1,3)62h30，解得h eq f(5,2)，则圆锥的母线长为 eq r(h262) eq r(f(25,4)36) eq f(13,2)，故该圆锥的侧面积为6 eq f(13,2)39.一、基础知识巩固考点空间几何体的表面积例1如图，四面体各个面都

12、是边长为1的正三角形，其三个顶点在一个圆柱的下底面圆周上，另一个顶点是上底面圆心，则圆柱的侧面积为()A eq f(r(2),3) B eq f(3r(2),4)C eq f(2r(2),3) D. eq f(r(2),2)答案C解析设圆柱的底面半径为r，母线长为l，由四面体各个面都是边长为1的正三角形，可得2r eq f(1,sin 60) eq f(2r(3),3)，解得r eq f(r(3),3)，则棱锥的高为h eq r(12blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),3)sup12(2) eq f(r(6),3)，即圆柱的母线长为l eq f(r(6),3)，所以圆柱的侧面积为

13、S2rl2 eq f(r(3),3) eq f(r(6),3) eq f(2r(2),3).故选C.例2(2021厦门模拟)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，ABBC，AA1AC2，直线A1C与侧面AA1B1B所成的角为30，则该三棱柱的侧面积为()A44 eq r(2) B.44 eq r(3)C12D84 eq r(2)答案A解析连接A1B.因为AA1底面ABC，则AA1BC，又ABBC，AA1ABA，所以BC平面AA1B1B，所以直线A1C与侧面AA1B1B所成的角为CA1B30.又AA1AC2，所以A1C2 eq r(2)，BC eq r(2).又ABBC，则AB

14、eq r(2)，则该三棱柱的侧面积为2 eq r(2)22244 eq r(2).1.(2021安徽皖江名校联盟)已知圆锥的顶点为A，过母线AB，AC的截面面积为2 eq r(3).若AB，AC的夹角为60，且AC与圆锥底面所成的角为30，则该圆锥的表面积为()A2 eq r(2) B. eq blc(rc)(avs4alco1(2r(3)6)C eq blc(rc)(avs4alco1(4r(2)6) D. eq blc(rc)(avs4alco1(4r(3)6)答案D解析设圆锥的母线长为l，则 eq f(1,2)l2sin 602 eq r(3)，l2 eq r(2)，圆锥底面半径是rOC

15、2 eq r(2)cos 30 eq r(6)，于是该圆锥的表面积为 eq r(6)2 eq r(2)( eq r(6)2(4 eq r(3)6).故选D.2(2021湖北B4联考)现有一个三棱锥形状的工艺品PABC，点P在底面ABC的投影为Q，满足 eq f(SQAB,SPAB) eq f(SQAC,SPAC) eq f(SQBC,SPBC) eq f(1,2)， eq f(QA2QB2QC2,AB2BC2CA2) eq f(1,3)，SABC9 eq r(3)，若要将此工艺品放入一个球形容器(不计此球形容器的厚度)中，则该球形容器的表面积的最小值为()A42 B44 C48 D49答案D解

16、析如图所示，作QMAB于M，连接PM，因为PQ平面ABC，所以PQAB，又QMPQQ，所以AB平面PQM，所以ABPM，所以 eq f(SQAB,SPAB) eq f(f(1,2)ABQM,f(1,2)ABPM) eq f(1,2)，即PM2QM，因为 eq f(SQAB,SPAB) eq f(SQAC,SPAC) eq f(SQBC,SPBC) eq f(1,2)，由对称性得ABBCAC，又因为 eq f(QA2QB2QC2,AB2BC2CA2) eq f(1,3)，SABC9 eq r(3)，所以SABC eq f(1,2)AB2sin 609 eq r(3)，解得AB6，AQ2 eq r

17、(3)，所以QM eq r(3)，PM2 eq r(3)，PQ3，设外接球的半径为r，球心为O，在AOQ中，AO2OQ2AQ2，即r2(3r)2 eq blc(rc)(avs4alco1(2r(3) eq sup12(2)，解得r eq f(7,2)，所以外接球的表面积为S4r249，即该球形容器的表面积的最小值为49.故选D.几类空间几何体表面积的求法(1)多面体：其表面积是各个面的面积之和(2)旋转体：其表面积等于侧面面积与底面面积的和(3)简单组合体：应搞清各构成部分，并注意重合部分的删、补考点空间几何体的体积例3如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的已知螺帽的底面正六边

