2022年上海市高中数学知识点总结

1、高中数学学问点总结 1. 对于集合,肯定要抓住集合的代表元素,及元素的“ 确定性、互异性、无序性” ；如：集合Ax ylgx,By ylgx,C , | x y ylgx,A、B、C中元素各表示什么？2. 进行集合的交、并、补运算时,不要遗忘集合本身和空集 留意借助于数轴和文氏图解集合问题；的特别情形；空集是一切集合的子集,是一切非空集合的真子集； 3. 如：集合A2 x x2 x30,Bx ax12n；如BA,就实数 的值构成的集合为（答：1, ,01）3留意以下性质：（ ）集合a 1,a2, ,an的全部子集的个数是（ ）如ABABA,ABB；（3）德摩根定律： 4. C UABC UAC

2、UB,CUABC UAC UB,求实数a你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）如：已知关于x的不等式ax50 的解集为M,如3M且5M2 xa的取值范畴；（3M,a350a1,59,25）2 3a5M,a55032 5a5. 可以判定真假的语句叫做命题,规律连接词有“ 或”,“ 且” 和“ 非”.如pq 为真,当且仅当p、 均为真如pq 为真,当且仅当p、 至少有一个为真如p 为真,当且仅当p 为假 6. 命题的四种形式及其相互关系是什么？（互为逆否关系的命题是等价命题；）原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假； 7. 对映射的概念明白吗？映射f ：AB,是否留意到A 中元素

3、的任意性和 B 中与之对应元素的唯独性,哪几种对应能构成映射？（一对一,多对一,答应B 中有元素无原象；） 8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？（定义域、对应法就、值域） 9. 求函数的定义域有哪些常见类型？Fxf x fx的定例：函数yx4x2的定义域是 10. lgx3（答：0,22,33,4）如何求复合函数的定义域？如：函数f x 的定义域是a,b,ba0,就函数义域是 _；（答：a,a） 11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时,注明函数的定义 域了吗？ 12. 如：fx1exx,求f x .令tx1,就t0 xt21 f t et21t21f x ex21x21

4、x0反函数存在的条件是什么？（一一对应函数）求反函数的步骤把握了吗？（反解 x；互换 x、y；注明定义域） 13. 如：求函数f x 1xxx0的反函数2x0（答：f1 x1xxx10）反函数的性质有哪些？互为反函数的图象关于直线yx 对称；储存了原先函数的单调性、奇函数性； 14. 设yfx的定义域为A,值域为C,aA,bC,就fa = bf1 af1f a f1 a,f f1 f a b如何用定义证明函数的单调性？（取值、作差、判正负）如何判定复合函数的单调性？（yf u ,u ,就yff 为增函数,否就f 为减函数；）（外层）（内层） 当内、外层函数单调性相同时如：求ylog 1x22x

5、的单调区间2（设uux22x,由u20 就0 x2且log 1,x1u1,如图：2u O 1 2 x 当x0,1 时,u,又log1u,y2当x 1,2时,u,又log1u,y2 ） 15. 如何利用导数判定函数的单调性？在区间 a,b 内,如总有 f x 0 就 f x 为增函数；（在个别点上导数等于零,不影响函数的单调性）,反之也对,如 f x 0 呢？3如：已知 a 0,函数 f x x ax 在 1,上是单调增函数,就 a 的最大值是（） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 （令 f 3 x 2 a 3 x ax a03 3就 x a 或 x a3 3由已知 f x 在 1, 上为

6、增函数,就 a1,即 a 33a 的最大值为 3） 16. 函数 fx 具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？（fx 定义域关于原点对称）如fxf x 总成立f x 为奇函数函数图象关于原点对称如函数图象关于y轴对称fxf x 总成立f x 为偶函数留意如下结论：（1）在公共定义域内： 两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数；（ ）如fx是奇函数且定义域中有原点,就f00；42x1,如：如f x a2xa2为奇函数,就实数a2x11 时,f x （f x 为奇函数,xR,又0R,f 0即a20a20,a1）021又如：f x 为定义在1,1 上的奇

