§7用Mathematica求偏导数与多元函数的极值

1、第 页共l3页用作三维函数图在多元函数微积分中，作图可以使得问题更为直观，易于理解。这里首先给大家介绍“用Mathematica作三维函数图”1常用的三维绘图函数Plot3Dfx,y,x,a,b,y,c,d,可选项:作f(x,y)的图形。ParametricPlot3Dxu,v,yu,v,zu,v,u,a,bv,c,d:作三维参数方程的图形。Showfl,f2,f3,:将多个图形组合重新显示。2常用的可选项Plot3D函数有许多可选项可以用来修饰三维图形的外观。可以借助于可选项改变图形的外观，以便于观察。表10-1常用的可选项可选项默认值说明AxesTrue是否绘制坐标轴AxeslableNo

2、ne坐标轴的名称。zlabel为z轴的label，即z轴的标注，labelxlabel,ylabel,zlabel分别为x轴，y轴,z轴的标注AspectRatio1作图高、宽比例，可以说明为任意值BoxedTrue绘制外框。定义False则不绘制外框Displayfunction$DispIayfunction显示图形模式，定义Identity不显示图形PlotRangeAutomaticz方向的绘图范围ShadingTrue表面不上色或留白ViewPoint1.3,-2.4,2观测点(眼睛观测的位置)选择合适的观测点在也有助于观察图形，下面是典型的ViewPoint值:第 页共13页第 页

3、共13页表10-2典型的ViewPoint值ViewPoint值观测点的位置1.3,24,2默认观测点0,20从前方看0,0,2从上往下看0,-2,2从前方上面往下看0,-2,-2从前方下面往上看-2,-2,0从左前方看2,-2,0从右前方看例10.1画出函数z=sinx2y2图形，并使图形表面不上色。解In1:=Plot3DSinSqrtxT+yA2,x,0,2Pi,y,0,2Pi16040224-1-0.5600.5Out1=-SurfaceGraphics-In2:=Show%,Shading-FalseOut2=-SurfaceGraphics-例10.2画出函数zsinxcosy图形

4、，并使调整图形观测点观察图形是否对称。解In1:=Plot3DSinx*y,x,0,2Pi,y,0,2Pi,AxesLabel-“x”,“y”,“z”0.560Out1=-SurfaceGraphics-In2:=Show%,ViewPoint-1,-1,2第 页共13页第 #页共13页0.5仃5z00Out2=-SurfaceGraphics-例10.3画一单位双曲面。解首先，写出单位双曲面的参数方程x=Coshu*Cosvy=Coshu*Sinvz=uIn1:=ParametricPlot3DCoshu*Cosv,Coshu*Sinv,u,u,0,Pi,v,-Pi,Pi,AxesLabel

5、-“x”,“y”,“z”212-20 x2-2-2-10yz0Out1=-Graphics3D-例104画出函数宁+宁+161图形。解In1:=ParametricPlot3D2Sinu*Cosv,3Sinu*Sinv,4Cosu,u,0,Pi,Out1=-Graphics3D-v,-Pi,Pi,AxesLabel-x,y,z第 #页共13页第 #页共13页第 页共13页第 #页共13页-212In2=:Show%,ViewVertical-1,0,0 x-0-4-20-2Out2=-Graphics3D-例105画出由x+2y0与(x-1)2+y21所围的立体图形。解In1:=a1=Plot

6、3Dx+2y,x,0,2,y,0,2,DisplayFunction-Identity;a2=ParametricPlot3D1+Cosu,Sinu,v,u,0,2Pi,v,0,35,DisplayFunction-Identity;a3=Plot3D0,x,-1,2,y,-1,2,DisplayFunction-Identity;Showa1,a2,a3,AxesLabel-x,y,AspectRatio-Automatic,PlotRange-0,4,DisplayFunction-$DisplayFunction42110y001x-12-13AOut1=-Graphics3D-用求偏导

7、数与多元函数的极值函数Dt肛n,实际上给出了偏导数，在这个表达式中，假设个不是的函数，在中，它有一个函数Dt，它代表的是全微分，在这个函数中，所以的变量都有联系。在的说明中，Df,代表了f，而Dtf,x则代表了df。可以认dx为Dt表示了“全微分”例如：下面给出了一个全微分，其中n是x的函数，Dtf,x则代表了df。dxIn1:Dtx人n,xOut1xn(+Dtn,xlogx)x下面是一个全微分。其中Dtf,x代表了dx。In2:DtxAnOut2xn(nDtx+Dtnlogx)x注：在中，还是有些微分函数用于直接计算的，如下表所示：表10-3部分的微分函数第 页共13页第 #页共13页函数及

8、其表达式函数功能说明Df,xDf,x1,x2,L或Dtf,xl,x2,D臌，(x,n)或Dtf,(x,n)关于x的偏微分关于xl,x2等的混合偏微分关于x的n阶偏微分函数的全微分关于变量x的全微分例10.6求下列函数对x的偏导数l.ulnxx2y2；2.xyuarctg1-xy3.uesix；解In1:=DLogx+SqrtxA2+yA2,x;Simplify%4.u=（*通常Mathematica不自动化简微分结果，要借助于Simplify函数*）Out1=1x2y2第 页共13页第 #页共13页In2:=DArcTanh(x+y)/(1-x*y),x;Simplify%Out2=1y214