18、形边长为2 cm，高为2 cm，内孔半径为0.5 cm，则此六角螺帽毛坯的体积是()A12 eq r(3) cm3 B eq f(,2) cm3C eq blc(rc)(avs4alco1(12r(3)f(,2) cm3 D eq blc(rc)(avs4alco1(12r(3)f(,2) cm3答案D解析正六棱柱的体积为6 eq f(r(3),4)22212 eq r(3)(cm3)，圆柱的体积为0.522 eq f(,2)(cm3)，则该六角螺帽毛坯的体积是 eq blc(rc)(avs4alco1(12r(3)f(,2) cm3.故选D.例4(2022江西重点中学协作体联考)如图，ABC

19、DEF为五面体，其中四边形ABCD为矩形，EFAB，AB3EF eq f(3,2)AD3，ADE和BCF都是正三角形，则该五面体的体积为()A eq f(7r(2),3) B. eq f(4r(2),3)C eq r(2) D. eq f(3r(2),2)答案A解析过点F作FO平面ABCD，垂足为O，取BC的中点P，连接PF，OP，过点F作FQAB，垂足为Q，连接QO，并延长交CD于G，连接FG，得到四棱锥FBCGQ，同理得到四棱锥EADMN，可得VFBCGQVEADMN，如图所示，因为ADE和BCF都是边长为2的等边三角形，AB3EF3，所以OP eq f(1,2)(ABEF)1，PF eq

20、 r(3)，可得OF eq r(PF2OP2) eq r(2)，所以VEADMNVFBCGQ eq f(1,3)S四边形BCGQOF eq f(1,3)12 eq r(2) eq f(2r(2),3)，中间部分三棱柱FGQEMN为直三棱柱，其体积为VFGQEMNSFGQEF eq f(1,2)2 eq r(2)1 eq r(2)，所以该五面体的体积为VVFGQEMNVEADMNVFBCGQ eq r(2)2 eq f(2r(2),3) eq f(7r(2),3).故选A.例5棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为棱BB1，AB的中点，则三棱锥A1D1MN的体积为_答案1解析如

21、图，由正方体的棱长为2，得SA1MN222 eq f(1,2)21 eq f(1,2)11 eq f(3,2)，又易知D1A1为三棱锥D1A1MN的高，且D1A12，VA1D1MNVD1A1MN eq f(1,3)SA1MND1A1 eq f(1,3) eq f(3,2)21.3.(2022重庆八中期末)唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体(假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度)，如图2所示，已知半球的半径为R，酒杯内壁表面积为 eq f(14,3)R2，设酒杯上部分(圆柱)的体积为V1，下部分(半球

22、)的体积为V2，则 eq f(V2,V1)()A2 B eq f(3,2) C eq f(1,2) D1答案C解析设酒杯上部分高为h，则酒杯内壁表面积S eq f(1,2)4R22Rh eq f(14,3)R2，解得h eq f(4,3)R，V1R2h eq f(4,3)R3，V2 eq f(1,2) eq f(4,3)R3 eq f(2,3)R3， eq f(V2,V1) eq f(1,2).4已知一正四棱柱内切于底面半径为1，高为2的圆锥，当正四棱柱的体积最大时，该正四棱柱的底面边长为()A eq f(2r(2),3) B. eq f(r(2),3) C eq r(2) D.2 eq r(

23、2)答案A解析如图，圆锥的高PN分别交正四棱柱上下底面于M，N两点，NE1，PN2.令正四棱柱的底面边长为a，则MB eq f(r(2),2)a.易知 eq f(PM,MB) eq f(PN,NE)，PM eq f(PN,NE)MB eq r(2)a，MN2 eq r(2)a，V正四棱柱a2 eq blc(rc)(avs4alco1(2r(2)a)，其中a eq blc(rc)(avs4alco1(0，r(2).令V(a)a2(2 eq r(2)a)，a(0， eq r(2)，则V(a)4a3 eq r(2)a2，当0a0，当 eq f(2r(2),3)a eq r(2)时，V(a)0，V(a