7、函数,当x0,x求f x 在1,1上的解析式；（令x1,0,就x0,1,fx42x1x又f x 为奇函数,f x 42x112xx4x2xx1,0又f 0,f x 44x11x01）xx0,f x ,就f x 为周期2x 17. 你熟识周期函数的定义吗？（如存在实数T（T0）,在定义域内总有f xT函数, T 是一个周期；）如：如f xaf x ,就（答：f x 是周期函数,T 2 a 为 f x 的一个周期）又如：如 f x 图象有两条对称轴 x a,x b即 f a x f a x ,f b x f b x 就 f x 是周期函数,2 a b 为一个周期如： 18. 你把握常用的图象变换了

8、吗？f x 与fx的图象关于y轴 对称a a f x 与f x 的图象关于x轴 对称f x 与fx的图象关于 原点 对称f x 与f1 的图象关于 直线yx对称f x 与f2ax的图象关于直线xa对称f x 与f 2 ax的图象关于 点 a,0 对称将yf x 图象左移a a0 个单位yf x右移yf xa a0 个单位上移b b0 个单位yf xa b下移b b0 个单位yf xa b留意如下“ 翻折” 变换：f x f x f x f | |如： f x log 2x1ylog2x1的图象作出ylog2x1及y y=log 2x O 1 x 19. 你娴熟把握常用函数的图象和性质了吗？k0

9、 y=b O Oa,bx x=a （ ）一次函数：ykxkb k00ybxkak0是中心O a,b （ ）反比例函数：yk推广为x的双曲线；（ ）二次函数y2 axbxc a0a xb24acb2图象为抛物线2 a4 a顶点坐标为b,4 acab2,对称轴xb2 a42 a开口方向：a0,向上,函数ymin4acb2b24 aa0,向下,ymax4 aca4应用：“ 三个二次” （二次函数、二次方程、二次不等式）的关系二次方程ax2bxc0,0时,两根x1、x2为二次函数yax2bxc 的图象与x轴的两个交点,也是二次不等式ax2bxc00解集的端点值；求闭区间 m,n上的最值；求区间定（动）

10、,对称轴动（定）的最值问题；一元二次方程根的分布问题；0如：二次方程ax2bxc0的两根都大于kbk2af k 0y a0 O k x 1x 2x 一根大于k,一根小于kf k 0（ ）指数函数：yaxa0,a1（ ）对数函数ylogax a0,a1由图象记性质！0a1 （ ）“ 对勾函数”yxk x k0利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区分是什么？y k 20. O kx 你在基本运算上常显现错误吗？ 21. 指数运算：a01a0 ,ap1a0 0,Nb0p aamnama0 ,amn1 a0 nnNMm a对数运算：logaMNlogaMlogalogaMlogaMlogaN,

11、loganM1logaMNn对数恒等式：alogaxxmbnnloga对数换底公式：logablogcblogalogcam如何解抽象函数问题？（赋值法、结构变换法）如：（1）x R,f x 满意 f x y f x f y ,证明 f x 为奇函数；（先令 x y 0 f 0 再令 y x, ）（ ）x R,f x 满意 f xy f x f y ,证明 f x 是偶函数；（先令 x y t f t t f tt f t f t f t f t f t f t ）（ ）证明单调性：f x 2 f x 2 x 1 x 2 22. 把握求函数值域的常用方法了吗？（二次函数法（配方法）,反函数法,

12、换元法,均值定理法,判别式法,利用函数单调性法,导数法等；）如求以下函数的最值： 23. （ ）y2x3134xR的弧长公（ ）y2x4x3（ ）x3,y2x2x3（ ）yx49x2设x3cos,0,（ ）y4 x9,x 0,1 x你记得弧度的定义吗？能写出圆心角为 ,半径为式和扇形面积公式吗？（lR,S 扇1lR1R2）22R 1 弧度O R 24. 熟记三角函数的定义,单位圆中三角函数线的定义sinMP,cosOM,tanATy B S T P 如：如80,就sin,cos,O M A x tan的大小次序是又如：求函数y12cos2x的定义域和值域；（12cos2x）12sinx0sin

