2019-2020年高考数学回归课本平面几何教案旧人教版

1、2019-2020年高考数学回归课本平面几何教案旧人教版一、常用定理（仅给出定理，证明请读者完成）梅涅劳斯定理 设分别是 ABC的三边BC CA AB或其延长线上的点，若三点共线，则梅涅劳斯定理的逆定理条件同上，若则三点共线。塞瓦定理 设分别是 ABC的三边BC, CA AB或其延长线上的点，若三线平行或共点，则 塞瓦定理的逆定理 设分别是 ABC的三边BC, CA AB或其延长线上的点，若则三线共点 或互相平行。角元形式的塞瓦定理分别是 ABC的三边BC, CA AB所在直线上的点，则平行或共点的充要条件是sin. BAA sin ACC sin CBBsin AAC sin CCB sin

2、 BBA广义托勒密定理设ABCD为任意凸四边形，贝U AB?CD+BCA AC?BD,当且仅当A , B, C,D四点共圆时取等号。斯特瓦特定理设P为厶ABC的边BC上任意一点，P不同于B, C,则有2 2 2AP=AB?+AC?-BP?PC.西姆松定理 过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足共线。西姆松定理的逆定理若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在三角形的外接圆上。九点圆定理 三角形三条高的垂足、三边的中点以及垂心与顶点的三条连线段的中点，这 九点共圆。蒙日定理三条根轴交于一点或互相平行。（到两圆的幕（即切线长）相等的点构成集合为 一条直线，这条直线称根

3、轴）欧拉定理 ABC的外心O,垂心H,重心G三点共线，且二、方法与例题同一法。即不直接去证明， 而是作出满足条件的图形或点，然后证明它与已知图形或点重合。例 1 在厶ABC中，/ ABC=7（5,Z ACB=30, P, Q% ABC内部两点，/ QBCM QCB=l0,/ PBQ=/ PCB=20,求证：A, P, Q三点共线。证明 设直线CP交AQ于Pi,直线BP交AQ于 P2,因为/ ACPH PCQ=l0,所以，在 ABP BPQ ABC中由正弦定理有ABsin /AP2 B2，sin -ABF2由，得。又因为 Pi, P2同在线段AQ上，所以Pi, P2重合，又BP与CP仅有一个交

4、点，所以Pi, P2即为P,所以A, P, Q共线。2 面积法。例2 见图16-1 , ABCD中, E, F分别是CD, BC上的点，且 BE=DF BE交DF于P,求证: AP为/ BPD的平分线。证明设A点到BE DF距离分别为h1,h2,1= -BE h1,SADF =-DF h2,2又因为所以h1=h2，所以PA为/ BPD的平分线。SABC = Sa adf, 又 BE=DF几何变换。例3 （蝴蝶定理）见图16-2 , AB是O 0的一条弦，M为AB中点，CD EF为过M的任意弦, CF, DE分别交AB于P, Q。求证：PM=MQ证明由题设OMAB不妨设。作 D关于直线0M的对称

5、点。连结，则DM rDM./PMD ZDMQ .要证PM=MQ只需证，又/ MDQW PFM所以只需证F, P, M,共圆。因为/ =1800-=1800- / =1800- Zo （因为 OM AB/ ）所以F, P, M四点共圆。所以 X MDQ所以MP=MQ例4 平面上每一点都以红、蓝两色之一染色，证明：存在这样的两个相似三角形，它们 的相似比为1995，而且每个三角形三个顶点同色。证明 在平面上作两个同心圆，半径分别为1和1995，因为小圆上每一点都染以红、蓝两色之一，所以小圆上必有五个点同色，设此五点为A, B, C, D, E,过这两点作半径并1995。将半径延长分别交大圆于 A1

6、, B1, C1, Di, E1,由抽屉原理知这五点中必有三点同色，不妨 设为A , Bi, G,则 ABC与 A A1B1C1都是顶点同色的三角形，且相似比为 4三角法。D, E, F在厶ABC的边上，如果/ EDF=90,例5 设AD BE与CF为A ABC的内角平分线， 求Z BAC的所有可能的值。解 见图 16-3，记Z ADE=x , Z EDC3 ,CE DEsin ： sinC由题设Z FDA=-a , Z BDF=-3 ,由正弦定理： 上三=-DE-sinsin2得CEsinC sin2又由角平分线定理有，又，所以si nC sin Asin： sinC sin ：. Asin