24、)在 eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(2r(2),3)上单调递增，在 eq blc(rc)(avs4alco1(f(2r(2),3)，r(2)上单调递减，故当正四棱柱体积最大时，该正四棱柱的底面边长为 eq f(2r(2),3).5(2019全国卷)学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型如图，该模型为长方体ABCDA1B1C1D1挖去四棱锥OEFGH后所得的几何体其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，ABBC6 cm，AA14 cm.3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为_g.答案118.8解析由题知挖去的

25、四棱锥的底面是一个菱形，对角线长分别为6 cm和4 cm，故V挖去的四棱锥 eq f(1,3) eq f(1,2)46312(cm3).又V长方体664144(cm3)，所以模型的体积为V长方体V挖去的四棱锥14412132(cm3)，所以制作该模型所需原料的质量为1320.9118.8(g).与空间几何体的体积有关的常见题型与求解策略常见题型求解策略锥体、柱体、台体的体积问题根据题设条件求出所给几何体的底面积和高，直接套用公式求解其中，等体积转化法多用来求三棱锥的体积球的体积问题直接利用球的体积公式求解，实际问题中要根据题意作出图形，构造直角三角形确定球的半径不规则几何体的体积问题常用分割或

26、补形的思想，若几何体的底不规则，也需采用同样的方法，将不规则的几何体或平面图形转化为规则的几何体或平面图形，使之易于求解考点球与空间几何体的接、切问题例6九章算术中将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，将底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”，在如图所示的堑堵ABCA1B1C1中，AA1AC5，AB3，BC4，则在堑堵ABCA1B1C1中截掉阳马C1ABB1A1后的几何体的外接球的体积是()A50 B eq f(125r(2),3)C eq f(125r(2),6) D200答案B解析由题知剩余的几何体为三棱锥C1ABC，CC1平面ABC，ABBC.将三棱锥C1ABC放入长

27、方体，长方体的外接球为三棱锥的外接球，如图所示，外接球半径R eq f(r(423252),2) eq f(5r(2),2)，所以外接球体积V eq f(4,3) eq blc(rc)(avs4alco1(f(5r(2),2) eq sup12(3) eq f(125r(2),3).故选B.例7(2020全国卷)已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_答案 eq f(r(2),3)解析易知半径最大的球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，其中BC2，ABAC3，且点M为BC边上的中点，设内切球的球心为O，由于AM eq r(3212)2 eq r(2)，故

28、SABC eq f(1,2)22 eq r(2)2 eq r(2).设内切球的半径为r，则SABCSAOBSBOCSAOC eq f(1,2)ABr eq f(1,2)BCr eq f(1,2)ACr eq f(1,2)(323)r2 eq r(2)，解得r eq f(r(2),2)，其体积V eq f(4,3)r3 eq f(r(2),3).6.如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切若O1O22，则圆柱O1O2的表面积为()A4 B5C6 D答案C解析因为该球与圆柱的上、下底面，母线均相切，不妨设圆柱的底面半径为r，故2rO1O22，解得r1.故该圆柱的表面积为

29、2r22rO1O2246.故选C.7(2021河南焦作二模)已知点A，B，C在半径为5的球面上，且ABAC2 eq r(14)，BC2 eq r(7)，P为球面上的动点，则三棱锥PABC体积的最大值为()A eq f(56r(7),3) B. eq f(52r(7),3)C. eq f(49r(7),3) D. eq f(14r(7),3)答案A解析如图，M是ABC的外心，O是球心，OM平面ABC，当P是MO的延长线与球面交点时，P到平面ABC的距离最大，由ABAC2 eq r(14)，BC2 eq r(7)，得cos ACB eq f(r(2),4)，则sin ACB eq f(r(14),

