专题143 等比数列及其求和(解析版)

1、专题14.3等比数列及其求和（精讲精析篇）提纲挈领点点突破热门考点01等比数列的有关概念等比数列定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比 数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母0表示（q丰0），即： J = q（q。0）,（注意：“从第 a n二项起”、“常数”q、等比数列的公比和项都不为零）等比数列通项公式为：a = Q - qn-1（ai - q。0）.说明：（1）由等比数列的通项公式可以知道：当公比=1时该数列既是等比数列也是等差数列；（2）等比,、a数列的通项公式知：若a为等比数列，则-m = qm - n .n3 .等

2、比中项如果在a与人中间插入一个数G，使a,G,b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项（两个符号相同的非 零实数，都有两个等比中项）4.等差数列与等比数列的区分与联系（1）如果数列a 成等差数列，那么数列%（A%总有意义）必成等比数列.n（2）如果数列a成等比数列，且a” 0，那么数列log.。（a 0，且a。1）必成等差数列.如果数列气既成等差数列又成等比数列，那么数列气是非零常数数列.数列a是常数数列仅是数 列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件.如果由一个等差数列与一个等比数列的公共项顺次组成新数列，那么常选用“由特殊到一般”的方法进行 讨论，且以等比数列的项为主，探求等比数列中哪些

3、项是它们的公共项，构成什么样的新数列.A. 12B. 24C. 30D. 32【答案】D 【解析】设等比数列的公比为q，则 a + a + a = a G + q + q2 )= 1 n1231a + a + a = a q + a q2 + a q3 = a q G + q + q2 )= q = 22341111因此，a6+ a + a = aq5 + a q6 + a q7 = a q5 G + q + q2 )= q5 = 32.故选：D.求bb2，气；判断数列。是否为等比数列，并说明理由；n求a 的通项公式.n【答案】(1况=1，b2 = 2，b3 = 4 ； (2) bn 是首项为

4、1，公比为2的等比数列.理由见解析；(3)an = n -2 n-1.【解析】2 (n +1)由条件可得a +1 =a .将n = 1代入得，a2 = 4a1，而a1 =1，所以，a2 = 4 .将n = 2代入得，a3= 3%，所以，a3= 12 .从而 b1 = 1， b2 = 2，b3 = 4 ；七是首项为1，公比为2的等比数列.由条件可得% =生，即b = 2b，又b = 1n +1nn+1n 1所以是首项为1,公比为2的等比数列；（3）由（2）可得 = b - 1x 2n-1 - 2t，所以 a = n - 2-1.【总结提升】.等比数列的基本运算：等比数列中有五个量a1，n, q,

5、 a，S，一般可以“知三求二”，通过列方程（组） 求关键量a1和q,问题可迎刃而解.等比数列的判定方法定义法：对于数列EJ，若 = q（q壬0），则数列是等比数列； n TOC o 1-5 h z 等比中项：对于数列E ，若a a = a2，则数列E 是等比数列； nn n+2n+1n（3）通项公式法 an=cqn（ c, q均是不为0的常数，n e N *） 上是等比数列.热门考点02等比数列的前n项和一般地，设等比数列a , a , a , , a ,的前n项和是S = a + a + a + + a，当q主1时，23nn 123na （1 一qn） a a q,。（错位相减法）.S =或

6、 S = ；当 q = 1 时，S = na.说明：（1） a ,q,n,S和a ,a ,q,S各已知三个可求第四个；（2）注意求和公式中是qn，通项公式中是qn-1 1n 1 n n不要混淆；（3）应用求和公式时q主1，必要时应讨论q = 1的情况.A. 2n-1B. 2-21-nC. 2-2n-1D. 21-n-1【答案】B 【解析】 设等比数列的公比为q5|aq4 - aq2 = 12 I q = 2由匕-a3=12a6 -a4= 24可得：；=2尸。=1，I 111所以 a = a qn-1 = 2n-1,S =吓】一引）=1一2! = 2n -1 n 1n 1 - q 1 - 2S

7、2n -1 三 c 因此f =2 - 2i-na2n-1n故选：B.求。的通项公式；n记S为。的前n项和.若S = 63，求m .答案(1)气=(一2t或七=2n_i .(2) m = 6.【解析】设an的公比为q，由题设得气=qn-i.由已知得q4 = 4q2，解得q =。(舍去)，q = 一2或q = 2故 a = (-2 -1 或 a = 2n-1.若a =(-2-1，则S = 1-(一2 .由Sm = 63得(-2 )m =-188，此方程没有正整数解.若 a = 2 n-1，则 S = 2n -1.由 Sm = 63 得 2m = 64，解得 m = 6.综上，m = 6【总结提升】

