数学竞赛初赛试题分析

1、数学竞赛初赛试题分析第四届大学生数学竞赛初赛试题分析一、填空题 评讲 2020/12/1823对于第四届大学生数学竞赛初赛试题分析1. 设是柱面x2+y2 =4介于1z3之间的外侧曲面部分，则 因 在XOY平面上的投影为零，2020/12/1834对于第四届大学生数学竞赛初赛试题分析投影2020/12/1845对于第四届大学生数学竞赛初赛试题分析所以：原式=0注意到：被积函数 关于 为偶函数积分区域 关于坐标面yoz对称，则积分02020/12/185想一想，若第二个积分为注意到：前侧取“+”后侧取“-”2020/12/1867不能用格林公式，不能直接用斯托克斯公式第四届大学生数学竞赛初赛试题

2、分析2. 设L为空间圆周曲线： ， 则积分 2020/12/1878第四届大学生数学竞赛初赛试题分析由对称性（称为“轮换对称性”）2020/12/1889第四届大学生数学竞赛初赛试题分析注：除重积分外，都可以将积分区域 代入被积函数2020/12/18910解：第四届大学生数学竞赛初赛试题分析3. 设S是球面 的外侧，则积分奥高公式由对称性2020/12/181011第四届大学生数学竞赛初赛试题分析原式换球坐标系（）2020/12/181112第四届大学生数学竞赛初赛试题分析不能代入，若代入并换成R2，那么被积函数 只在“球体”的表面上取值了！ 三重积分是要求在整个“球体”上取值2020/12

3、/181213分析：这是第一类曲线积分，它的实际背景可看成分布在曲线上的质量。考查：第四届大学生数学竞赛初赛试题分析4. 设L为圆弧段： ， 则曲线积分曲线 对称于y轴，分布密度 关于 是奇函数 2020/12/181314第四届大学生数学竞赛初赛试题分析4. 设L为圆弧段： ， 则曲线积分L关于Y轴对称(轴对称！)关于X为奇函数2020/12/181415二重积分的几何背景：算曲顶柱体的体积第四届大学生数学竞赛初赛试题分析5. 设平面区域 （R0）， 则二重积分2020/12/1815第四届大学生数学竞赛初赛试题分析二、选择题 评讲 2020/12/181617则（A）x=0必是g(x)的第

4、一类间断点.（B）x=0必是g(x)的第二类间断点.（C）x=0必是g(x)的连续点. （D）g(x)在点x=0处的连续性与a的取值有关. 1. 设 在 内有定义，且第四届大学生数学竞赛初赛试题分析2020/12/181718考察：第四届大学生数学竞赛初赛试题分析若a=0，则g(x)在x=0处连续若a0，则g(x)在x=0处间断（可去间断点）选D2020/12/181819（A）极限不存在（B）极限存在但不连续（C）连续但不可导（D）可导2. 设函数 则 在 x=0处_第四届大学生数学竞赛初赛试题分析2020/12/181920无穷小量有界变量计算极限先考察连续性：第四届大学生数学竞赛初赛试题

5、分析排除 A B2020/12/182021右导数都不存在，所以在x=0处不可导又因为第四届大学生数学竞赛初赛试题分析所以 极限不存在选C2020/12/182122（A）1 （B）2 （C）3 （D）43. 当 时， 与 是同阶 无穷小，则n的值应该是_第四届大学生数学竞赛初赛试题分析当 时2020/12/182223所以选 C而第四届大学生数学竞赛初赛试题分析2020/12/182324整理后上下求导也可作出请同学自行验证【注】：本题也可不用皮亚诺展开式 用罗必塔法则也行第四届大学生数学竞赛初赛试题分析2020/12/182425解：A B C D第四届大学生数学竞赛初赛试题分析4. 设函

6、数 连续，则换元必换限2020/12/182526第四届大学生数学竞赛初赛试题分析而：2020/12/182627取f(x)=1，则选项变为本题虽然不是明显的用特殊值法的题，但其选项均为抽象函数形式的结果，也可用特殊值法试试，不管能不能选出，至少可以先排除一些。第四届大学生数学竞赛初赛试题分析A x B -x C 2x D -2x2020/12/1827285. 设函数f(x)二阶可导，若f(x)有极值，且 曲线y= f(x)有拐点，则曲线y= f(x) 的图形可能为_ 第四届大学生数学竞赛初赛试题分析有极值-用一阶导数的符号判定有拐点-用二阶导数的符号判定2020/12/182829A第四届

