医学专题原子核的放射性与衰变

1、第二章 原子核的放射性与衰变12021/7/20 星期二2.1 衰变2.2 衰变2.3 衰变2.4 衰变纲图2.5 放射性核素衰变的基本规律2.6 放射性活度及其单位2.7 放射性核素的递次衰变规律2.8 放射性平衡2.9 核衰变规律和放射性平衡的应用22021/7/20 星期二主 要 参 考 教 材核辐射物理基础 樊明武等编著 暨南大学出版社（2010年）原子核物理（修订版） 卢希庭等编著 原子能出版社（2000年）32021/7/20 星期二第2.6节 放射性活度及其单位42021/7/20 星期二一、放射性活度（Activity） 放射源发出放射性粒子的多少，与放射源含有的放射性原子核数

2、目有关，还与衰变常数有关。放射源的强弱用放射性活度来度量。 放射性活度的定义： 在单位时间内发生衰变的原子核数目，称为放射性活度A(t)，也称为衰变率J(t)，表征放射源的强弱。 放射性活度的精确定义在给定时刻，处于特定能态的一定量放射性核素在时间间隔dt内发生自发核衰变或跃迁的期望值。52021/7/20 星期二定义t=0时的放射性活度为A(0) ：则： 放射性活度是指单位时间发生衰变的原子核数目，而不是放射源发出的粒子数目。 放射源发出放射性粒子的多少，不仅与核衰变数有关，而且和核衰变的具体情况直接相关。一般情况，核衰变率数不等于发出粒子数。 放射性活度和放射性原子核的数目具有同样的指数衰

3、减规律。 物质中放射性核的多少并不能完全反映出放射性的强弱。活度大必须满足N和都大。人们更关心放射性活度的大小。 对放射性活度的理解：62021/7/20 星期二 放射性活度与射线强度的区别： 射线强度：放射源在单位时间内放出某种射线的个数。 放射性活度：指单位时间内发生衰变的原子核数目。 如果某放射源一次衰变只放出一个粒子，则该源的射线强度与放射性活度在数值上是相等的。 对大多数放射源，一次衰变往往会放出若干个粒子，因此其放射性活度与射线强度的数值是不相等的。 例：32P的一次衰变只放出一个粒子，则32P的射线强度与放射性活度在数值上相等。 例：60Co源的一次衰变放出2个光子，因此60Co

4、源的射线强度值是放射性活度值的2倍。72021/7/20 星期二例如137Cs，每发生100次衰变，发出的粒子数有： 最大能量为1.17MeV的粒子5个； 最大能量为512keV的粒子95个； 能量为662keV的粒子85个； 能量约为662keV的内转换电子10个； 还有特征X射线等。30.17 y0661.662.55 m661.66 85.0% e9.6%11/23/27/20=1173.20.9 keV 511.6 94.6% 1173.2 5.4% 实例： 说明：放射性活度与放射源发出的粒子数目、射线强度是完全不同的概念（核衰变数不等于放出粒子数） ，要注意区分。82021/7/20

5、 星期二 核素具有多种分支衰变的活度： 第i种分支衰变的部分放射性活度：式中， 为第i种分支衰变的衰变常数； 为该核素的总衰变常数。 核素的总放射性活度： 注意：部分放射性活度随时间是按 衰减而不是按 衰减的。（原因：任何放射性活度随时间的衰减都是由于原子核数N的减少，而N减少是所有分支衰变的总结果。） 92021/7/20 星期二 衰变的分支比Ri：第i种分支衰变的部分放射性活度与总放射性活度之比。 可见：部分放射性活度在任何时候都是与总放射性活度成正比的。102021/7/20 星期二二、放射性活度单位 放射性物质的质量多少不能反映出放射性的大小：有些放射性强的物质，其质量不一定多；而放射