9、xyy2x2(1+y2)In3:=DEASiny/x,x;第 #页共13页第 #页共13页第 #页共13页第 #页共13页Simplify%eSiny_xyCos第 #页共13页第 #页共13页Out3=x2In4:=D(x/y)Az,x;第 #页共13页第 #页共13页第 #页共13页第 #页共13页Qz叽=i,y=1Q2zQ6z?Qx2Qx3y3Simplify%Out4=例107设z=x3siny+Qy第 #页共13页第 #页共13页解In1:=Clearz,x,y;第 #页共13页第 #页共13页第 #页共13页第 #页共13页zx,y:=xA3*Siny+yA3Sinx;/*定义二元

10、函数.*/第 页共13页第 #页共13页Dzx,y,y/*给函数的变量赋值.*/Out1=x3Cosy+3y2SinxIn2:=Dzx,y,y/x-1,y-1Out2=Cos1+3Sin1In3:=Dzx,y,x,2Out3=一y3Sinx+6xSinyIn4:=Dzx,y,x,3,y,3例108Out4=6Cosx+6Cosy=x2lny,x二,y=3u一2v,y解In1:=xu_,v_:=u/v;yu_,v_:=3u-2v;zx_,y_:=xu,vA2*Logyu,v;Dzx,y,u;Simplify%3uu（+2Log3u一2v）Out1=In2:=Out2=In3:=Out3=3u-2

11、vv2Dzx,y,v;Simplify%v2u2（一Log3u一2v）3u-2vV3Dzx,y,v,2;Simplify%2u2（6u5v）v+3（3u2v）2Log3u2v）（3u一2v）2v4例109设z，f(2x-y)+g(x,xy),其中函数f(t)二阶可导，g(u,v)具有二阶连续的偏导数，求竺,空,仝仝。dxdx2dxdy解In1:=Df2x-y+gx,x*y,xOut1=2f2x一y+yg（0,i）x,xy+g（0,i）x,xyIn2:=Df2x-y+gx,x*y,x,2Out2=4f2xy+yg（1，1）x,xy+y（yg（0,2）x,xy+g（1，1）x,xy）+g（2,0）

12、x,xyIn3:=Df2x-y+gx,x*y,x,yOut3=-2f2x-y+g（0,1）x,xy+xyg（0,2）x,xy+xg（1,1）x,xy）其中g（1,0）u,v为，g（0,1）u,v为，g（1,1）u,v为，g（2,0）u,v为cucvcucvdu2g（0,2）u,v为。cv2例10.10已知函数z，xy+xF（上），证明x+y，z+xy。xcxcy第 页共13页第 页共l3页解In1:=z=x*y+x*Fy/x;Dz,x*x+y*Dz,y-z-x*y;Simplify%Out1=0例10.11求由下列方程所确定的隐函数和导数或偏导数：y1lnx2+y2arctg,dxdy2vvx

13、ucos,yusm,uu,u,x,u,v,v,y,x,y解Inl:=eq1=LogSqrtxA2+yxA2=ArcTanhyx/x;Deq1,x;Solve%,yx|;Simplify%Out=”yxTx3+x2yx卜巩x2+yx3x3-x2yx+xyx2+yx3JJIn2:=Dx=ux*Cosvx/ux,y=ux*Sinvx/ux,x;SimplifySolve%,ufx,v，xOut2=Cos回vx,r,vxvxuxuxTCos,vxT-Sin+uxuxuxIn3:=Dx=uy*Cosvy/uy,y=uy*Sinvy/uy,y;SimplifySolve%,uy,vyOut3=Sin四vy

14、uytSin眾,vytCos眾+处斗一uxuyuy例10.12求下列极值问题：1.函数f(x,y)x3+3xy15x12y.x2.求函数f(x,y)，x2y2一1216y,在x2+y225上的最大最小值.解1In1:=Clearx,y,z,a,b,c,d,t;fx_,y_:=xA3+3*x*yA2-15x-12y;a=Dfx,y,x,2;b=Dfx,y,x,y;c=Dfx,y,y,2;d=a*c-bA2;t=SloveDfx,y=0,x,Dfx,y=0,y,x,y;l=LengthtlFori=1,i0&a10&a10,Print“fmin=”,z,d1=0,Print“NoSure”,z,d

15、1=0,PrintNoOut1=x-2,y-1fmax=28x-1,y-2Nox-1,y-2Nox-2,y-1fmin=-282.先求f(x,y)在圆域内x2+y225的最大最小值：In2:=fx_,y_:=xA2+yA2-12x+16y;t=SolveDfx,y=0,x,Dfx,y=0,y,x,yOut2=x-6,y-8(*驻点*)In3:=xA2+yA2-25/.t1Out3=75该驻点在圆外，圆内无驻点，故不取极值。下面考虑圆x2+y225上的最值。这是在约束条x2+y225下的条件极值,用Lagrange乘数法求解。In4:=Clearx,y,F,t;Fx_,y_,t_:=fx,y+t

16、(xA2+yA2-25);s=SolveDfx,y,t=0,Dfx,y,t=0,y,DFx,y,t=0,t,x,y,tOut4=t-3,x-3,y-4,t-1,x-3,y-4In5:=Fx,y/.s1Out5=25In6:=Fx,y/.s2Out6=-75第 页共13页第 #页共l3页练习10.1求下列函数的偏导数。第 #页共13页第 #页共l3页第 页共13页第 #页共l3页z=1x2y2(2)z=exyyzx(3)u=xxz求下列函数的偏导数或导数。(1)(2)(3)(4)(5)(4)u=(xy)z设z=arctg(xy),y=ex，求。dx设z=xln(xy),求空，江dx2y5xy2设z=x2lny,x=,y=3u-2v,