13、 x2,如图：4kZ,0y1222 k5x2 k4 25. 你能快速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗？并由图象写出 单调区间、对称点、对称轴吗？sinx1,cosxy1tgxy x 2O 20,kZ对称点为k2,ysin 的增区间为2k2,2k2kZAcosx减区间为2k2,2k3kZ2图象的对称点为k,0,对称轴为xk2kZycos 的增区间为2k,2kkZ减区间为2k,2k2kZ图象的对称点为k2,0,对称轴为xkkZytan 的增区间为k2,k2kZ26. 正弦型函数y = Asinx +的图象和性质要熟记；或y（ ）振幅|A|,周期T2,求出 与 ,依点| |如f x0A,就xx0为对

14、称轴；如f x00,就x0,0为对称点,反之也对；（ ）五点作图：令x依次为0,2, ,3,22（x,y）作图象；（ ）依据图象求解析式；（求A、值）x 10如图列出x22 27. 解条件组求、值正切型函数yAtanx,T| |在三角函数中求一个角时要留意两个方面先求出某一个三角函数值,再判定角的范畴； 28. 如：cos x62,x,3,求 值；22（x3,7x65,x65,x13）263412在解含有正、余弦函数的问题时,你留意（到）运用函数的有界性了吗？ 29. 如：函数ysinxsin| |的值域是0,y2,2）（x0 时,y2sinx2,2,x0时,y娴熟把握三角函数图象变换了吗？（

15、平移变换、伸缩变换）平移公式：（ ）点 （ , ）2ah,kP （x,y）,就xxhyk0平移至yyk（ ）曲线f x,y 0 沿向量ah,k平移后的方程为f xh,如：函数y2sinx41的图象经过怎样的变换才能得到ysinx的图象？（y 2 sin 2 x 1 横坐标伸长到原先的 2 倍 y 2 sin 2 1 x 14 2 4左平移 个单位2 sin x 1 4 y 2 sin x 1 上平移 1 个单位y 2 sin x4纵坐标缩短到原先的 1 倍2 y sin x） 30. 娴熟把握同角三角函数关系和诱导公式了吗？如：1 sin 2cos 2sec 2tan 2tancot coss

16、ec tan4sin cos 0 称为 的代换；2“k” 化为 的三角函数“ 奇变,偶不变,符号看象限” ,2“ 奇” 、“ 偶” 指 k 取奇、偶数；如： cos 9 tan 7 sin 214 6又如：函数 y sin tan,就 的值为cos cot A. 正值或负值 B. 负值 C. 非负值 D. 正值（ycos sincos sincos sincos 22 cossin 11 0,0）sin 31. 娴熟把握两角和、差、倍、降幂公式 及其逆向应用了吗？懂得公式之间的联系：sinsincoscossin令sin22sincoscoscoscossinsin令tancos212 cos

17、sin2tantantan,22 cos112sin21tantancos22 costan22tan211tan2sin2cos 22asinbcosa2b2sinbasincos2sin4sin3cos2sin3应用以上公式对三角函数式化简；（化简要求：项数最少、函数 种类最少,分母中不含三角函数,能求值,尽可能求值；）详细方法：（ ）角的变换：如,222 （2）名的变换：化弦或化切（3）次数的变换：升、降幂公式（4）形的变换：统一函数形式,留意运用代数运算； 32. 如：已知sincos1,tan2,求tan2的值；1cos 23（由已知得：sincoscos1,tan12sin22si

18、n2又 tan2 3tan2tan1tantan12111）3 22tantan832正、余弦定理的各种表达形式你仍记得吗？如何实现边、角转化,而解斜三角形？余弦定理： a2b2c22bccosAcos Ab2c2a22bc（应用：已知两边一夹角求第三边；已知三边求角；） 33. 正弦定理：aAbBcC2Ra2RsinAb2RsinBsinsinsinc2RsinCS1absinC2ABC,ABCsinABsinC,sinA2BcosC2如ABC中,22 sinA2Bcos 2 C1（ ）求角C；（ ）如a2b2c2,求cos2Acos2B的值；2（1）由已知式得：1cosAB22 cosC1