30、4)，2AM eq f(AB,sin ACB) eq f(2r(14),f(r(14),4)8，AM4，OM eq r(OA2AM2) eq r(5242)3，PM358，又SABC eq f(1,2)ACBC sin ACB eq f(1,2)2 eq r(14)2 eq r(7) eq f(r(14),4)7 eq r(7)，此时VPABC eq f(1,3)7 eq r(7)8 eq f(56r(7),3).故选A.8(2022海南模拟)四面体ABCD的每个顶点都在球O的球面上，AB，AC，AD两两垂直，且AB1，AC2，AD3，则四面体ABCD的体积为_，球O的表面积为_答案114解析

31、因为AB，AC，AD两两垂直，且AB1，AC2，AD3，所以四面体ABCD的体积为 eq f(1,3) eq f(1,2)1231；把此四面体补形为长方体，球的直径即为长方体的体对角线设球O的半径为r，则(2r)212223214.其表面积为4r214.球与空间几何体的接、切问题的处理关键是确定球心及半径，常见的求解方法有如下几种：(1)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题求解(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两垂直，且PAa，PBb，PCc，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，

32、根据4R2a2b2c2求解(3)利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解二、核心素养提升一、解方程确定球心的位置例1已知正三棱锥SABC的侧棱长为4 eq r(3)，底面边长为6，则该正三棱锥外接球的表面积是_答案64解析如图，过点S作SE平面ABC于点E，记球心为O.在正三棱锥SABC中，底面边长为6，侧棱长为4 eq r(3)，BE eq f(2,3) eq f(r(3),2)62 eq r(3)，SE eq r(SB2BE2)6.球心O到四个顶点的距离相等，均等于该正三棱锥外接

33、球的半径R，OBR，OE6R.在RtBOE中，OB2BE2OE2，即R212(6R)2，解得R4，外接球的表面积为S4R264.二、借助三角形的外心确定球心的位置例2(2021南昌市八一中学模拟)如图所示，在三棱锥SABC中，ABC与SBC都是边长为1的正三角形，二面角ABCS的大小为 eq f(2,3)，若S，A，B，C四点都在球O的表面上，则球O的表面积为()A eq f(7,3) B eq f(13,3) C eq f(4,3) D3答案A解析如图，取线段BC的中点D，连接AD，SD，由题意得ADBC，SDBC，ADS是二面角ABCS的平面角，ADS eq f(2,3)，由题意得BC平面

34、ADS，分别取AD，SD的三等分点E，F，在平面ADS内，过点E，F分别作直线垂直于AD，SD，两条直线的交点即球心O，连接OA，则球O的半径ROA，由题意知BD eq f(1,2)，AD eq f(r(3),2)，DE eq f(1,3)AD eq f(r(3),6)，AE eq f(2,3)AD eq f(r(3),3)，连接OD，在RtODE中，ODE eq f(,3)，OE eq r(3)DE eq f(1,2)，OA2OE2AE2 eq f(7,12)，球O的表面积为S4R2 eq f(7,3).三、有公共斜边的四面体的外接球问题例3在四面体ABCD中，AB eq r(2)，DADB

35、CACB1，则四面体ABCD的外接球的表面积为()A B2 C3 D4答案B解析取AB的中点O，因为AB eq r(2)，DADBCACB1，所以CA2CB2AB2，DA2DB2AB2，可得ACBADB90，所以OAOBOCOD eq f(r(2),2)，即O为外接球的球心，球的半径R eq f(r(2),2)，所以四面体ABCD的外接球的表面积为S4R24 eq f(1,2)2.四、对棱相等的四面体外接球问题例4在四面体ABCD中，若ABCD eq r(3)，ACBD2，ADBC eq r(5)，则四面体ABCD的外接球的表面积为()A2 B4 C6 D8答案C解析由题意可采用割补法，考虑到

36、四面体ABCD的四个面为全等的三角形，所以可将其补形为一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体，如图所示，并且x2y23，x2z25，y2z24，则有(2R)2x2y2z26(R为球的半径)，得4R26，所以球的表面积为S4R26.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，过多面体的一条侧棱和球心或“切点”“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题1长方体的外接球球心：体对角线的交点；半径：R eq f(r(a2b2c2),2)(a，b，c为长方体的长、宽、高).2正方体与球(1)正方体的内切球：截面图为正方形EFHG的内切圆，如图