8、若已知首项a和末项a，则S = a1 -anq ；若等比数列an的首项是a，公比是q，则其前n项和公式1n n1 qn1a (1 qn)为VF .注意应用分类讨论思想：等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q = 1时， a 的前n- a (1 qn) 项和S =na1 ；当q手1时， a 的前n项和S = 一热门考点03等比数列的相关性质等比数列的性质：(1)在等比数列aj中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等比中项;(2)在等比数列a 中，相隔等距离的项组成的数列是等比数列， 如：a , a , a , a ,；a n13573a , a , a ,81318(3)在等比数列aj

9、中，对任意m , n g N* , an = amqn-m ；(4)在等比数列aj中，若m，n，p，q g N 且 m + n = p + q，贝。a+ma = a a，特殊地，时，则a 2 = a a，a是a、a的等比中项.也就是：a -a = a -a = a -a =，如图所示:m p q m p q1 n 2 n-13 n - 2a1，%, a3,a,a , an-1 nan-1(5)若数列上是等.比数列，且公比不为一1，Sn是其前n项的和，k g N *，那么Sk，S2k -Sk，S3k - S 2 k成等比数列.如下图所示: TOC o 1-5 h z ,3ka + a + a +

10、 + a + a + + a+ a + + a%导2 J %PV J 4丁 IvSkS2k -SkS3k -S2k(6)两个等比数列an与b的积、商、倒数的数列abj、.、1仍为等比数列. nn(7)若数列an是等比数列，则ka，a2J仍为等比数列.公比不为1的等比数列，其相邻两项的差也依次成等比数列，且公比不变，即a -a，a - a，a -a，13243成等比数列，且公比为-3_幻= 一-q = q.a 一 aa 一 a2121等比数列的单调性f a 0 f a 0 f a 1 0 q 1n0 v q 1 n等差数列和等比数列比较等差数列等比数列定义a + - a =常数a=常数an通项公

11、式a = a + (n 一 1)da = a - qn-1(a - q 丰 0)判定方法定义法；中项公式法：2 a = a + a(n e N *)oan为等差数列；通项公式法：a = pn + q (p, q为n常数,n e N * )0 a为等差数列；前n项和公式法：S = An2 + Bn (A, B 为常数， nn e N * )0 a,为等差数列；aj为等比数列，且a.0，那 么数列log a (a 。，且a壬1) 为等差数列定义法中项公式法：a a = a2n n+2n+1(n e N *) (a丰0 )0 a 为等比数列通项公式法：a” = cqn (c, q均是不为 0的常数，

12、n e N * )0an为等比数列an为等差数列0 L%( A%总有 意义)为等比数列性质若 m，n，p，q e N+，且m + n = p + q，则 a + a = a + a(2) a = a + (n - m) dS , S 一 S , S 一 S，仍成 n 2 nn3 n2 n等差数列若 m，n，p，q e N +，且m + n = p + q，则 a a = a aan = amqn-m等比数列依次每n项和(Sn 0)，即S , S 一 S , S 一 S，仍成等比数列 n 2 nn 3 n2 n前n项和S = n(a + a ) = + n(n -1) # n 2 n = na1

13、2q = 1 时，S = n。；当 q。1 时，S =七(1 -qn)或S = % -aq n1 - qn1 - q -7512575A. 20B.万C.2D. 一T【解析】由题意得，S = 20,S -S =10,则土A =1，根据等比数列的性质可知S ,S -S ,S -S S -S4 8 4 * 2 4 8 4 12 8 16 121575构成公比为 2 等比数列，S4 = 20, S8 - S4 =10, S2 - S8 = 5,S6-S12 = 2，且 S8 = 30, S2 = 35,S. =，故选B.A. 12B. 10C. 8D. 2+log35【答案】B【解析】 因为数列血。

14、；a 是等差数列，所以log曰-1建a Tog】当 = d3 n3 n+13 n 3 ana所以 f! = 3d, n e N * an所以数列J是等比数列，所以a5a6 = a4a7，=18所以 a a = a a = 95647所以a a = a a =1 102 9=a a =a a =9，4 75 6a10)= log3 95 = 10，所以 log a + log a + + log a = log (a a13 23 1031 2故选：B【温馨提醒】 应用等比数列性质解题时的两个关注点(2)等比数列的项经过适当的组合后组成的新数列也具有某种性质，例如在等比数列中，Sk，S2kSk，