19、1又ABC,22 cosCcosC10cos C1或cos C1（舍）2又0C,C3（ ）由正弦定理及2 a2b21c2得：22sin2A22 sinB3sinCsin2341cos 2 A1cos 2B334cos 2 Acos 2 B）4用反三角函数表示角时要留意角的范畴；反正弦：arcsin x2,2,x1,1 34. 反余弦：arccosx0,x1,1a 或xa反正切：arctan x2,2,xR不等式的性质有哪些？（ ）ab,c0acbcc0acbc（ ）ab,cdacbd（ ）ab0,cd0acbd（ ）ab011,ab011abab（ ）ab0anbn,nanb（ ）| |a a

20、0axa,| |ax如：如110,就以下结论不正确选项（）abA a2b2B abb2C a . | | | | |ab |D a bb2a答案： C 35. 利用均值不等式：abab2求最值时,你是否注a2b22 ab a,bR；ab2ab；2意到“a,bR” 且“ 等号成立” 时的条件,积ab或和ab其中之一为定值？（一正、二定、三相等）留意如下结论：a2b2aa2bab2 aba,bR2ab当且仅当b 时等号成立；a2b2Rc2abbcca a,b 36. 当且仅当abc 时取等号；243）ab0,m0,n0,就bbm1anaaambnb如：如x0,23 x4的最大值为x（设 y23 x

21、422 1224 3x当且仅当3 x4,又x0,x2 3时,y maxx3又如：x2y1,就2x4y的最小值为）（2x22y2 2x2y1 2 2,最小值为2 2不等式证明的基本方法都把握了吗？（比较法、分析法、综合法、数学归纳法等）并留意简洁放缩法的应用；37如：证明111121,穿轴法解得结2 22 32 n（111 11112213 n11n2232n211111 n111223n212）n.解分式不等式f x a a0的一般步骤是什么？g x （移项通分, 分子分母因式分解,x 的系数变为果；） 38. 用“ 穿轴法” 解高次不等式“ 奇穿,偶切” ,从最大根的 右上方开头 39. 4

22、0. 如： x1x12x230解含有参数的不等式要留意对字母参数的争论如：对数或指数的底分a1 或0a1 争论对含有两个肯定值的不等式如何去解？（找零点,分段争论,去掉肯定值符号,最终取各段的并集；）41.例如：解不等式|x3 |x11（解集为x x|1）2会用不等式| | | | |ab| | | | |证明较简洁的不等问题如：设f x x2x13,实数a 满意|xa |1求证： f x f a 2| |1 证明： | f a | |x2x13 a2a13 |xa xa1 | |xa |1 |xa xa1 | |xa1 | | | |1又| | | | |xa |1,| | | |1 f x

23、 f a 2 | |22| |1（按不等号方向放缩） 42. 不等式恒成立问题,常用的处理方式是什么？（可转化为最值问题,或“ ” 问题）如：af x 恒成立af x 的最小值af x 恒成立af x 的最大值 43. af x 能成立af x 的最小值例如：对于一切实数x,如x3x2a 恒成立,就a 的取值范畴是（设ux3x2,它表示数轴上到两定点2和 距离之和umin325,5a,即a5或者：x3x2x3x25,a5）等差数列的定义与性质定义：an1and d为常数,ana1n1d等差中项：x,A, 成等差数列2Axy前 项和Sna1annna1n n1d22性质：a n是等差数列（ ）如

24、mnpq,就a manapa q；（ ）数列a2n1,a2n,kanb仍为等差数列；Sn,S2nSn,S 3nS 2n 仍为等差数列；（ ）如三个数成等差数列,可设为ad, ,ad；（ ）如an,bn是等差数列Sn,Tn为前n项和,就amS2m1；mm1bT 2（ ）an为等差数列Snan2bn（ , 为常数,是关于 a bn的常数项为0 的二次函数）Sn的最值可求二次函数Snan2bn的最值；或者求出an中的正、负分界项,即：当a 10,d0,解不等式组a na n10可得 0Sn达到最大值时的n 值；当a 10,d0,由an10可得 0Sn达到最小值时的n 值；an如：等差数列an,Sn1