7、 2化简得，同理，即所以，所以 sin 3 cos a -cos 3 sin a =sin（ 3 - a ）=0.又-n 3 - a 由射影定理oA=OM?OP所以oA=OQOC所以OQ=(定值)。所以Q为定点，即直线 AB过定点。三、习题精选1.O O和O Q分别是 ABC的边AB, AC上的旁切圆，O O与CB CA的延长线切于 E, G, O 02与BC, BA的延长线切于 F, H ,直线EG与 FH交于点P,求证：PABC 设O O的外切四边形 ABCD勺对角线AC, BD的中点分别为 E, F ,求证：E , O, F三点共 线。 已知两小圆O 0与O O相外切且都与大圆O O相内

8、切，AB是OO与O 02的一条外公切线，A, B在O O上,CD是OO与O O的内公切线，O O与O Q相切于点 P ,且P , C在直线 AB 的同一侧，求证：P是厶ABC的内心。 ABC内有两点 M N 使得/ MABM NAC且/ MBA2 NBC 求证：AM AN BM BN CM CN AB ACBC BACA CB ABC中，O为外心，三条高 AD, BE CF相交于点 H,直线ED和 AB相交于点 M 直线 FD和 AC相交于点 N 求证：(1) OBDF OCDE (2) OHMN 设点I, H分别是锐角 ABC的内心和垂心，点 B1 , G分别是边AC, AB的中点，已知射

9、线BI交边AB于点B2(B2M B),射线 CI交AC的延长线于点 G , RG与BC相交于点K, A 为厶BHC的外心。试证：A, I , A三点共线的充要条件是 BKB和厶CKC的面积相等。已知点 A , B , C ,点 A,B2 ,C2 ,分别在直线I 1,12上,B2C1交BC于点M,CA交AQ于点N, BA2交E2A于L。求证：M, N, L三点共线。& ABC中，/ C=9(f , / A=3C , BC=1,求厶ABC的内接三角形(三个顶点分别在三条边 上的三角形)的最长边的最小值。 ABC的垂心为H,外心为Q外接圆半径为 R顶点A B , C关于对边BC CA AB的 对称点

10、分别为，求证：三点共线的充要条件是OH=2R2019-2020年高考数学回归课本平面向量教案旧人教版一、基础知识定义1既有大小又有方向的量，称为向量。画图时用有向线段来表示，线段的长度 表示向量的模。向量的符号用两个大写字母上面加箭头，或一个小写字母上面加箭头表示。书中用黑体表示向量，如 a. |a|表示向量的模，模为零的向量称为零向量，规定零向量的 方向是任意的。零向量和零不同，模为1的向量称为单位向量。定义2方向相同或相反的向量称为平行向量(或共线向量)，规定零向量与任意一个非零向量平行和结合律。定理1向量的运算，加法满足平行四边形法规，减法满足三角形法则。加法和减法 都满足交换律和结合律

11、。定理2非零向量a, b共线的充要条件是存在实数0,使得a=f定理3平面向量的基本定理，若平面内的向量a, b不共线，则对同一平面内任意向是c，存在唯一一对实数x, y，使得c=xa+yb，其中a, b称为一组基底。定义3向量的坐标，在直角坐标系中，取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量 i, j 作为基底，任取一个向量 c，由定理3可知存在唯一一组实数 x, y，使得c=xi+yi，则(x, y)叫做c坐标。定义4 向量的数量积，若非零向量a, b 的夹角为，则 a, b 的数量积记作a b=|a| |b|cos=|a| |b|cos,也称内积，其中|b|cos 叫做b在a上的投影(注： 投影

12、可能为负值)。定理4平面向量的坐标运算：若a=(X1, y 1), b=(x 2, y 2),a+b=(x 1+x2, y 1+y2), a-b=(x 1-x 2, y 1-y 2),入 a=(入 X1, 入 yj, a (b+c)=a b+a c,a b=X1X2+y1y2, cos(a, b)=(a, b0),a/bx 1y2=X2y1, abx1x2+y $2=0.定义5若点P是直线P1P2上异于p1, p2的一点，则存在唯一实数入，使，入叫P分所成的比，若O为平面内任意一点，则。由此可得若P1, P, F2的坐标分别为(X1, y1), (x,y), (xx2, y 2)，则yX/X2