15、S3k一 S2k，.也成等比数列，公比为qk(#1).热门考点04 等比数列基本运算A. 16B.8C. 4D.2【答案】C【解析】设正数的等比数列an的公比为qa + a q + a q2 + a q3 = 15,1111a q 4 = 3a q 2 + 4a侦111Ia 1，解得b 2，侦a1q2 =4,故选C求an的通项公式；记S打为数列log3an的前n项和.若S + S +1 = S +3，求m.【答案】(1) a = 3n-1 ； (2) m = 6. n【解析】(1)设等比数列a的公比为q ,a + a q = 4fa = 1根据题意，有I 11 Q，解得1 1 Q，a q 2

16、- a = 8 I q = 311所以 a = 3n-1 ；(2)令 b = log a = log 3n-1 = n 1n3 n3n(0 + n -1) n( n -1) 所以 S =二n 2n2 m( m 一 1) m( m +1)(m + 2)(m + 3)根据 Sm + Sm+1 = Sm+3，可得2+-=-，整理得m2 5m 6 = 0，因为m 0，所以m = 6.【规律方法】运用方程思想解答等比数列的基本运算问题是高考常见题型，要抓住基本量aq，掌握好设未知数、列 出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算.特殊设法:三个数成等比数列，一般设为一,a,aq ；四

17、个数成等比数列，一般设为一，一,aq,aq3.qq 3 q这对已知几数之积，求数列各项，运算很方便.热门考点05等比数列的前n项和公式的综合应用(I )求an的通项公式;(11)求 e, + ea2 + ean.【答案】(I) nln2； (II) 2+i 2.【解析】 (I)设等差数列a 的公差为dna + a = 5ln2， . 2a1 + 3d = 5ln2，又 a. = ln2，.d = ln2.=a + (n-1)d = nln2.(II)由知an = nln2，=enln2 = eln2n =2n，-ean:.%是以2为首项，2为公比的等比数列. ea1 + ea2 + ean =

18、 e ln2 + e m22 + e m2n=2 + 22 + + 2n=2 n+1 2 .ea1 + ea2. + ean =2n+1 一 2求气；.(II )设数列伯满足b = 0，b b = a (n e N *)，数列气勺的前n项和为T .求证:n+1 n n1【答案】(I) a = = (n e N*) (II)见证明2nT v 3(n e N*).【解析】由 S3 + a3=1得 a + a + 2a = 1 .a2 k1 16 )c 1即 a + a - 2a .由，得a + a + 2a 8(a + a -2a )123132即 6a3 17a2 + 7ai 0，亦即 6q2

19、17 q + 7 0 , 解得q 1或7，又q e(0)，故q ：.代入， HYPERLINK l bookmark212 o Current Document 11得 a 得 1 1 + q + 2q 2 2(1 n 1r 1 k 2 Jk 2 Jn，所以a = a -qn-1 2(II)证明：对任意n e N*(1 - qn ) 21 1 a2nnb b +(b - b )+(b - b )+ (b b ) 0 + a + a2+即 b +1 1 a .又4=，若规定a0201，a(n e N *)n1于是anbn(n e N *)从而T = (a + a +a an1 n)-1.1+32

20、n TOC o 1-5 h z 11 3 - 2n-1 11 ，3 - 22 n-1 3 3 - 22n-13即 T 2 时，b = S S 1=2n+1 - 2 C2n 2) = 2n+1 2n = 2 X 2n 2n = 2n验：当n = 1时，b1 = 2满足上式，.数列bj的通项公式为气=2.(2)由(1)得，c = 2an + log2b = 22n-1 + n， T = (2 +1) + Cz3 + 2)+ Cz5 + 3)+ G2n1 + n)n=(2 + 23+ 25+ + 22 n1)+ (1 + 2 + 3 + n) =2 - 4n) + n(1 +n)= 22 n+1 2

21、+ n 2 + n1 4232b + b = 12, b = a 2a , S = 11b 23341114(I )求虬和勺的通项公式；(II)求数列a2nbn的前n项和(n g N*).答案】(I) a = 3n 2. b = 2n. (I) (3n 4)2 n+2 +16 .【解析】(I)设等差数列a 的公差为d，等比数列b 的公比为q .由已知b + b = 12，得b (q + q2 )= 12 nn231而b1 = 2，所以q2 + q 6 = 0 .又因为q 0，解得q = 2 .所以， =2n由b = a 2a，可得3d a = 8.由S = 11b，可得a + 5d = 16，

