《材料力学》课件 14静不定结构

1、1材 料 力 学2022年8月15日第十四章静 不 定 结 构213. 8 计算莫尔积分的图乘法杆件为等截面直杆。 图乘法的条件 用图乘法计算莫尔积分 简要复习式中，为M(x)弯矩图的面积；为图中与图的形心C对应的纵坐标。3用图乘法时，应注意：1当弯矩图有变化时，应分段图乘；2当 EI 有变化时，应分段图乘；3作弯矩图时，可用叠加法，分别进行图乘。4第十四章 静不定结构14. 1 静不定结构概述1 静不定结构 外力静不定 内力静不定 混合静不定2 静不定次数的确定静不定次数 =未知力个数 - 独立平衡方程数 (1) 外力静不定次数的确定根据约束的性质及力系的类型来确定。 新课5(2) 内力静不

2、定次数的确定 平面桁架未知力个数 = 约束反力数 + 杆件数独立方程数 = 节点数 乘以 2 刚架对于闭口的平面刚架，为三次内力静不定；每增加一个闭合框架，就增加三次静不定。63 静定基和相当系统 静定基(基本静定系)静不定系统在解除某些约束后得到的静定系统.静定基不唯一。 相当系统在静定基上作用外载荷和被解除约束的约束反力的系统。 与静不定系统静力等效。714. 2 用力法解静不定结构1 力法与位移法 力法 位移法2 力法解静不定 例子 静不定次数 1次 静定基 相当系统 变形协调条件8 位移的表示 1X1的表示在B点沿X1的方向加单位力对线弹性结构，有: 代入变形协调条件，得到:9 代入变

3、形协调条件，得到:这就是求解一次静不定问题的力法正则方程。其中每一项的物理意义是位移。1P 表示:注意：外载荷中不包括 X1。在X1作用点沿 X1方向由于外载荷作用而引起的位移。可用莫尔积分表示为:101P 表示:在 X1作用点沿 X1方向由于外载荷作用而引起的位移。11 表示:在X1作用点沿X1方向由于X1处的单位载荷引起的位移。可用莫尔积分表示为:注意：外载荷中不包括 X1。1111 表示:在X1作用点沿X1方向由于X1处的单位载荷引起 可用莫尔积分表示为：的位移。 对本例用莫尔积分法，或图乘法可求出由正则方程解出：123 N次力法正则方程先以三次静不定问题为例相当系统变形协调条件:13变

4、形协调条件:同理，对 N次静不定问题，有14同理，对 N次静不定问题，有其中的常数项 iP 表示：在Xi作用点沿Xi方向由于外载荷而引起的位移。可用莫尔积分表示为:15其中的常数项 iP 表示：在Xi作用点沿Xi方向由于外载荷而引起的位移。可用莫尔积分表示为:其中的系数 ij 表示：在Xi作用点沿Xi方向由于Xj处的单位载荷引起的位移。根据位移互等定理，有：ij可用莫尔积分表示为：16 解静不定问题的一般步骤1)判定静不定次数；2)选择静定基，得到相当系统；3)分解载荷：分别将外载荷、各单位载荷作用在静定基上；4)画出各载荷下的内力(弯矩)图或写出内力(弯矩)方程；5)用图乘法或莫尔积分等求出

5、iP 和 ij ；6)求解正则方程，解出未知力。17例 1 (书例14.4)已知: q, a, EI为常数。求： 静不定问题。解： 静不定次数 3次 静定基 相当系统 分解载荷 外载荷 单位载荷18 分解载荷 外载荷 单位载荷 用图乘法 求系数 外载荷的弯矩图19 用图乘法求系数 外载荷的弯矩图 单位载荷的弯矩图20 单位载荷的弯矩图 计算常数项 iP 1P 为MP图与M1图互乘21 计算常数项 iP 1P 为MP图与M1图互乘2P 为MP图与M2图互乘221P 为MP图与M1图互乘2P 为MP图与M2图互乘232P 为MP图与M2图互乘3P 为MP图与M3图互乘243P 为MP图与M3图互乘

6、 计算系数 ij 11 为M1图与M1图自乘25 计算系数 i j 11 为M1图与M1图自乘2633 为M3图与M3图自乘2733 为M3图与M3图自乘12 为M1图与M2图互乘2812 为M1图与M2图互乘13 为M1图与M3图互乘2913 为M1图与M3图互乘23 为M2图与M3图互乘3023 为M2图与M3图互乘 将求出的系数和常数代入正则方程，有:31例 2 (书例11.2)已知: P, a, 各杆EA相同。求： 各杆内力。解： 静不定次数 1次 静定基 相当系统这里，1的物理意义是4号杆切口处的相对位移。P15432aa6P154326X1 正则方程所以应有：32这里，1的物理意义