13、1 + k Q.兀1 +扎-x1X2 -Xy沖y2 y定义6设F是坐标平面内的一个图形，将平移|a|=个单位得到图形，这一过程叫做平移。设F上所有的点按照向量 a=(h, k)的方向, p(x, y)是F上任意一点，平移到上对应的点为，则称为平移公式。定理 5 对于任意向量 a=(x 1, y) b=(x 2, y2), |a b| |a| -|b|，并且 |a+b| 0,又 |a b| 0,|a| |b| 0,所以 |a| |b| |a b|.由向量的三角形法则及直线段最短定理可得|a+b| w|a|+|b|.注：本定理的两个结论均可推广。1)对n维向量，a=(x 1, X2,x n) ,

14、b=(y 1, y2,yn),同样有|a b| 0 , 又 |a b| 0,|a| |b| 0,所以 |a| |b| |a b|.由向量的三角形法则及直线段最短定理可得|a+b| w|a|+|b|.注：本定理的两个结论均可推广。1)对n维向量，a=(x 1, x 2,x n), b=(y 1, y 2,yn),同样有|a b| |a|b|, 化简即为柯西不等式：2 2 2 22 2 2(x1 X2 亠 亠 Xn )( yi y2 亠 亠 yn ) _(x y+X2y2+xnyn)。2)对于任意n个向量，ai, a 2,a n,有| a 1, a 2, ,a n| w | a i|+|a 2|+

15、 +|a n|。 二、方向与例题向量定义和运算法则的运用。例1 设0是正n边形AiArA的中心，求证： 0A 0A2 0代=0.【证明】 记=0A, 0A20An，若，则将正n边形绕中心0旋转后与原正n边形重合，所以不变，这不可能，所以例2 给定 ABC求证：G是厶ABC重心的充要条件是【证明】必要性。如图所示，设各边中点分别为D, E，F，延长AD至P,使DP=GD则又因为BC与GP互相平分，所以BPCG为平行四边形，所以 BGPC所以所以 GA GB GC =GC CP PG =0.充分性。若，延长 AG交BC于D,使GP=AG连结CP,贝U因为，则，所以 GBCP所以 AG平分BC同理B

16、G平分CA所以G为重心。例3 在凸四边形 ABCD中，P和Q分别为对角线 BD和AC的中点，求证： ab+bC+cD+daaC+bD+apQ。【证明】 如图所示，结结BQ QD因为 BP PQ =BQ, DP PQ = DQ ,所以 BQ DQ =(BP PQ)2 (DP PQ)22 2 2 =BPDP 2PQ2BP 2 2 -2 2 2 2=BPDP2PQ2(BPDP)PQ= BPDP 2PQ .又因为 BQ QC 二 BC, BQ QA 二 BA,QA QC = 0,2 2 2 . 2 2 TOC o 1-5 h z 同理 BA BC 二 QA QC 2BQ ,2 2 -2 2 2CDDA

17、 = QA QC 2QD ,2 2 2 2 2 2由，可得 BA BC CD -4QA 2(BQ QD )2 2 2 2 2 2二 AC 2(2BP 2PQ ) = AC BD 4PQ。得证。证利用定理2证明共线。例4 ABC外心为 O,垂心为 H,重心为 G。求证：O, G, H为共线，且 OG GH=1 2。2 【证明】 首先OG = OA AG二OA AM3=OA - (AB AC) =OA -(2AO OB OC)3其次设BO交外接圆于另一点 E,则连结CE后得CE 又 AHBC 所以 AH/CE。又EAAB CHAB所以AHCE为平行四边形。所以所以 OH =OA AH =OA EC

18、 =OA EO OC =OA OB OC , 所以，所以与共线，所以 O, G H共线。所以 0G GH=1 2。利用数量积证明垂直。例5给定非零向量a, b.求证：|a+b|=|a-b|的充要条件是ab.【证明】|a+b|=|a-b|(a+b)2=(a-b) 2a2+2a b+b2=a2-2a b+b2a b=0ab.例6 已知 ABC内接于O O, AB=AC D为AB中点，EACC重心。求证： OECD【证明】 设，则，1 一1T111OE=a c (a b) =_c_a _b.3 2326又，所以OECD】3c詁ia ic1 2a4a (b-c).1 , 2121b c1233. -