7、大学生数学竞赛初赛试题分析曲线凹所以无极值也无拐点曲线无极值2020/12/182930B第四届大学生数学竞赛初赛试题分析（0，0）点两边二阶导数变号曲线无极值所以（0，0）是曲线 的拐点 2020/12/183031C第四届大学生数学竞赛初赛试题分析无拐点曲线是凹的X=0是曲线极小值点2020/12/183132D第四届大学生数学竞赛初赛试题分析（0，0）点两边二阶导数变号有拐点有两个极值点有两个极值点曲线2020/12/183233由6. 若 ，在 内 则 在 内_第四届大学生数学竞赛初赛试题分析DCBA函数是奇函数2020/12/183334第四届大学生数学竞赛初赛试题分析函数是奇函数单

8、调增加且凹现画一草图看图说话可见2020/12/1834357. 设 的导数在 处连续，又 ，则_第四届大学生数学竞赛初赛试题分析（A） 是 的极小值点. （B） 是 的极大值点. （C） 是曲线 的拐点. （D） 不是 的极值点， 也不是曲线 的拐点.2020/12/183536于是解:(用判定极值的第二充分条件)第四届大学生数学竞赛初赛试题分析又因 在a点连续2020/12/183637由极值的第二判定定理可知第四届大学生数学竞赛初赛试题分析 在 处取得极大值 2020/12/183738是一开口向下的抛物线，在顶点处取极大值此时解法二，用特殊值法第四届大学生数学竞赛初赛试题分析取 ，显然

9、满足题设条件取积分常数C=02020/12/183839最后提示下：也可用“保号性”做第四届大学生数学竞赛初赛试题分析在 点附近：上下异号也可判断出是极大值2020/12/183940（A）没有渐近线. （B）仅有水平渐近线. （C）仅有铅直渐近线. （D）既有水平渐近线也有铅直渐近线. 8. 曲线 【 】 第四届大学生数学竞赛初赛试题分析两让2020/12/184041让分母趋于零，即让第四届大学生数学竞赛初赛试题分析让得水平渐近线:y=1得垂直渐近线:X=02020/12/184142的参考图形第四届大学生数学竞赛初赛试题分析y=1水平渐近线x=0垂直渐近线偶函数2020/12/18424

10、3分析：此题考查定积分的定义，由于定积分的定义式是一个特殊结构的极限，这种数列极限问题要想到用定积分来处理，关键是找被积函数和积分区间9. 等于 第四届大学生数学竞赛初赛试题分析ADCB2020/12/184344第四届大学生数学竞赛初赛试题分析2020/12/184445下限：起步于第四届大学生数学竞赛初赛试题分析注换换上限：终止于2020/12/184546下限0，上限1第四届大学生数学竞赛初赛试题分析换换别误选C换元换限2020/12/18464710. 设周期函数 在 内可导， 周期为4. 又 ，则曲线 在点 处的切线斜率为_ 第四届大学生数学竞赛初赛试题分析在 内可导解：2020/1

11、2/184748第四届大学生数学竞赛初赛试题分析在 内可导2020/12/184849【注】： 周期函数f(x)在自变量x相距 整数倍周期的点处的各种性态 （如：函数值，导数值，极值）均相同第四届大学生数学竞赛初赛试题分析2020/12/18495011. 已知 ，设 ，则F(x)为_ 第四届大学生数学竞赛初赛试题分析ABCD2020/12/185051解：F(x)可导，当然必定连续第四届大学生数学竞赛初赛试题分析易知 在0,2上连续A不连续2020/12/185152解：F(x)可导，当然必定连续易知 在0,2上连续第四届大学生数学竞赛初赛试题分析C不连续2020/12/185253解：F(

12、x)可导，当然必定连续易知 在0,2上连续第四届大学生数学竞赛初赛试题分析D不连续综上A,C,D被排除2020/12/1853B54解：F(x)可导，当然必定连续易知 在0,2上连续第四届大学生数学竞赛初赛试题分析连续，还可验证可导选B2020/12/185455第四届大学生数学竞赛初赛试题分析【注】： 在I上有第一类间断点，则 连续，在I上连续，则 可导，2020/12/185556（A）0个. （B）1个. （C）2个. （D）无穷多个.12. 设函数f(x)在闭区间a,b上连续， 且 ，则方程 在开区间（a,b）内的根有_ 第四届大学生数学竞赛初赛试题分析2020/12/185657记则