37、所示设正方体的棱长为a，则OJr eq f(a,2)(r为内切球半径).(2)与正方体各棱相切的球：截面图为正方形EFHG的外接圆，则GOR eq f(r(2),2)a.3正四面体与球如图，设正四面体的棱长为a，内切球的半径为r，外接球的半径为R，取AB的中点为D，连接CD，SE为正四面体的高因为正四面体本身的对称性，内切球和外接球的球心同为O，且O在高SE上此时，COOSR，OEr，SE eq r(f(2,3)a，CE eq f(r(3),3)a，则有Rr eq r(f(2,3)a，R2r2CE2 eq f(a2,3)，解得R eq f(r(6),4)a，r eq f(r(6),12)a.4

38、三条侧棱互相垂直的三棱锥的外接球(1)如果三棱锥的三条侧棱互相垂直并且相等，则可以补形为一个正方体，正方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心即三棱锥A1AB1D1的外接球的球心和正方体ABCDA1B1C1D1的外接球的球心重合如图，设AA1a，则R eq f(r(3),2)a.(2)如果三棱锥的三条侧棱互相垂直但不相等，则可以补形为一个长方体，长方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心R2 eq f(a2b2c2,4) eq f(l2,4)(l为长方体的体对角线长).常用结论：解答球的有关问题时，通常要用到截面圆如图所示，设球O的半径为R，截面圆O的半径为r，M为截面圆上任意一点，球心O

39、到截面圆O的距离为d，则在RtOOM中，OM2OO2OM2，即R2d2r2.课时作业一、单项选择题1正四棱台的上、下底面边长分别为1 cm，3 cm，侧棱长为2 cm，则棱台的侧面积为()A4 cm2 B8 cm2C4 eq r(3) cm2 D8 eq r(3) cm2答案D解析正四棱台的上、下底面边长分别为1 cm，3 cm，侧棱长为2 cm，所以棱台的斜高为 eq r(22blc(rc)(avs4alco1(f(31,2)sup12(2) eq r(3)(cm).所以棱台的侧面积是4 eq f(13,2) eq r(3)8 eq r(3)(cm2).故选D.2已知正四棱锥SABCD的底面

40、边长为2，侧棱长为 eq r(3)，则该正四棱锥的体积等于()A eq f(4,3) B eq f(4r(3),3)C4 eq r(3) D4答案A解析如图，正四棱锥SABCD，SB eq r(3)，OB eq r(2)，则SO1，则该正四棱锥的体积V eq f(1,3)221 eq f(4,3).故选A.3已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，则该圆柱的外接球的体积为()A eq f(5r(5),6) B eq f(8r(2),3)C eq f(20r(5),3) D eq f(64r(2),3)答案B解析如图为圆柱的轴截面图，O为外接球球心，母线BB1长度为2，底面半径rO2B1，易得外接球

41、半径ROB eq r(OO eq oal(sup1(2),sdo1(2)O2B2) eq r(2)，所以外接球的体积V eq f(4,3)( eq r(2)3 eq f(8r(2),3).故选B.4.如图，圆台上底面半径为3，下底面半径为5，若一个平行于底面的平面沿着该圆台母线的中点将此圆台分为上、下两个圆台，设该平面上方的圆台侧面积为S1，下方的圆台侧面积为S2，则S1S2()A925 B916C79 D1625答案C解析如图为圆台的截面图形，截面圆圆心为O，半径为r，则r eq f(35,2)4，l为上下方圆台的母线长，则S1(34)l7l，S2(45)l9l，S1S279.故选C.5(2

42、022江苏省高三月考)阿基米德(公元前287年公元前212年)是伟大的古希腊哲学家、数学家和物理学家，他死后的墓碑上刻着一个“圆柱容球”的立体几何图形：在圆柱容器里放一个球，使该球四周碰壁，且与上、下底面相切，则在该几何体中，圆柱的体积与球的体积之比为()A eq f(3,2) B eq f(4,3)C eq f(2,3)或 eq f(3,2) D eq f(2,3)答案A解析设球的半径为r，由题意可知该球与圆柱侧面和上、下底面相切，所以圆柱的底面半径为r，圆柱的高为h2r，所以圆柱的体积V1r22r2r3，球的体积V2 eq f(4,3)r3，所以圆柱的体积与球的体积之比为 eq f(V1,