25、8,anan1an23,S 31,就n（由anan1an233 an13,an11又S 3a 12a333 a21,a213Sna1anna2an1n11n183222xyn27） 44. 等比数列的定义与性质定义：ann1q（ 为常数,qq0）,ana qn1a等比中项：x、 、 成等比数列G2xy,或Gna 1q1 前 项和：S na 11qnq1 （要留意 ）1q性质：a n是等比数列（ ）如mnpq,就amanapaq（ ）Sn,S2nSn,S3 nS2n 仍为等比数列45.由Sn求an时应留意什么？（n1 时,a1S 1,n2时,anSnS n1） 46. 你熟识求数列通项公式的常用

26、方法吗？例如：（ 1）求差（商）法如：a n满意1a11a 2 1a n2n15512222n5,14解： n1 时,1a121a 12n12时,1a 1 12 a21 得：n 22 1an12 n222n12an2 an2n11n1 a n142nn2 练习数列a n满意S nS n15an1,a 14,求an3（留意到an1Sn1Sn代入得：Sn14Sn又S 14,Sn是等比数列,Sn4nn2时,anSnSn1 34n1（2）叠乘法例如：数列a n中,a 113,an1nn1,求anan1an解：a a2a3 an12 nn1,1a2ana 123n又a 13,a n3n（3）等差型递推公

27、式由anan1f n ,a1a0,求an,用迭加法n2 时,a 2a 1f a 3a2f 两边相加,得：ana anan1f n a1f f f n na0f f f n 练习数列an,a 111,an3n1an1n2,求an（an13n）2（4）等比型递推公式ancan 1d c、 为常数,c0,c1,d0可转化为等比数列,设anxc an 1xancan 1c1x1, 为公比的等比数列 c令 c1 xd,xcd1ancd1是首项为a1cdancd1a1cd1cn1 ana1cd1cn1cd1练习数列an满意a19,3 an1an4,求an（an84n11）3（5）倒数法例如：a11,an1

28、2an2,求an1an由已知得：a11ann211n2 a2ana1111nan21,公差为1为等差数列,1ana 1211n111n1an22a nn21 47. 你熟识求数列前n 项和的常用方法吗？例如： （1）裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和,使之显现成对互为相反数的项；如：a n是公差为d 的等差数列,求n11d01a11k1a a k解： 由ak1k1ak1d111aa kda kak1kn111kn11111a a kda ka k11 111da1a 2a 2a 3a nn111da 1an1练习求和：11121S n3 11231 n12（a n ,2n1）（2）错位相减法

29、：如an为等差数列,bn为等比数列,求数列1a b nn（差比数列）前n项和,可由SnqSn求Sn,其中q为bn的公比；如：Sn12 x3x24x3 nxn1xSnx2x23 x34x4 n11xn1nxn212：1x Sn1xx2 xnnxnx1 时,S n1xn2nxn1x1x nn n1x1 时,Sn1232（3）倒序相加法： 把数列的各项次序倒写,再与原先次序的数列 相加；Snna11a2 an11an相加a 1an Snanan1 a2a 12Saana2an 练习 48. 已知f x 1x22,就f f f1xf 1f1ff f1x23412122f111（由 f x f11x22

30、1x12xxxx2x1f 原式f f f1f 23411113 1 2）2你知道储蓄、贷款问题吗？ 零存整取储蓄（单利）本利和运算模型：如每期存入本金rp 元,每期利率为r ,n 期后,本利和为：S np1rp12 p1nrp nn n1r 等差问题2 如按复利,如贷款问题按揭贷款的每期仍款运算模型（按 揭贷款分期等额归仍本息的借款种类）如贷款（向银行借款）p 元,采纳分期等额仍款方式,从借款日算起,一期（如一年）后为第一次仍款日,如此下去,第 n 次仍清；假如每期利率为 r （按复利）,那么每期应仍 x 元,满意p 1 r n x 1 r n 1x 1 r n 2 x 1 r x p 49.

