三角形重心性质定理讲义

1、三角形重心性质定理1、配方法：所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其 中的某些项配成一个或几个多项式正整数次暮的和形式。通过配方解决数学问题的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方 法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等 方面都经常用到它。2、因式分解法：因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。 因式分解是恒等变形的根底，它作为数学 的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角函数等的解题中起 着重要的作用。因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分

2、组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、 求根分解、换元、待定系数等等。3、换元法：换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称 为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去 代替原式的一个局部或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。4、判别式法与韦达定理：一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、cCR, aw 0） 根的判别式 =b2-4ac,不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法， 在代数式变形，解方程（组），解不等式，研究函数乃至解析几何、三角 函数运算中都有非常广泛的应用。韦达定理除了一元二次方程的一个根，求另一根；两

3、个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以 求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些 有关二次曲线的问题等，都有非常广泛的应用。5、待定系数法：在解数学问题时，假设先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含 有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。 它是中学数学中常用的重要方 法之一。6、构造法：在解题时，我们常常会采用这样的方法，通过对条件和结论的分析，构造辅助元素，它可以是一个图形、一个方程 （组卜一个等式、一个函数、一个等价命题等，架起一座连接条

4、件和结 论的桥梁，从而使问题得以解决，这种解题的数学方法，我们称为构造 法。运用构造法解题，可以使代数、三角、几何等各种数学知识互相渗 透，有利于问题的解决。7、反证法：反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过 正确的推理，导致矛盾，从而否认相反的假设，到达肯定原命题正确的 一种方法。反证法可以分为归谬反证法 （结论的反面只有一种）与穷举反 证法（结论的反面不只一种）。用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：（1）反设；（2）归谬；（3转论。反设是反证法的根底，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否认的表述形式是有必要的，例如:是/不是；存在/不

5、存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/ 不等于；大（小）于/不大（小）于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有； 至少有n个/至多有（n 1）个；至多有一个/至少有两个；唯一 /至少有 两个。归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否那么推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严 谨。导出的矛盾有如下几种类型： 与条件矛盾；与的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。8、等（面或体）积法：平面（立体）几何中讲的面积（体积）公式以及由面积（体积）公式推出的与面积（体积） 计算有关的性质定理，不仅可用于计算面积 （体积），而且用它来证明（计 算）几何题

6、有时会收到事半功倍的效果。 运用面积（体积）关系来证明或计 算几何题的方法，称为等（面或体）积法，它是几何中的一种常用方法。用归纳法或分析法证明几何题，其困难在添置辅助线。等（面或体）积法的特点是把和未知各量用面积（体积方式联系起来，通过运算到达求证 的结果。所以用等（面或体）积法来解几何题，几何元素之间关系变成数 量之间的关系，只需要计算，有时可以不添置补助线，即使需要添置辅 助线，也很容易考虑到。9、几何变换法：在数学问题的研究中，常常运用变换法，把复杂性问题转化为简单性的问题而得到解决。所谓变换是一个集合的任一元素到同一集合的元素的一个一一映射。中学数学中所涉及的变换主要是初等变换。 有

7、一些看来很难甚至于无法下手的 习题，可以借助几何变换法，化繁为简，化难为易。另一方面，也可将 变换的观点渗透到中学数学教学中。 将图形从相等静止条件下的研究和 运动中的研究结合起来，有利于对图形本质的认识。几何变换包括：平移；（2）旋车（3）对称。10.客观性题的解题方法：选择题是给出条件和结论，要求根据一定的关系找出正确答案的一类题型。选择题 的题型构思精巧，形式灵活，可以比较全面地考察学生的根底知识和根 本技能，从而增大了试卷的容量和知识覆盖面。填空题是标准化考试的 重要题型之一，它同选择题一样具有考察目标明确，知识复盖面广，评 卷准确迅速，有利于考察学生的分析判断能力和计算能力等优点，不

8、同的是填空题未给出答案，可以防止学生猜估答案的情况。要想迅速、正 确地解选择题、填空题，除了具有准确的计算、严密的推理外，还要有 解选择题、填空题的方法与技巧。下面通过实例介绍常用方法。（1）直接推演法：直接从命题给出的条件出发，运用概念、公式、定理等进 展推理或运算，得出结论，选择正确答案，这就是传统的解题方法，这 种解法叫直接推演法。（2瀚证法：由题设找出适宜的验证条件，再通过验证，找出正确答案，亦可将供选择的答案代入条件中去验证，找 出正确答案，此法称为验证法（也称代入法）。当遇到定量命题时，常用 此法。（3片寺殊元素法：用适宜的特殊元素（如数或图形）代入题设条件或结论中去，从而获得解答

9、。这种方法叫特殊元素法。（4）排除、筛选法：对于正确答案有且只有一个的选择题，根据数学知识或推理、 演算，把不正确的结论排除，余下的结论再经筛选，从而作出正确的结 论的解法叫排除、筛选法。 （5）图解法：借助于符合题设条件的图形 或图象的性质、特点来判断，作出正确的选择称为图解法。图解法是解 选择题常用方法之一。（6）分析法：直接通过对选择题的条件和结论，作详尽的分析、归纳和判断，从而选出正确的结果，称为分析法。省市下陆中学 宋毓彬1.三角形重心性质定理课本原题人教八年级 做学？下册习题19.2第16题在 ABC中，BD、CE是边AC、AB上的中线，BD与CE相交于 O。BO与OD的长 度有什