7、是4号杆切口处的相对位移。P154326X1 正则方程所以应有：P154326 分解载荷 外载荷作用时的内力33 外载荷作用时的内力 单位载荷作用时的内力154326P154326X11 计算1P34 计算 1P 计算 11 代入正则方程，解得: 由叠加原理，各杆的内力:35例 3 (书例11.3)已知: 四分之一圆曲杆，P, a , EI为常数。求： 弯矩图。解： 静不定次数 1次 静定基 相当系统 对曲杆，不能用图乘法，用莫尔积分求。 正则方程PABa4545AB4545 分解载荷PX136 分解载荷 外载荷BC段CA段ABPC 单位载荷的弯矩方程AB1C 单位载荷 外载荷的弯矩方程37

8、单位载荷的弯矩方程AB1C 用莫尔积分求 1P38 用莫尔积分求 1P 用莫尔积分求 11 39 用莫尔积分求 11 代入正则方程，得: 由叠加原理，可得到弯矩方程40 代入正则方程，得: 由叠加原理，可得到弯矩方程BC段CA段4114. 3 对称及反对称性质的利用1 对称结构的对称变形和反对称变形 对称结构若结构的几何尺寸、形状，构件材料及约束条件均对称于某一轴，则称此结构为对称结构。 对称载荷若载荷的作用位置，大小和方向也对称于结构的对称轴，则称为对称载荷。42 对称载荷若载荷的作用位置，大小和方向也对称于结构的对称轴，则称为对称载荷。 反对称载荷若载荷的作用位置，大小对称于结构的对称轴，

9、但方向反对称，则称为反对称载荷。 对称结构在对称载荷作用下对称变形43 对称结构在对称载荷作用下对称变形 对称结构在反对称载荷作用下反对称变形2 对称结构受对称载荷时的特点结论：对称结构受对称载荷作用时，在对称截面上，反对称内力（剪力）为零。证明：从对称截面截开。44证明：从对称截面截开。即要证明，X3 = 0由正则方程 用图乘法可证明 3P， 31和 32 均为零。45 用图乘法可证明 3P， 31和 32 均为零。画出弯矩图。由MP和M3图由M1和M3图由M2和M3图又所以463 对称结构受反对称载荷时的特点结论：对称结构受反对称载荷作用时，在对称截面上， 对称内力（弯矩和轴力）为零。注意

10、：上述结论只对对称截面处成立，对其它截面不成立。474 可转化为对称载荷或反对称载荷的情况+48例 1 (书例14.5)已知: 等截面圆环，P, a , EI 为常数。求： 直径AB的长度变化。解： 静不定次数 3次 因为结构和载荷关于CD对称所以在C、D截面上，PPADCBaN0M0M0N0PACD反对称内力 剪力 Q=0。 又因为结构和载荷关于AB对称所以，C、D截面上的内力也关于AB对称。49N0M0M0N0PACD 又因为结构和载荷关于AB对称所以，C、D截面上的内力也关于AB对称。由C、D截面上的内力相等。 由半圆环关于AB的对称性可取四分之一圆环研究。M0N0DA50 由半圆环关于

11、AB的对称性可取四分之一圆环研究。这样，就简化为一次静不定问题。M0N0DAPPADCBa 对整体，由变形的对称性可知，A、B、C、D截面的转角为零。所以对四分之一圆环AD，可将A处看作受固定端约束。而将D截面转角为零作为变形协调条件。51这样，就简化为一次静不定问题。记未知约束力偶M0为X1， N0 用 P/2 代替。X1DA 求解静不定问题 正则方程 载荷分解 外载荷的弯矩方程DA1DAM0N0DA52 载荷分解 外载荷的弯矩方程DA1DA 单位载荷的弯矩方程 用莫尔积分求 1P53 用莫尔积分求 1P 用莫尔积分求 11 代入正则方程，解得:54 代入正则方程，解得: 求AB两点的相对位移 外载荷的弯矩方程由叠加原理，AD段的弯矩方程PPADCBa 在 A、B两点加一对单位力55由叠加原理，AD段的弯矩方程11ADCBa 在A、B两点加一对单位力 单位载荷的弯矩方程只需在上式中，令 P = 15611ADCBa 单位载荷的弯矩方程只需在上式中，令 P = 1 用莫尔积分求相对位移57例 2 (书例14.6)已知: 刚架如图，q, a 。求： 约束反力。解： 静不定次数 1次 取静定基解除在C截面处对相对转动的约束， 则C处的约束成为 又因