31、 x11rnx1rrn111r xpr1rn1rn1贷款数, r 利率, n仍款期数 解排列、组合问题的依据是：分类相加,分步相乘,有序排列,无序组合；（ ）分类计数原理：Nm1m2 m n（m i为各类方法中的方法数） m n分步计数原理：Nm1m2（mi为各步骤中的方法数）（2）排列：从 n 个不同元素中,任取m（mn）个元素,依据一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列,全部排列的个数记为A n m .m1nn.mnAmn n1n2 nnm规定： 0.1（3）组合： 从 n 个不同元素中任取m（mn）个元素并组成一组,叫做从 n 个不 同元素中取出m个元素的一个组合

32、,全部组合个数记为Cn m .CmAmn n1 nm1n.nnAmm .m nm.m规定： C n1（ ）组合数性质： 50. CmCnm,CmCm1Cm1,C0C1 Cn2nnnnnnnnn解排列与组合问题的规律是：相邻问题捆绑法；相间隔问题插空法；定位问题优先法；多元问题分类法；至多至少问题间接法；相同元素分组可采纳隔板法,数量不大时可以逐一排出结果；xi如：学号为1,2,3,4 的四名同学的考试成果x4,89,90,91,92,93,i1, , ,4且满意x1x2x3就这四位同学考试成果的全部可能情形是（） A. 24 B. 15 C. 12 D. 10 解析：可分成两类：（ ）中间两个

33、分数不相等,有C 55（种）（2）中间两个分数相等x1x2x3x490,91,92,对应的排列可以数出来,分别有3,相同两数分别取4,3 种,有 10 种；共有 51015（种）情形 51. 二项式定理nrrC a rnnrbrC b nnnab nC a 0nnC a 1nn1bC a 2nn2b2二项绽开式的通项公式：Tr1C a rnbr0, 1nC n r 为二项式系数（区分于该项的系数）性质：（ ）对称性：CrCnrr0, , , ,nnn（ ）系数和：C0C1 nCn2n2n1nnC1C3C5C0 nC2 nC4nnnn（3）最值： n 为偶数时, n1 为奇数,中间一项的二项式系

34、数最大且为第nn1 项,二项式系数为 C n 2； 为奇数时, n 1 为偶数,中间两项的二项式2n 1 n 1系数最大即第 n 1 项及第 n 11 项,其二项式系数为 C n 2 C n 22 211如：在二项式 x 1 的绽开式中,系数最小的项系数为（用数字表示）（n11共有 12 项,中间两项系数的肯定值最大,且为第 12 6 或第 项2由 C x 11 r 11 r 1 r,取 r 5 即第 6 项系数为负值为最小：C 11 6 C 11 5426又如：1 2 x 2022a 0 a x a x 2 a 2022 x 2022x R,就a 0 a 1 a 0 a 2 a 0 a 3

35、a 0 a 2022（用数字作答）（令 x 0,得：a 0 1令 x 1,得：a 0 a 2 a 2022 1原式 2022 a 0 a 0 a 1 a 2022 2022 1 1 2022） 52. 你对随机大事之间的关系熟识吗？（ ）必定大事,P 1,不行能大事,P 0（ ）包含关系：A B,“A 发生必导致 B 发生” 称 B 包含 A；（ ）大事的和（并）：AB或AA A与BB A与BB“至少有一个发生” 叫做的和（并）；（ ）大事的积（交）：AB或AB“A与B同时发生” 叫做A与B的积；（5）互斥大事（互不相容大事）：“A、B 互斥；AB（6）对立大事（互逆大事）：A 与 B 不能同

36、时发生” 叫做“A不发生” 叫做A发生的对立（逆）大事,AAA,AA（7）独立大事： A 发生与否对 个大事叫做相互独立大事；B 发生的概率没有影响,这样的两 53. A与B独立,A与B,A与B,A与B也相互独立；对某一大事概率的求法：分清所求的是： （1）等可能大事的概率 （常采纳排列组合的方法,即P AA包含的等可能结果mp,那么在 n 次独立重复一次试验的等可能结果的总数n（ ）如A、B互斥,就P ABP AP B（ ）如A、 相互独立,就P ABP AP B（ ）P A1P A（5）假如在一次试验中A 发生的概率是试验中 A 恰好发生k次的概率： P n k C pk1pnk如：设 1