43、V2) eq f(2r3,f(4,3)r3) eq f(3,2).故选A.6一平面截一球得到直径为4 eq r(3) cm的圆面，球心到这个平面的距离为2 cm，则该球的体积为()A eq f(256,3) cm3 B64 cm3C eq f(64,3) cm3 D eq f(16,3) cm3答案A解析依题意得球半径R eq r(22blc(rc)(avs4alco1(f(4r(3),2)sup12(2)4，所以该球的体积V eq f(4,3)R3 eq f(4,3)43 eq f(256,3)(cm3).故选A.7(2020全国卷)已知A，B，C为球O的球面上的三个点，O1为ABC的外接圆

44、，若O1的面积为4，ABBCACOO1，则球O的表面积为()A64 B48C36 D32答案A解析设O1的半径为r，球的半径为R，依题意，得r24，r2.由正弦定理可得 eq f(AB,sin 60)2r，AB2r sin 602 eq r(3).OO1AB2 eq r(3).根据球的截面性质，得OO1平面ABC，OO1O1A，ROA eq r(OO eq oal(sup1(2),sdo1(1)O1A2) eq r(OO eq oal(sup1(2),sdo1(1)r2)4，球O的表面积S4R264.故选A.8.蹴鞠，又名蹴球、蹴圆、筑球、踢圆等，蹴有用脚蹴、踢的含义，鞠(如图所示)最早系外包

45、皮革、内实米糠的球因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录已知某鞠(近似看作球体)的表面上有四个点S，A，B，C，满足SABC为正三棱锥，M是SC的中点，且AMSB，侧棱SA1，则该鞠的表面积为()A3 B6C12 D16答案A解析如图，N为BC的中点，则MNSB，又AMSB，AMMN，又SABC为正三棱锥且侧棱SA1，MN eq f(1,2)，AN eq f(r(3),2)AB，若ASB，则AM2 eq f(5,4)cos ，AB222cos ，在RtAMN中，AM2MN2AN2，即

46、 eq f(3,2)cos eq f(3,4)(22cos )，可得cos 0，又0， eq f(,2)，SA，SB，SC两两垂直，易得外接球半径R eq f(r(3),2)，该鞠的表面积为4R23.故选A.二、多项选择题9.如图，一个正四面体和一个正四棱锥的所有棱长都相等，将正四面体的一个面和正四棱锥的一个侧面紧贴重合在一起，得到一个新几何体关于该几何体，下列说法正确的是()AAFCDB2VFABCVABCDEC新几何体有7个面D新几何体的六个顶点在同一个球面上答案AB解析取BC的中点G，DE的中点H，连接FG，AH，GH，则FGBC，BCGH，AHDE，则BC平面FGH，DE平面AGH，B

47、CDE，平面FGH与平面AGH重合，即四边形AHGF为平面四边形，AFCDGH，FGAH，四边形AHGF为平行四边形，AFCD，故A正确；BECD，BE平面ADCF，VABCDE2VABCD2VBACD，VBACDVBACFVFABC，2VFABCVABCDE，故B正确；平面ACF与平面ACD重合，平面ABF与平面ABE重合，该几何体有5个面，故C错误；由于该几何体为斜三棱柱，故不存在外接球，故D错误故选AB.10将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角ABDC，点P为线段AD上的一动点，下列结论正确的是()A异面直线AC与BD所成的角为90BACD是等边三角形CBCP面积的最小值为

48、 eq f(r(11),2)D四面体ABCD的外接球的表面积为4答案AB解析对于A，取BD的中点O，连接OA，OC，则BDOA，BDOC，又OAOCO，所以BD平面AOC，又AC平面AOC，所以BDAC，异面直线AC与BD所成的角为90，所以A正确；对于B，因为OAOC eq r(2)，所以AC eq r(（r(2)）2（r(2)）2)2，又ADDC2，所以ACD是等边三角形，所以B正确；对于C，过点P作PFBD于F，过F作EFBC于E，连接PE，因为二面角ABDC为直二面角，平面ABD平面CBDBD，所以PF平面CBD，因为BC平面CBD，所以PFBC，因为EFBC，且EFPFF，所以BC平