6、性弱的物质，其质量不一定少。 衡量放射性物质的多少通常不用质量单位，而是采用放射性物质的放射性活度（即单位时间内发生衰变的原子核数）来表征。 历史上，采用Ci(居里)作为放射性活度的单位： Ci的定义：1Ci的氡等于和1g镭处于平衡的氡的每秒衰变数（达到放射性平衡时两核素的活度相等），即1g镭的每秒衰变数。 早期测得1g226Ra在1秒内衰变的次数为3.71010次。即：112021/7/20 星期二较小的单位还有毫居(mCi)和微居(Ci)： Ci作为单位的缺点：会随测量的精度而改变，使用不方便。 1975年国际计量大会规定放射性活度的国际单位为Bq(贝可勒尔Becquerel)： Bq的定

7、义：每秒发生1次核衰变。 Ci和Bq之间的换算关系为：122021/7/20 星期二 利用衰变纲图来计算一定量放射性核素的放射性。 例：求解1mg 的+粒子强度。解： 根据衰变纲图可知，64Cu通过+衰变到64Ni的基态，概率为64Cu总衰变率的19%。因此+粒子的强度为1mg64Cu活度A的19%。则有：132021/7/20 星期二三、活度单位与其它几个单位的比较142021/7/20 星期二四、放射性核素的质量与放射性活度的关系 放射性物质的质量m与活度A之间的关系： 设该放射性物质的原子质量为M，阿伏加德罗常数为NA，质量为m的该物质对应的原子个数为N，则有：则对应的活度A为： 例1：

8、求解1g226Ra的活度值（查表知Ra=1.3710-11s-1）。 解：1g226Ra对应的原子个数为：152021/7/20 星期二通过计算说明：1g226Ra的放射性活度约为1Ci。则对应的活度ARa为： 可见：一般放射源的质量很小，但却包含有大量的原子核，足以保证衰变规律良好的统计性。五、比活度 定义： 比活度是指放射源的放射性活度与其质量之比，即单位质量放射源的放射性活度，即：162021/7/20 星期二 比活度的意义： 比活度反映了放射源中放射性物质的纯度。 某一核素的放射源，不大可能全部由该种核素组成，一般都含有其它物质。其它物质相对含量大的放射源，该核素的比活度低；反之则高。

9、 实际生产的60Co源的比活度一般只有(10111012)Bq/g。 例如： 3.7104Bq的60Co放射源（已知T1/2=5.27a）对应的60Co质量为8.86 10-10g ，假设该源全部由60Co源组成（不含任何其它物质），则其比活度为：(理想情况)172021/7/20 星期二第2.7节 放射性核素的递次衰变规律182021/7/20 星期二 许多放射性核素并非一次衰变就达到稳定，而是它们的子核仍有放射性，会接着衰变直到衰变的子核为稳定核素为止，这样就产生了多代连续放射性衰变，称之为递次衰变或级联衰变。 递次衰变的表示： 例如，铀系的母核238U经过一系列衰变后，得到：192021

10、/7/20 星期二 第1种情况：在递次衰变中，任何一种放射性物质被分离出来单独存放时，它的衰变都满足放射性核素的指数衰减规律。 第2种情况：若不将递次衰变链中的的各子体分离（母体和子体共存），那么，它们混在一起的衰变规律不再满足简单的指数衰减律。 递次衰变的特征： 对于衰变链中的任何一种放射性子体核素，在它衰变过程中：一方面因自身衰变而减少，另一方面由于母体的衰变而不断得到补充。原因结果 需要进一步研究两个以及多个核素相继衰变的规律。202021/7/20 星期二一、两次连续衰变规律 考虑母体衰变成子体，子体衰变成稳定核的情况。如： 设两次连续衰变的一般表达式：其中：A、B、C的衰变常数为1、

11、2，3 = 0 （稳定核素）；t时刻 A、B、C的原子核数分别为N1 、 N2 、 N3 ；t=0时 A、B、C的原子核数为N1(0) ， N2(0) = N3(0) = 0 （t=0时刻只有母体A存在）。 研究A,B,C的原子核数和放射性活度随时间的变化规律。212021/7/20 星期二 母体A的衰变不受子体影响，N1随时间的变化仍服从指数衰减规律，其原子核数N1为： 母体A的放射性活度为： 母体A的衰变规律： 子体B的衰变规律： 子体B的原子核数目同时受到母体衰变速度和子体衰变速度的影响。即：即：母体A在单位时间内发生衰变的原子核数目为1N1(t)，这些衰变的原子核A都生成子体B2220