19、2 2 2 2(因为 |a| =|b| =|c| =|OH| )又因为AB=AC OB=OC所以OA为BC的中垂线。 所以 a (b-c)=0. 所以 OECD向量的坐标运算。例7 已知四边形 ABCD是正方形，BE/AC , AC=CE EC的延长线交 BA的延长线于点 F, 求证：AF=AE【证明】 如图所示，以CD所在的直线为x轴，以C为原点建立直角坐标系，设正方 形边长为1,则A, B坐标分别为(-1 , 1) 和 (0, 1)，设E点的坐标为(x, y)，则=(x, y-1), 因为，所以-x-(y-1)=0.又因为，所以x2+y2=2.由，解得设，则。由和共线得所以，即F,所以=4

20、+,所以AF=AE三、基础训练题|AE|2 = 42.3. 以下命题中正确的是 .a=b的充要条件是|a|=|b| ，且a/b : (a b) c=(a c) b;若 a b=a c,贝U b=c;若 a, b 不共线，则 xa+yb=ma+nb 的充 要条件是x=m, y=n ;若，且a, b共线，则 A, B, C, D共线；a=(8, 1)在b=(-3, 4) 上的投影为-4。 已知正六边形 ABCDEF在下列表达式中：；;与，相等的有 .已知 a=y-x, b=2x-y, |a|=|b|=1, a b=0,则 |x|+|y|=. 设s, t为非零实数，a, b为单位向量，若|sa+tb

21、|=|ta-sb| ，则a和b的夹角为已知a, b不共线，=a+kb, =la+b，则“ kl-仁0 ”是“ M N P共线”的条件. 在 ABC中，M是AC中点，N是AB的三等分点，且，BM与CN交于D,若，贝U TOC o 1-5 h z 入=.已知不共线，点 C分所成的比为2,则. 已知=b, a b=|a-b|=2 ，当 AOB面积最大时，a与b的夹角为 . 把函数y=2x2-4x+5的图象按向量a平移后得到y=2x2的图象，c=(1, -1),若，cb=4, 贝U b的坐标为. 将向量a=(2, 1)绕原点按逆时针方向旋转得到向量b,则b的坐标为.在Rt BAC中，已知BC=a,若长

22、为2a的线段PQ以点A为中点，试问与的夹角取 何值时的值最大？并求出这个最大值。在四边形 ABCD中, AB =a, BC =b,CD =c,DA =d，如果 a b=b c=c -d=d -a， 试判断四边形ABCD勺形状。四、高考水平训练题 点0是平面上一定点，A, B, C是此平面上不共线的三个点，动点P满足一 一 AB AC r TOC o 1-5 h z OP = OA +，九乏0,址)则点P的轨迹一定通过厶 ABC的心。(|AB| |AC| 丿在 ABC中,，且a - b1(k R)，贝U k的取值范围是 .4.平面内四点 A, B, C, D满足 |AB|=3,|BC|=7,|

23、CD |=11,| DA|=9，则的取值有 个.已知 AAAA4A5是半径为 r的O 0内接正五边形，P为O 0上任意一点，贝U| PA1|2+| PA2|2 + |PR|2+ |PA4|2+ | PA5|2取值的集合是 .0ABC所 在平面内一点，A,B,CABC 的角，若si nA- +si nB -+si nC,则点0 ABC的心.对于非零向量 a, b, “|a|=|b|”是“ (a+b)(a-b) ”的条件.在厶 ABC 中，又(c - b) : (b - a) : (a c)=1 : 2： 3,则厶 ABC 三边长之比 |a| : |b| :|c|=.9.已知P为厶ABC内一点，且， CP交AB于D,求证：10 .已知 ABC的垂心为 H,A HBC HCA HAB的外心分别为 O, Q , C3，令HA =a,HB = b,HC =c, HO, = p，求证：(1)2p=b+c-a ；(2)HOOO的外心。11.设坐标平面上全部向量的集合为V，a=(ai, a 2)为V中的一个单位向量，已知从 V到的变换 T,由 T(x)=-x+2(x