边界层积分解

1、传 热 学2022/8/1414-1 对流换热概述4-2 层流流动换热的微分方程组4-3对流换热过程的相似理论4-4边界层理论4-5 紊流流动换热第四章 对流换热原理2022/8/1423 边界层积分方程组及其求解边界层积分方程组1921年，冯卡门提出了边界层动量积分方程。1936年，克鲁齐林求解了边界层能量积分方程。所得的结果称为边界层问题的近似解 。边界层积分方程一般可由两种方法获得：其一是将动量守恒定律和能量守恒定律应用于控制体；其二是对边界层微分方程直接进行积分。2022/8/143(a)边界层质量积分方程 边界层质量积分方程是把质量守恒定律应用于一个控制容积导出的。取常物性、不可压缩

2、流体的二维稳态强制对流为对象作分析。 2022/8/144abcd在流体中划出控制容积，包括dx一段边界层，而z方向为单位长度。控制容积左侧面为ab右侧面为cd，顶面为bd，底面为壁面的ac部分，即取 ac为dx。2022/8/145ConservationofMassabcd2022/8/146abcd2022/8/147(b) 边界层动量积分方程边界层动量积分方程是把动量定律应用于一个控制容积导出的。取常物性、不可压缩流体的二维稳态强制对流为对象作分析。 abcd2022/8/148abcd由于在边界层内y方向上的流速很小，因此推导中只考虑x方向上的动量变化，不引入流速v。假设1图中给出了

3、速度的分布曲线。在距壁面y处流速为u，在y处u=u。 先计算单位时间内出入控制容积的动量之差。为此计算以下各项： 2022/8/149（1）穿过控制面ab进入控制容积的动量为 而同时穿过cd面流出的动量为 净流出的动量为 abcd2022/8/1410（2）没有流体穿过固体表面ac。但有流体质点穿过bd面。根据质量守恒，穿过bd面流入控制容积的质量流量等于流出cd面与流入ab面的质量流量之差： abcd2022/8/1411相应带入控制体的动量为 （略去u沿x变化引入的高阶导数项）假设2根据动量定律，在x方向上的动量变化必须等于x方向上作用在控制体表面上外力的代数和。 abcd2022/8/1

4、412作用在控制体表面上x方向上的外力，有作用于ac面上的切应力wdx以及ab和cd两面压力之差 abcd2022/8/1413abcd于是动量定律可表达为 由于存在以下关系： 2022/8/1414abcd于是式(c)可改写成为 重新组合可得 由伯努利方程知 代入(e)式得2022/8/1415abcd根据边界层理论，在边界层外的主流区u-u=0。改写上式积分上限得 这就是卡门在1921年导出的边界层动量积分方程。2022/8/1416(c) 边界层能量积分方程把能量守恒定律应用于控制容积可推导出边界层能量积分方程。 x方向上为dx，y方向上大于流动边界层即热边界层厚度，而z方向上为单位长度

5、的一个控制容积如图所示。 abcd2022/8/1417在常物性、流速不致引起耗散热的条件下，考察控制容积的能量守恒。在边界层数量级分析中已经得出结论 abcd结论：推导中仅考虑y方向上的导热 2022/8/1418（1）单位时间内穿过ab面进入控制容积的热量为单位时间内穿过cd面带出控制容积的热量为 （2）单位时间内穿过bd面进入控制容积的质量流量为 由它带入控制容积的热量为 abcd2022/8/1419（3）穿过ac面，因贴壁流体层导热带出控制容积的热量为 在稳态条件下，根据能量守恒进入与带出控制容积的热量相等，于是可得 整理后得 abcd2022/8/1420因为在热边界层以外t-t=

6、0，上式积分上限可改为t，得 (d) 边界层积分方程组求解示例作为边界层积分方程组求解的示例，仍以稳态常物性流体强制掠过平板层流时的换热作为讨论对象。壁面具有定壁温的边界条件。2022/8/1421边界层动量积分方程边界层能量积分方程2022/8/1422在本问题中，u为常数，动量积分方程式（1）左边的第二项为0。再引入 ，式（1）为为求解上式，还需补充边界层速度分布函数u=f(y)。选用以下有4个任意常数的多项式作为速度分布的表达式:2022/8/1423式中，4个待定常数由边界条件及边界层特性的推论确定，即 由此求得4个待定常数为 于是速度分布表达式为 2022/8/1424积分得 分离变

7、量，注意到x=0时=0，得 无量纲表达式为 其中Rex= ux/,其特性尺度为离平板前缘的距离x。 在x处的壁面局部切应力 2022/8/1425边界层积分方程求解得基本思想对包括固体边界及边界层外边界在内的有限大小的控制容积建立边界层积分方程（动量及能量守恒）对边界层中的速度分布及温度分布的函数形式做出假设（多项式，包含和t 及待定常数）利用边界条件确定待定常数，然后将假设分布带入积分方程求得和t 的计算公式计算速度变化率和温度变化率得出阻力系数和换热系数2022/8/1426速度边界层厚度局部壁面切应力热边界层厚度局部表面传热系数局部壁面切应力边界层积分方程求解结果2022/8/1427要

8、使边界层的厚度远小于流动方向上的尺度（即 ），也就是所说的边界层是一个薄层，这就要求雷诺数必须足够的大 因此，对于流体流过平板，满足边界层假设的条件就是雷诺数足够大。由此也就知道，当速度很小、黏性很大时或在平板的前沿，边界层是难以满足薄层性条件。（1）满足边界层假设的条件2022/8/1428随着x的增大，（x）也逐步增大，同时黏性力对流场的控制作用也逐步减弱，从而使边界层内的流动变得紊乱。 把边界层从层流过渡到紊流的x值称为临界值，记为xc，其所对应的雷诺数称为临界雷诺数，即 （2）临界雷诺数2022/8/1429流体平行流过平板的临界雷诺数大约是 2022/8/14302022/8/143

9、1在同一位置上热边界层厚度与速度边界层厚度的相对大小与流体的普朗特数Pr有关，也就是与流体的热扩散特性和动量扩散特性的相对大小有关。 由此式可以看出，热边界层是否满足薄层性的条件，除了Rex足够大之外还取决于普朗特数的大小，当普朗特数非常小时（Pr1）,热边界层相对于速度边界层就很厚，反之则很薄。 （3）热边界层厚度与速度边界层厚度的相对大小2022/8/1432热边界层也会因为速度边界层从层流转变为紊流而出现紊流热传递状态下的热边界层。按照普朗特的假设，在紊流状态下速度边界层与热边界层具有相同的数量级，即2022/8/1433（4）求解平均表面传热系数（5）计算物性参数用的定性温度为边界层平均温度 2022/8/1434例题5-1 温度为30的空气以0.5m/s的速度平行掠过长250mm、温度为50的平板，试求出平板末端流动边界层和热边界层的厚度及空气与单位宽度平板的换热量。解： 边界层的平均温度为 空气40的物性参数分别为v=16.96x10-6m2/s , =2.76x102W/m.k, Pr=0.699,在离平板前沿