22、联立，解得a = 1,d = 3341，1114，1，1，由此可得an = 3n - 2.所以，a 的通项公式为a =3n-2 , b 的通项公式为b = 2. nnnn（ii）解：设数列a2nbn的前n项和为t，由a2n=6 n2，有T = 4 x 2 +10 x 22 +16 x 23 + +（6n 2 ）x 2n n2T = 4 x 22 +10 x 23 +16 x 24 + +（6n 8）x 2 +（6n 2 ）x 2n+1 n上述两式相减，得-T = 4 x 2 + 6 x 22 + 6 x 23 + 6 x 2n （6n 2 ）x 2+i12 x（1 2 n）4 （6n 2 ）x

23、 2 n+1 = （3n 4 ）2 n+2 16.1 2得 T =（3n 4 ）2n+2 +16. n所以，数列a2 b 的前 n 项和为（3n 4）2n+2 +16.【总结提升】.一 S1.已知s求解通项公式时，通常利用公式b =L nn IS Sn n1n = 1nZ 2求解；数列求和一般是利用通项公式的特征，选择合适的方法求解，常用方法有：错位相减法，裂项相消法，分组求和法等，侧重考查数学运算和逻辑 推理的核心素养.2.解决等差数列与等比数列的综合问题，关键是理清两个数列的关系.如果同一数列中部分项成等差数列， 部分项成等比数列，要把成等差数列或等比数列的项抽出来单独研究；如果两个数列通

24、过运算综合在一起， 要从分析运算入手，把两个数列分割开，弄清两个数列各自的特征，再进行求解.热门考点07等比数列与数学文化一1A.此人第二天走了九十六里路B.此人第二天走的路程站全程的68C.此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里D .此人后三天共走了 42里路【答案】ACD【解析】设此人第n大走气里路，则数列。”是首项为a1，公比为q = |的等比数列，因为 S = 378，所以 s =1 = 378，解得a 19266111 2 1 对于A，由于a2 = 192x 2 = 96,所以此人第二天走了九十六里路，所以a正确；18 481对于B，由于a3 = 192X4 = 48,为8 8，所

25、以B不正确；对于C，由于378-192 =186,192 186 = 6，所以此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里，所以C正确；对于D，111、小由于a4 + a5 + a6 = 192X| 8 +16 + 32 = 42，所以 D 正确，。 JL U Q 匕 J故选：ACDA.、= 8b5B. 。是等比数列nC. a b = 105a + a + a _ 209D. a + a + a 193【答案】BD【解析】由题意可知，数列aj为等差数列，设数列aj的公差为d，a1 = 5，-c 30 X 29d,16由题意可得30a1+2 =390，解得d = 29，,16n +129. a =

26、a + (n 1)d = 云 ，.一 b2a ,n 2 an，F =云=2d (非零，n则数列b 是等比数列，B选项正确；n5d = 5 x 四=也 329 2940 =（2d ） = 25d 丰 23- b 。8bb，5，105A选项错误;a = a + 29d = 5 +16 = 21 /.ab = 5x221 105 c 选项错误;301，1 30a = a + 3d = 5 + 3 x 四=早412929a = a + 4d = 5 + 4 x 虬迎512929a + a + a3aa209所以，T 57a +a +a=5 = 53aa193，D选项正确.24644故选：BD巩固提升1

27、1A.-B.99C.D.【答案】A【解析】设公比为 q，则 a + a q + a q 2 = a q + 10a n q 2 = 9, a q 4 = 9.a =，选 A.11111119A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】若公比q=1,则当a10时，则S20190成立，若部则5=牛d1 - q.1-q与1 - q2019符号相同，a1与S2019的符号相同，则0” 20190”，即0”是“S20190”充要条件，故选：C.A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C【解析】在等式a = a a中，令m = 1，可得a = a a = 2a

28、，= 2m+nm nn+1n 1 na所以，数列ia是以2为首项，以2为公比的等比数列，则气=2 x 2-1 = 2,+ ak+10(1-210)2k+i(1-210)=k+1=1 - 21 - 2=2k+16101)= 25 (210 -1)2k+1 = 25，则 k +1 = 5，解得 k = 4.故选：C.A. 16克B.16C.D. 8【答案】A【解析】因为等比数列满足:na + a = 9, a a172 6所以，a1=1 或 a = 87故选：，所以 n+1a 且q 1，因此q6 = 8，则q3 = 2应 a = 8故a = a q 9= 1/2 .【答案】121【解析】 TOC o