经典的数学建模例子1

1、本文档来源于第一文库网： HYPERLINK /news/9EED8CF5DC78F004.html /news/9EED8CF5DC78F004.html经典的数学建模例子一、摘要SARSSARS就是传染性非典型肺炎，全称严重急性呼吸综合症(Severe Acute Respiratory Syndromes), 简称SARS,是一种因感染SARS相关冠状病毒而导致的 以发热、干咳、胸闷为主要症状，严重者出现快速进展的呼吸系统衰竭，是一种新的 呼吸道传染病，传染性极强、病情进展快速。当一种传染病流行的时候，会给人们的工作学习带来很大的不变，能有效地进行 隔离、预防，会大大减少人员的得病率，当

2、一种传染病开始流行时，在一定的条件下其 趋势就像真菌的繁殖曲线，如果能通过计算预测但大概推算出其发病率高峰时期，及 时的隔离预防。那会给社会人力带来很大的方便 ，当年SARS的爆发给我们带来和 大的不便和损失，因此本论文就以SARS为例,来研究传染病的传播规律、为预测和 控制传染病蔓延创造条件和帮助。1二、正文1、模型的背景问题描述SARS(Severe Acute Respiratory Syndrome,严重急性呼吸道综合症，俗称：非典型肺炎)是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。SARS的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响，我们从中得到了许多重要的经验和教 训，认识到

3、定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重 要性。要求:(1)建立传染病传播的指数模型，评价其合理性和实用性。(2)建立一个适合的模型，说明为什么优于问题1中的模型;特别要说明怎样才能3建立一个真正能够预测以及能为预防和才$制提供可靠、足够的信息的模型 ，这 样做的困难在哪里？对于卫生部门所采取的措施做出评论，如:提前或延后5天采取 严格的隔离措施，对疫情传播所造成的影响做出估计。表中提供的数据供参考。(3)说明建立传染病数学模型的重要性。2、模型假设(一)答；用心打造免费、绿色、专业、海量的教育文库网站 HYPERLINK 本文档来源于第一文库网： HYPERLINK /

4、news/9EED8CF5DC78F004.html /news/9EED8CF5DC78F004.html从上列图表可知道在4月20到5月7日期已确诊的发病人总数呈指数增长趋 势5月20到6月1日增长缓慢，6月1日至IJ 6月12日总数几乎不变。其形式与生 物学中真菌繁殖总数相似。从表格和准备中，作如下假设。1、不考虑SARS在人体中的潜伏期，也就是说当人一旦传染就表现出来立即就 具有传染性。2、当健康者满足一地条件时，健康者才被传染。3、整个发病期间为自然状态也就是无人为外界干扰，政府等其它形式进行隔离预防。4、忽略特殊情况，如个别人体质弱或强的。假定初始时刻得病例数为M0。平均每位病人每

5、天可传染N个人，可传染他人 的时间为T天。则在T天内，病例数目的增长随着时间t（单位天）的关系是；M（t）=M0（1+N）t如果不考虑对传染期的限制则病例数将按照指数规律增长考虑 ，当传染期T的 作用后，变化将显著偏离指数规律，增长速度会放慢。把达到T天的病例从可以引发 直接传染的基数中去掉，为了方便从开始到高峰期间，均采用同样的N值，（从拟合这 一阶段的数据库定出），到达高峰之后在10天的范围内逐步调整N值，到比较小，然 后保持不变 拟合后在控制阶段的全部数据。评价及其合理性和实用性；本模型主要有三个参数M0、N、T,且都具有实际意义。T可理解为平均每个 病人在被发现前后可以造成直接传染的期

6、限，在此期限后失去传染能力，可能原因是 被隔离、病愈或死去等等。N表示某种社会条件下平均每位病人每天传播的人数 （但并非文中所述的一个病人的感染他人的平均概率）。整个模型抓住了 SARS传播 过程中两个主要特征：传染期T和传染率N,反映了 SARS的传播过程。使人很容易 理解该模型。模型灵活通过调整M0、N、T值,就可以描述不同地区，不同环境下SARS的初期传播规 律预测准确通过模型对表格的调查结果进行了分析，得到的预测值与实际统计数据较接 近。可大致预测出疫情的爆发点和发展趋势。用心打造免费、绿色、专业、海量的教育文库网站 HYPERLINK 本文档来源于第一文库网： HYPERLINK /

7、news/9EED8CF5DC78F004.html /news/9EED8CF5DC78F004.html预期模型的缺点：1、对于如何确定对于三个参数 M0、N、T,未给出一般的原则或算法，只能通 过对于已发病地区的数据进行拟合得出。按照作者的表述,N值是以病发高峰为界取各段的平均值作为传染概率，虽然简化了运算，但是在现实情况下，不同地区的N 值是不同的。在实际应用中，如果没有一定量的数据，是无法得出N值的。在我们对 该模型5进行拟合事发现，对于M0、N、T作者未给出调整的标准和相关理论，所以我 们很难重复该求解过程。2、当需要对某一地区进行疫情分析时，还需考虑到该地区相对于表格所给的人 群