37、0 件产品中有4 件次品, 6 件正品,求以下大事的概率；（1）从中任取2 件都是次品；5 件恰有 2 件次品；P 1C2 422 C 1015（2）从中任取P 22 C C31065 C 1021（3）从中有放回地任取3 件至少有 2 件次品；解析： 有放回地抽取3 次（每次抽3 1 件）, n10而至少有 2 件次品为“ 恰有mC 32 4 61434344P 3C242631031252 次品” 和“ 三件都是次品”（4）从中依次取 5 件恰有 2 件次品；解析： 一件一件抽取（有次序）nA5,mC A A 24 5 233）是可重复排列问题,（4）106P 42 2C A A3106A

38、5 1021分清（ 1）、（ 2）是组合问题,（是无重复排列问题； 54. 抽样方法主要有：简洁随机抽样（抽签法、随机数表法）经常 用于总体个数较少时,它的特点是从总体中逐个抽取；系统抽样,常 用于总体个数较多时,它的主要特点是均衡成如干部分,每部分只取 一个；分层抽样,主要特点是分层按比例抽样,主要用于总体中有明 显差异,它们的共同特点是每个个体被抽到的概率相等,表达了抽样 的客观性和公平性； 55. 对总体分布的估量用样本的频率作为总体的概率,用样本 的期望（平均值）和方差去估量总体的期望和方差；要熟识样本频率直方图的作法：（ ）算数据极差xmaxxmin；（2）打算组距和组数；（3）打算

39、分点；（4）列频率分布表；（5）画频率直方图；其中,频率小长方形的面积组距频率组距样本平均值：x1x1x2 x nn样本方差：S 21x1x2x2x2 xnx2n如：从 10 名女生与 5 名男生中选 分层随机抽样,就组成此参赛队的概率为 56. （4 C C2）56 C 15你对向量的有关概念清晰吗？6 名同学参与竞赛, 假如按性别 _；（1）向量既有大小又有方向的量；（ ）向量的模有向线段的长度,| |a（ ）单位向量|a0|1,a0a| |（ ）零向量0,| |0ab（ ）相等的向量长度相等方向相同在此规定下向量可以在平面（或空间）平行移动而不转变；（6）并线向量（平行向量）方向相同或相

40、反的向量；规定零向量与任意向量平行；ba b0 存在唯独实数,使ba（7）向量的加、减法如图：OAOBOCOAOBBA（8）平面对量基本定理（向量的分解定理）e1,e2是平面内的两个不共线向量,a为该平面任一向量,就存在唯独实数对1、2,使得a1e 12e 2,e 1、e2叫做表示这一平面内全部向量的一组基底；（9）向量的坐标表示i,j是一对相互垂直的单位向量,就有且只有一对实数x, ,使得ax iy j,称x,y为向量a的坐标,记作：ax,y,即为向量的坐标表示； 57. 设ax1,y1,bx2,y2y1,x2y2就abx1,y1y1,y2x1ax1,y1x1,y1B两点间距离公式如A x1

41、,y 1,B x2,y2就ABx2x1,y2y1|AB|x2x12y2y12 ,A、平面对量的数量积a与b的数量积（或内积）；（ ）ab| | |cos叫做向量为向量a与b的夹角,0,B O bD aA 数量积的几何意义：ab等于| |与b在a的方向上的射影| |cos的乘积；（2）数量积的运算法就abbacab cacbcabx1,y1x2,y2x x 12y y 12留意：数量积不满意结合律abcab（ ）重要性质：设ax1,y1,bx2,y2abab0 x1x2y1y20abab| | |或ab| | |ab（b0, 惟一确定）x y 12x y 210a2| |2x2y2,|ab| |