13、考察零点的个数解1：第四届大学生数学竞赛初赛试题分析又根据零点定理F(x)=0在(a,b)内只有一个根选B2020/12/1857取 ，显然满足题设条件，而此时原方程化为58解2：特殊值法第四届大学生数学竞赛初赛试题分析而该方程显然在（a，b）内只有一个实根，可见ACD不正确选B2020/12/18585913. 曲线 与x轴所围图形 面积可表示为_ 第四届大学生数学竞赛初赛试题分析ABCD所围的面积要为正（几何值）非定积分的有向代数和，当曲线在x轴下侧时，需在定积分前添负号求出2020/12/185960根一个实根+共轭复根三个不等的实根下面先讲三次方程根的问题第四届大学生数学竞赛初赛试题分

14、析三个相等的实根2020/12/186061有三个不等的实根的情形第四届大学生数学竞赛初赛试题分析2020/12/186162仅有一个实根（一对共轭复根）的情形第四届大学生数学竞赛初赛试题分析2020/12/186263三个相等的实根第四届大学生数学竞赛初赛试题分析2020/12/186364算这块面积时添负号就行了回到此题第四届大学生数学竞赛初赛试题分析方程 有三个不等的实根选C2020/12/18646514. 通过坐标系的原点，且与微分方程 的一切积分曲线均正交的曲线方程是_ 第四届大学生数学竞赛初赛试题分析A BC D2020/12/186566的切线斜率过原点即：第四届大学生数学竞赛

15、初赛试题分析的斜率是的法线斜率是选A2020/12/186667给一个大致的图像演示第四届大学生数学竞赛初赛试题分析2020/12/186768A BC D15. 具有特解 的三阶常系数齐次线性微分方程是_第四届大学生数学竞赛初赛试题分析2020/12/186869解：对应的微分方程为特征方程为第四届大学生数学竞赛初赛试题分析选B【注】：条件y2 , y3中的常系数在选择中有什么作用吗？不起作用2020/12/18697016. 设在XOY全平面上有则在下列条件中使成立的是_ 第四届大学生数学竞赛初赛试题分析ADCB2020/12/187071所以当 时：解：第四届大学生数学竞赛初赛试题分析选

16、 C2020/12/187172解一： 交换累次积分的积分顺序17. 设f(x)为连续函数， 则 等于_ 第四届大学生数学竞赛初赛试题分析D 0ABC2020/12/187273从而于是第四届大学生数学竞赛初赛试题分析选 B2020/12/187374解法二： 特殊值法第四届大学生数学竞赛初赛试题分析选 B2020/12/187475下面我们先来复习下第一类曲面积分的物理意义18. 设 S1为S在 第一卦限中的部分，则有_第四届大学生数学竞赛初赛试题分析ABCD空间“壳”的质量2020/12/187576曲面关于XOZ坐标平面对称曲面为上半球面：第四届大学生数学竞赛初赛试题分析函数是关于y的奇

17、函数左右半球面正负质量相互抵消2020/12/187677曲面关于YOZ坐标平面对称曲面为上半球面：第四届大学生数学竞赛初赛试题分析函数是关于x的奇函数前后半球面正负质量相互抵消2020/12/187778而第四届大学生数学竞赛初赛试题分析函数是关于x的奇函数函数是关于y的奇函数同理：ABD都错2020/12/187879从物理上看： 正确另：现在看C第四届大学生数学竞赛初赛试题分析？关于x 、y是偶函数用两倍曲面关于yoz对称曲面关于xoz对称选C2020/12/18798019. 设 ，则级数_第四届大学生数学竞赛初赛试题分析A 与 都收敛 B 与 都发散 C 收敛而 发散D 发散而 收敛

18、2020/12/188081解：第四届大学生数学竞赛初赛试题分析2020/12/188182易知：第四届大学生数学竞赛初赛试题分析选C一般项趋于零，且递减的交错级数 收敛2020/12/18828320. 设函数 ，而 其中 第四届大学生数学竞赛初赛试题分析则 等于_ 分析：不能从这个就说是偶函数（只是半区间）正弦级数，可见对f(x)做的是奇开拓2020/12/188384 图1（函数图）做奇开拓用三个图来 说话第四届大学生数学竞赛初赛试题分析不能说是偶函数（因是半区间）2020/12/188485第四届大学生数学竞赛初赛试题分析 图1（函数图） 图2（一个周期内 的和函数图）取平均值由狄利克雷结论2020/12/188586第四届大学生数学竞赛初赛试题分析 图2（一个周期内 的和函数图）现在我们来周期延拓图2 （T=2） 图3正弦级数在R上的和函数 图，是周期为T=2的周期函数2020/12/188687第四届大学生数学竞赛初赛试题分析 图3（正弦级