12、21/7/20 星期二B衰变为C，B不断从自身衰变中减少 (B减少)， 即B衰变的速率为：A衰变为B，B不断从A的衰变中获得累积 (B增加)，即B产生的速率为：B因此，对于子体B，单位时间核数目的变化 满足： 代入N1(t)等条件，解此微分方程，得子体B的原子核数目随时间的变化规律为： 可见，子体 B 的变化规律不仅与它本身的衰变常数 2 有关，而且还与母体 A 的衰变常数 1 有关，它的衰变规律不再是简单的指数规律。232021/7/20 星期二 从而，易得子体B的放射性活度为： 稳定子体C的原子核数目： 子体C的原子核数N3(t)只受到子体B衰变速度的影响，即它的变化仅由B的衰变决定，因此

13、： 由于子体C不发生衰变，是稳定核素，因此3=0。B衰变为C，C不断从B的衰变中获得累积 (C增加)，即C产生的速率为：C即：子体B在单位时间内发生衰变的原子核数目为2N2(t)，这些衰变的原子核B都生成稳定子体C 因此，对于稳定子体C，单位时间核数目的变化 满足：242021/7/20 星期二 将N2(t)代入，并求解微分方程，得子体C的原子核数目随时间的变化规律为： 可见，子体C的变化规律也由母体A和子体B的衰变常数共同决定。 当t ，N3(t) N1(0)，母体A全部衰变成子体C。子体C是稳定的，不再发生衰变。 显然，子体C的放射性活度A3(t)=3N3(t)=0，因为它是稳定的，3=0

14、 。 思考：大家课后计算一下，252021/7/20 星期二二、多次连续衰变规律 母体衰变成若干代子体，最终子体衰变成稳定核。 多次连续衰变的一般表达式： 与两次连续衰变情况不同，这里的子体C并不是稳定核素，也会发生衰变，其原子核数N3(t)受到子体B衰变速度和子体C衰变（自身的衰变）速度的影响。即： 衰变规律推导：262021/7/20 星期二C衰变为D，C不断从自身衰变中减少 (C减少)， 即C衰变的速率为：B衰变为C，C不断从B的衰变中获得累积 (C增加)，即C产生的速率为：C因此，对于子体C，单位时间核数目的变化 满足：求解微分方程，并利用初始条件t=0，N3(0)=0得，其中，c1

15、、 c2 、 c3是常数。272021/7/20 星期二易得子体C的放射性活度为： n代连续放射性衰变规律： 对于n代连续放射性衰变过程，共有n+1种核素，其中：前面n种都是不稳定核素(具有放射性)，都有衰变过程； 第n+1种是稳定核素，即n+1 =0。 设前面n种核素的衰变常数分别为1, 2, 3, , n； 初始条件：N1(0)，N2(0)=N3(0)= =Nn(0)=Nn+1(0)=0。 （即t=0时刻只有母体A1存在）282021/7/20 星期二其中，c1 , c2 , , cn是常数。 同理，可得第n种放射性核素An的原子核数随时间的变化规律为： 292021/7/20 星期二 从

16、而，易得第n种放射性核素An的放射性活度为：其中，n为An的衰变常数。 结论： 在连续放射性衰变中， 母体衰变是单一放射性衰变，服从指数衰减规律； 其余各代子体的衰变规律不再是简单指数规律，而与 前面各代衰变常数都有关。302021/7/20 星期二第2.8节 放射性平衡312021/7/20 星期二 在连续放射性衰变中，母核及各代子核的衰变常数有大有小，衰变有快有慢。 如果时间足够长，各代核素的衰变规律会出现什么情况？问题： 显然，在连续放射性衰变中，母体的衰变情况总是服从单一指数衰减规律的。因此，对子体B的变化情况感兴趣。子体B的变化情况只取决于1和2。下面分三种情况讨论：母体A的原子核数