10、么关系？ BC边上的中线是否一定过点 O?为什么？提示：作 BO中点M, CO的中点N。连接ED、EM、MN、ND 分析：三角形三条中线的交点是三角形的重心第十九章课题学习座心？。这道习题要证明的结论是三角形重心的一个重要数学性质：三角形的重心将三角形的每条中线都分成1 ： 2两局部，其中重心到三角形某一顶点的距离是到该顶点对边中点距离的2倍。证法1:根据课本上的提示证明取 GA、GB 中点 M、N,连接 MN、ND、DE、EM。如图 1. MN GAB 的中位线，MN /AB, MN= 2 AB1又 ED 是 ACB 的中位线，DE / AB , DE= 2 ABDE / MN , DE=M

11、N ,四边形 MNDE是平行四边形GM=GD ,又 AM=MG ,那么 AG=2GD同理可证：CG=2GF , BG=2GE点评：证法1是利用中点构造三角形中位线，从而得到平行四边形， 再利用平行四边形性质得到中线上三个线段之间的相等关系。证法2:延长BE至F,使GF=GB ,连接FC。.G是BF的中点，D是BC的中点1GD 是 BFC 的中位线，GD / FC, GD= - FC由 GD / FC, AE=CE ,易证 AEGCEFAG=FC ,即 GD=之 AG点评：利用线段中点，还可以将与线段中点有关的线段倍长，构造全等，从而利用全等三角形的性质及三角形中位线的性质证明结论。证法3:取E

12、C中点M,连DM ,利用平行线分线段成比例及 E是AC中点可证得一样 的结论。证明过程略2.三角形重心性质定理的应用求线段长例1 如图3所示，在 RtA ABC中，/ A=30。，点D是斜边AB的中点，当 G是Rt ABC的重心，GELAC于点E,假设 BC=6cm ,那么 GE=cm 。A 图3 E解：RtAABC 中，/ A=30 , BC=6，AB=BC=12 ,1D是斜边AB的中点，CD= A. AB=62G 是 RtAABC 的重心，CG= 3 CD=4由 CD=AD , / A=30 , / GCE=30 2RtAGCE 中，/ GCE=30 , CG=4 ,GE= 2 CG=2c

13、m求面积例2在4ABC中，中线AD、BE相交于点 O,假设 BOD的面积等于5,求 ABC的 面积。解：O是 ABC的重心，.AO : OD=2 ： 1S AOB : SABOD =2 ： 1 即 SAAOB =2 Sa BOD =10 Saabd = S aob + Sa bod =10+5=15又AD是 ABC的中线Saabc=2 S ABD =30。练习：1.如图5, ABC中，AD是BC边上的中线，G是重心，如果 AG=6 ,那么线段DG=。2.如图6,在 ABC中，G是重心，点D是BC的中点，假设 ABC的面积为6cm2,那 CGD的面积为。倍角三角形中的一个结论省市下陆中学宋毓彬例

14、1天津市中考题在 ABC中，/ A、/ B、/ C所对应的边分别用 a、b、c表示。 如图 1,在4ABC 中，/ A=2/B,且/ A=60 。求证：a2=bb+c如果一个三角形的一个角等于另一个角的2倍，我们称这样的三角形为“倍角三角形。此题第一问中的三角形是一个特殊的倍角三角形，那么对于任意的倍角 ABC,如图2, /A=2/B,关系式a2=bb+c是否仍然成立？并证明你的结论。分析：在 ABC 中，/ A=2 / B,且/ A=60 , ABC 为 RtA, / C=90走 1证法 1: RtAACB 中 a= 2 c, b= 2 c,3 3113 n所以 a2= 2 c2= 4, b

15、b+c= 2 c之 c+c= 4,所以 a2=b b+c。 对于任意的倍角 ABC, /A=2/B,关系式a2=bb+c仍然成立。 如图2,延长BA至D,使AD=AC=b，连CD。 那么/ CAB=2 ZD , ./ B=Z D, BC=CD=a ,AD _ CD b _ a I- 由adcscdb CD 30，即口 i + c o所以 a2=bb+c。由以上的证明，可以得到关于倍角三角形的一个结论：一个三角形中有一个角等于另一个角的两倍，2倍角所对边的平方等于一倍角所对边乘该边与第三边的和。例2中另外两种证法同样可证得a2=bb+c。例2（2021年全国初中数学联赛）在4ABC中，最大角/

16、A是最小角/ C的2倍，且AB=7 , AC=8。那么 BC=A7KB10CD7石分析：此题由例1中的结论，那么BC2=77+8=105,所以 BC=JW5以下还可以提供几种解法供参考。解法一：分割法。如图1,作/ CAB的平分线 AD交BC于D。2 B x + y ABCA DBA，y=工=157x+y= VW5。y - 105,解得15评析：解法一的思路是常规思路，平分倍角构造相似三角形，通过相似比得到方程组 求出线段长，进而求出 BC的长。但这种方法中，二元二次方程组的计算较为复杂。解法二：构造法。如图2,延长 CA至点D,使AD=AB 。那么/ D= Z ABD= 2 / CAB= ZC, CBDA DAB ,BD CDAB = BD ,BD2=AB - C