49、面PEF，又PE平面PEF，所以PEBC.设PFx，则DFx，BF2 eq r(2)x，所以EF2 eq f(x,r(2)，则PE eq r(x2blc(rc)(avs4alco1(2f(x,r(2)sup12(2) eq r(f(3,2)x22r(2)x4) eq r(f(3,2)blc(rc)(avs4alco1(xf(2r(2),3)sup12(2)f(8,3)，SBCP eq f(1,2)BCPE eq r(f(3,2)blc(rc)(avs4alco1(xf(2r(2),3)sup12(2)f(8,3)，当x eq f(2r(2),3)时，SBCP取得最小值 eq f(2r(6),3

50、)，所以C错误；对于D，根据题意得，四面体ABCD的外接球的球心为O，半径为R eq r(2)，所以表面积为4R28，所以D错误故选AB.三、填空题11(2021河北石家庄二中期末)若一个三棱台的上、下底面的面积分别是 eq r(3)和4 eq r(3)，体积为 eq f(7r(5),3)，则该三棱台的高为_答案 eq f(r(15),3)解析设三棱台的高为h，则由台体体积公式可得，V eq f(1,3)(SS eq r(avs4al(SS)h eq f(1,3)( eq r(3)4 eq r(3)2 eq r(3)h eq f(7r(5),3)，解得h eq f(r(15),3).12(20

51、21福建泉州高三月考)已知正三棱锥PABC的所有棱长均为4，点E，F分别在棱PB，PC上，EFBC，若平面AEF恰好将该正三棱锥分成体积相等的两部分，则EF的长度为_答案2 eq r(2)解析由题意VAPBC2VAPEF，设三棱锥APBC的高为h，由 eq f(1,3)SPBCh eq f(2,3)SPEFh，得 eq f(SPEF,SPBC) eq f(1,2).因为EFBC，所以PEFPBC，所以 eq f(SPEF,SPBC) eq blc(rc)(avs4alco1(f(EF,BC) eq sup12(2) eq f(1,2)，解得EF eq f(r(2),2)BC2 eq r(2).

52、13如图1，在直角梯形ABCD中，ABAD，CDAD，AB2AD2CD2，将ACD沿AC折起到ACD的位置，得到图2中的三棱锥DABC，其中平面ABC平面ACD，则三棱锥DABC的外接球的表面积为_答案4解析因为ABAD，CDAD，AB2AD2CD2，所以AC eq r(2)，BC eq r(2)，因为AC2BC2AB2，所以ACBC，又平面ABC平面ACD，平面ABC平面ACDAC，BC平面ABC，所以BC平面ACD，因为AD平面ACD，所以BCAD，因为CDAD，BCCDC，所以AD平面BCD，因为BD平面BCD，所以ADBD，取AB的中点O，连接DO，OC，则DOOAOBOC，所以点O即

53、为三棱锥DABC的外接球的球心，所求外接球的半径R eq f(1,2)AB1，所以三棱锥DABC的外接球的表面积为4R24124.14如图，在三棱锥PABC中，点B在以AC为直径的圆上运动，PA平面ABC，ADPB，垂足为D，DEPC，垂足为E，若PA2 eq r(3)，AC2，则三棱锥PABE体积的最大值是_答案 eq f(r(3),2)解析由PA平面ABC，得PABC，又BCAB，PAABA，BC平面PAB，得BCAD，又ADPB，PBBCB，AD平面PBC，得ADPC，而DEPC，ADDED，PC平面ADE，可得AEPC.在RtPAC中，由PA2 eq r(3)，AC2，得PC4.由RtPEARtPAC，得 eq f(PE,PA) eq f(PA,PC)，则PE eq f(PA2,PC) eq f(12,4)3，在RtPAE中，由PE3，PA2 eq r(3)，得AE eq r(3)，SPAE eq f(1,2)AEPE eq