17、目变化规律：子体B的原子核数目变化规律：对于两代连续衰变：其中，T1和T2 分别为母体A和子体B的半衰期。322021/7/20 星期二一、暂时平衡（放射性动平衡） 母体A的半衰期不是很长，但比子体B的半衰期长，即：T1T2，（一）暂时平衡的条件及建立 暂时平衡的条件： 暂时平衡的建立：则在观察时间内可看出母体 A 放射性的变化。例如： 经过足够长时间后，子体的原子核数目将与母体的核数目建立起固定的比例关系，即此时子体的变化将按照母体的半衰期衰减。这时建立的平衡叫暂时平衡。母体A中的一个原子核在单位时间内发生衰变的概率小于子体B的原子核或12332021/7/20 星期二（二）暂时平衡关系的推

18、导 以两代连续衰变为例，根据子体B的原子核数目随时间的变化规律，有： 由于12，当t足够大时，有：即：当 t 足够大时，有：342021/7/20 星期二 当t足够大时，子体与母体的放射性活度关系为： 当时间足够长时，子体与母体之间出现暂时平衡，即它们的核数目（或放射性活度）之比为一固定值。 推导结论： 由于N1和A1是按半衰期T1衰减，则当达到暂时平衡时，N2和A2也按半衰期T1衰减。352021/7/20 星期二（三）暂时平衡时母体和子体的变化规律曲线 以实例具体来说明暂时平衡(12)情况： 暂时平衡(12)时子体的生长和衰变情况如下图所示：母体按自己的衰变常数指数衰减。母体A的原子核数目

19、变化规律：子体B的原子核数目变化规律：暂时平衡(12)时362021/7/20 星期二b：母体衰变(T1=12.6h)时的放射性活度A1指数规律；a：子体的放射性活度A2随时间的变化；c：母子体的总放射性活度(A1+A2)随时间的变化；d：子体单独存在时的衰变规律(T2=0.81h)，e：a的直线部分外推。图中：tm：子体活度达到最大值的时刻。lnAi=ln(iNi)372021/7/20 星期二 子体的原子核数目(t=0)从零开始增长，t很大后按母体半衰期衰减，核数减少，存在一个极大值： 子体活度达到最大值所需的时间tm的求解：注：因A2(t)=2N2(t)，2为常数，因此子体的原子核数目达

20、到最大值时，子体活度也达到最大值。 此时求出的t值即为tm值（精确计算值）：10，且仅与1、2有关。根据，则有：382021/7/20 星期二 在t=tm时，N2(t)取极大值，得到： 上式表明，t=tm时，母体和子体的放射性活度相等。 如右图所示，此时曲线b和曲线a相交；ttm时，A2tm时，A2A1。 在实际应用中，知道tm是很重要的，因为这时分离出子体，可以获得最大的活度。右图中的tm=3.4h，即在此时200Au具有最大的活度值。由代入1,2值392021/7/20 星期二 对于多代连续放射性衰变过程： 只要母体A1的衰变常数1比2, 3, , n都小，当时间足够长以后，整个衰变系列会

21、达到暂时平衡。即： 各代子体的放射性活度（各放射体的数量）之比不随时间变化； 各代子体都按母体的半衰期衰减。 因为1最小，经过足够长时间，A2和A1建立起暂时平衡，A2 按照1衰变； 然后， A3和A2建立起暂时平衡， A3又按照1衰变；以后各代也都会到达平衡。（四）多代连续放射性衰变的暂时平衡原因402021/7/20 星期二二、长期平衡（放射性平衡）（一）长期平衡的条件及建立 母体的半衰期比子体的长得多，即： 长期平衡的条件：并且在观察时间内看不出母体放射性的变化。T1T2，例如： T1=1600年，T2=3.824天，T1T2，而且T1很长，在观察时间内，例如几天或几十天不会看出226R