42、 | |11cosabx2x x2y y2y2| | |y2 1x2 212练习|ab（ ）已知正方形ABCD,边长为 ,ABa,BCb,ACc,就c|答案： 2 2（ ）如向量ax,1,b4,x,当x时a与b共线且方向相同答案： 2 o（ ）已知 a、b 均为单位向量,它们的夹角为 60,那么 | a 3 b |答案：13 58. 线段的定比分点设 P x 1 1,y 1,P x 2 2,y 2,分点 P x,y,设 P 1、P 2 是直线 l 上两点,P 点在l 上且不同于 P 1、P 2,如存在一实数,使 P P PP 2,就 叫做 P 分有向线段P P 2 所成的比（0, 在线段 P

43、P 2 内,0, 在 P P 2 外）,且x 1 x 2 x 1 x 2x x1, 为 P P P 2 中点时,2y 1 y 2 y 1 y 2y y1 2如：ABC,A x 1,y 1,B x 2,y 2,C x 3,y 3就 ABC 重心 G 的坐标是 x 1 x 2 x 3,y 1 y 2 y 33 3 . 你能分清三角形的重心、垂心、外心、内心及其性质吗？ 59. 立体几何中平行、垂直关系证明的思路清晰吗？平行垂直的证明主要利用线面关系的转化：判定线 线线 面面 面性质线线线面面面线 线线面面 面线面平行的判定：ab,b面,aa 面a b 线面平行的性质： 面,面 ,bab三垂线定理（

44、及逆定理）：PA面,AO为PO 在内射影,a面,就aOAaPO； POaAOP O a 线面垂直：a , , ,c,bcOaa O b c 面面垂直：a面,a面l, laa,a面面,l 60. a面, 面aba b 面 ,面a三类角的定义及求法（1）异面直线所成的角 ,（2）直线与平面所成的角 ,0o时,b或b0 900 90（ ）二面角：二面角l的平面角,0o180oB,作 BO棱于 O,连（三垂线定理法：A 作或证AB 于AO,就 AO棱 l , AOB为所求；）三类角的求法：找出或作出有关的角；证明其符合定义,并指出所求作的角；运算大小（解直角三角形,或用余弦定理）；练习（1）如图, O

45、A 为 的斜线OB为其在 内射影,OC为 内过O点任始终线；证明：coscoscosA O CB D （ 为线面成角,AOC =,BOC =）（2）如图,正四棱柱 B1BCC 1所成的为 30 ；ABCDA1B1C1D1中对角线 BD18,BD1 与侧面求 BD1 和底面 ABCD所成的角；求异面直线 BD1 和 AD所成的角；求二面角 C1BD1B1的大小；D1 C1A 1 B1 H G （arcsin3；60o；A D B C arcsin6 3）4（3）如图 ABCD为菱形, DAB60 ,PD面 ABCD,且 PDAD,求面 PAB与面 PCD所成的锐二面角的大小；P C F D A

46、E B （ AB DC,P 为面 PAB 与面 PCD的公共点,作 PF AB,就 PF 为面 PCD与面 PAB的交线 ） 61. 空间有几种距离？如何求距离？点与点,点与线,点与面,线与线,线与面,面与面间距离；将空间距离转化为两点的距离,构造三角形,解三角形求线段的长（如：三垂线定理法,或者用等积转化法）；如：正方形ABCDA1B1C1D1中,棱长为a,就：（1）点 C到面 AB1C1的距离为 _；（2）点 B 到面 ACB1的距离为 _；（3）直线 A1D1到面 AB1C1的距离为 _；（4）面 AB1C与面 A1DC1 的距离为 _；（5）点 B 到直线 A1C1的距离为 _；A D BC D1C1A 1 B1 62. 你是否精确懂得正棱柱、正棱锥的定义并把握它们的性质？正棱柱底面为正多边形的直棱柱 正棱锥底面是正多边形,顶点在底面的射影是底面的中心；正棱锥的运算集中在四个直角三角形中：Rt SOB,Rt SOE,Rt BOE和Rt SBE它们各包含哪些元素？ 63. S 正棱锥侧1Ch （ 底面周长,h 为斜高）为此, 要2V锥1底面积 高3球有哪些性质？（ ）球心和截面圆心的连线垂直于截面rR2d2（2）球面上两点的距离是经过这两点的大圆的劣弧长；找球心角！（3）如图, 为