22、a放射性的变化。母体中的一个原子核在单位时间内发生衰变的概率远小于子体中的原子核或 12412021/7/20 星期二 长期平衡的建立： 在经过足够长的时间后，子体的原子核数目和放射性活度达到饱和，并且子体和母体的放射性活度相等。这时建立的平衡称为长期平衡。（二）长期平衡关系的推导 以两代连续衰变为例，根据子体B的原子核数目随时间的变化规律，有：因 12422021/7/20 星期二 所以，当t时， ，上式成为：或 此时，单位时间内子体B衰变掉的原子核个数与母体A衰变掉的原子核个数相等。我们称核素A、B达到“放射性平衡”。 实际情况下（粗略计算），t?，可认为母体和子体达到放射性平衡？问题：若

23、取0.001误差，可以认为是：432021/7/20 星期二1、经过10T2时间，A、B两核素达到放射性平衡。上式表明：2、10T2时间也是核素B积累到极大值所需的时间。时对应的t值对于两代连续衰变：下图给出了子体B的衰变曲线(红线)及子体B的积累曲线(绿线)：由前知，t时：442021/7/20 星期二子体核素的衰变与积累曲线T2N2(0)N2(t) 子体B的积累曲线：给出了当子体与母体共存时，从t=010T2过程子体B原子核数目的积累变化规律（即包含了B从A的衰变中获得累积以及B从自身衰变中减少共同作用得到的变化规律）； 子体B的衰变曲线：给出了当子体与母体分离（即子体单独存放）时，从t=

24、010T2过程子体B原子核数目的衰变规律（即B的衰变满足单一放射性核素的指数衰减规律）；452021/7/20 星期二子体核素的衰变与积累曲线T2N2(0)N2(t) 当积累时间等于核素B的半衰期时，核素B原子核数目已达到平衡时的一半；从图中可看出： 当经过10T2时，核素B的原子核数已积累达到最大值； 衰变曲线与积累曲线恰好成镜像关系。462021/7/20 星期二 当时间足够长（t=10T2）时，子体与母体之间出现长期平衡，子体的放射性活度与母体相同，达到饱和。 推导结论： A、B两个核素满足12条件时，A核素的子体核素B的原子核数积累到极大值一半所需的时间，即是该衰变子体的半衰期，经过1

25、0倍B核素的半衰期后，A核素与其子体核素B达到长期平衡（放射性平衡），此时二者的衰变率(N)即活度相等：1N1=2N2 。472021/7/20 星期二（三）长期平衡时母体和子体的变化规律曲线 以实例具体来说明长期平衡(12)情况：1、母体在观测时间内数目(N1)几乎不变；2、子体开始时从无到有增加，但会达到饱和： a. 母体原子核数目(N1)几乎不变，其衰变率(活度1N1)不变，即子体生成率不变； b. 子体原子核数目(N2)增加，衰变率(活度2N2)增加，直到等于母体衰变率1N1= 2N2即A1(tm)=A2(tm)时，子体数目达到饱和。 分析如下：该例中tm=79.7h，即在此时228A

26、c具有最大的活度值。由代入1,2值（精确计算值）粗略计算值：t=10T2=106.12h=61.2h时可认为达到长期平衡。482021/7/20 星期二a：子体的放射性活度A2随时间的变化；b：母体衰变(T1)时的放射性活度A1；c：母子体的总放射性活度(A1+A2)随时间的变化；d：子体单独存在时的衰变规律。长期平衡(12)：lnAi=ln(iNi)492021/7/20 星期二（四）多代连续放射性衰变的长期平衡 对于多代连续放射性衰变过程： 只要满足： 母体A1的半衰期T1很大，在观察期间看不出母体的变化； 而且各代子体的半衰期都比母体半衰期小得多（而不管各代子体的半衰期的差异如何），则：

27、 当时间t足够长以后（t=系列中半衰期最长的子体核素的10T1/2max），整个衰变系列达到长期平衡。即：即：i = 2, 3, 4, 总核数为N1(0) ，平衡后总活度为 nA1。各代放射体的数量(核数目)之比不随时间变化；各代子体的放射性活度都等于母体的放射性活度，且均按1衰变。502021/7/20 星期二解：例：长期平衡系列中227Ac的半衰期为21.8a，求231Pa的半衰期。 三个天然放射系就属于长期平衡的情况。 利用上式可求解寿命很长的放射性核素的半衰期，只要已知其中一个放射体的半衰期及其与所求放射体的原子数之比。 应用：512021/7/20 星期二三、不成平衡的情况（逐代衰变

28、）（一）不成平衡的条件及建立例如： 母体的半衰期小于子体的半衰期，母体衰变比子体快。即： 不成平衡的条件：T12522021/7/20 星期二（二）不成平衡关系的推导 以两代连续衰变为例，根据子体B的原子核数目随时间的变化规律，有： 由于12 ，当t时，有 ，则上式变为：此时子体的放射性活度为：532021/7/20 星期二 可见，当时间t足够长时，母体将几乎全部转变（衰变）为子体，子体则按自身的指数规律衰减。因此子体与母体之间根本不会出现任何平衡。而母体的放射性活度为：t（三）不成平衡时母体和子体的变化规律曲线 以实例具体来说明不成平衡(12)情况：542021/7/20 星期二 分析如下：

29、1、母体以衰变常数1按指数规律衰减；2、子体开始时从无到有增加，长时间后以2按指数规律衰减。当 时，子体数目最大。 下图给出了该实例对应的不成平衡(12)情况时的母体和子体的变化规律曲线：该例中tm=25d，即在此时210Po具有最大的活度值。由代入1,2值（精确计算值）552021/7/20 星期二a：子体的放射性活度A2随时间的变化；b：母体的活度A1衰减；c：母子体的总放射性活度(A1+A2)随时间的变化；d：子体单独存在时的衰变规律。不成平衡(12)： 对于不成平衡的递次衰变，为了得到单纯的子体，最简单的办法就是把放射体搁置足够长的时间，让母体几乎都衰变完，剩下就是单纯的较长寿命的子体

30、。lnAi=ln(iNi)562021/7/20 星期二（四）多代连续放射性衰变的不成平衡情况对于多代连续放射性衰变：如果上代的核素都比下代的核素衰变的快，即有: 那么，在经过足够长的时间后，不会形成平衡，而是形成逐代衰变的情况。首先是第一代衰变完，接着第二代，第三代，逐代衰变完。而且各自按自己的衰变常数衰变。572021/7/20 星期二 放射性平衡小结： 两代连续放射性衰变过程出现各种放射性平衡现象（暂时平衡、长期平衡或逐代衰变）时，对应的条件及特征如下： 暂时平衡：T1T2， N2N1，N2(1)，A2A1； 长期平衡：T1T2，N2N1，N2(1)，A2=A1； 不成平衡：T1T2，

31、N10， N2(2)。 经过足够长时间之后，多代连续放射性衰变过程将出现暂时平衡、长期平衡或逐代衰变的混合情况： 母核衰变比子核衰变快的，母核就按逐代衰变先衰变掉了；如果这个子核比下一代子核衰变慢，则形成暂时平衡。暂时平衡体系总要衰变掉，这样下去，总会出现半衰期最长的核素形成长期平衡。582021/7/20 星期二 地球上目前存在的放射系就是衰变留下的处于长期平衡的多代连续衰变体系。 对于任何递次衰变系列，不管各放射体的衰变常数之间相互关系如何，其中必有一最小者，即半衰期最长者，则在时间足够长以后，整个衰变系列只剩下半衰期最长的及其后面的放射体，它们均按最长半衰期的简单指数规律衰减（处于长期平

32、衡）。592021/7/20 星期二思考题： 1、3.7104Bq的60Co放射源（已知T1/2=5.27a），求所含60Co的原子核数及60Co的质量。 2、请说明在放射性核素的递次衰变过程中，母体和各代子体核素所满足的衰变规律。 3、请分别说明在多代连续放射性衰变中，出现暂时平衡、长期平衡及逐代衰变三种情况应满足的条件及对应特征。 4、在密封条件下，求222Rn(T1/2=3.825d)与1mg226Ra(T1/2=1600a)达到长期平衡所需要的时间（粗略估算），以及在长期平衡条件下的222Rn原子核数。602021/7/20 星期二本 节 结 束谢 谢！612021/7/20 星期二 1、3.7104Bq的60Co放射源（已知T1/2=5.27a），求所含60Co的原子核数及60Co的质量。 解：