8、这类人口密集，人员流动性大的城市之间的差异。地域因素会造成不同地区的N值不同(如人口密度和人口流动大的城市若爆发传染病，初期的N值会比人口密度和 人口流动小的城市大，等等),而很难找到地域因素几乎相同的两城市。所以此作法可 能导致预测结果相差较大。综上所述该模型能较好的反映SARS传染的特征性，具有一定的实际意 义。但是，参数的取值包含有一定的主观因素，且需要大量的数据进行拟合，且未给出 调整的标准和相关理论，在实际应用中实用价值不大。(二)答：模型假设1、在疾病传播期内所考察地区的总人数 N不变,既不考虑生死，也不考虑迁 移。人群分为易感染者和已感染者两类，时刻t这两类人在总人数中所占比例分

9、别 记为s (t )和i (t )。2、每个病人每天有效接触的平均人数是常数k ,k称为日接触率。当病人与健康者有效接触时，使健康者受感染为病人。问题分析根据假设，可知，人群分为两类，一是健康者，二是病人，只要一类人群随时间的变 化规律知道，这另一类人群也可马上求解。由于传染病过程中通常取病人为研究对 象，所以决定求解病人随时间的变化规律。3、模型分析、建立对于t时刻，病人的增加率为kNsi ,即用心打造免费、绿色、专业、海量的教育文库网站 HYPERLINK 本文档来源于第一文库网： HYPERLINK /news/9EED8CF5DC78F004.html /news/9EED8CF5DC

10、78F004.html diN kNsi dt =(1)又因为S (t )+i (t尸1(2)再令初始时刻白病人比例为i0,这,(0)0diki i i i dt =-=(3) 显然此为logistic模型，它的解为1()1(1/01)kt i t i e -= +-(4)参数的确定 通过对图表的累计病例数用spss进行曲线拟合，结果如下 可得拟合的函数关系式为11/25250.001(0.865)t y = +,y=N*i 通过取一系列t来估计出相应的k值，结果如下时间20 30 40 50 60k 值大小 0.1919 0.1763 0.1685 0.1638 0.1607 7由图像可知，

11、当t较大时，曲线拟合的数据与实际测量值越接近，所以就取t=60 时所对应的k值，即0.1607。此值可以近似看做当政府没有采取措施，即传染病的自 然传染能力大小。但同时根据附件1的求解方法，我们计算了 4月20日到4月29 日期间每日的k值大小，再求平均，得k =0.169346。对于k和k之间的差异，这是 由于模型1并未考虑到政府控制前和控制后 k值将改变，且k1k2。所以由于k只 考虑控制前，所以比k要略大，我们考虑传染病的每天平均自然传染人数时，取值为k =0.169346。但由于此模型未考虑到病人会被治愈而成为健康者，所以在模型1的基础上进行改进，建立了模型2。模型2在模型1的假设条件

12、下增加的条件为，1,每天被治愈的病人数或死于该传染病人数占病人总数的比例为常数p。病人治愈后由于获得了免疫能力，同时也由于心理作用，更加保护自己，所以可以假设治用心打造免费、绿色、专业、海量的教育文库网站 HYPERLINK 本文档来源于第一文库网： HYPERLINK /news/9EED8CF5DC78F004.html /news/9EED8CF5DC78F004.html愈后再次感染的几率为0,且该种人群在总人群中所占有的比例为u (t)。不难看出，考虑到假设3,模型1中的(1)式应修改为,(0)0diN kNsi pNi i i dt=-=(5)而且对于健康者，其增加率为,(0)0d

13、sksi s s dt=-=(6)对于移出者而言，其增加率为duN pNi dt=(7)由于人群只由健康者，病人和移出者组成，所以S(t)+i(t)+u(t)=1(8)4、模型求解查资料，得到2003年北京市市区总人口数目为 698.8万人从而可以得到初始条件 i0= 339/(698.8*10A(-4)=4.851*10A(-5) ,s0=0.99995149(取4月20号为初始条件)同时根据附件2中的死亡累计和治愈累计，求得每日的移出率p，在求平均值得 到p =0.05121。 在模型一中求得k =0.169346;将上述参数代入(5)式和(6)式，求 得数值解和绘制的图像010.0590

14、50100150200用心打造免费、绿色、专业、海量的教育文库网站 HYPERLINK 本文档来源于第一文库网： HYPERLINK /news/9EED8CF5DC78F004.html /news/9EED8CF5DC78F004.html6时间能感染的病人数由图像可得i (t )随时间的推移先逐渐变大，之后变小,趋向于0,s(t)随时间 的推移而逐渐减小，根据常识，一种传染病中的病人比例最终是为 0,由此模型2还是 比较符合客观事实的，但从图像中大致可以判断i (t尸0时大约要经过225多天。 这与实际过程中大约经过100多天北京的SARS就平息存在较大误差，仔细分析，

15、我 们发现该模型忽略了 SARS的潜伏期，实际上健康人与SARS患者接触后虽然被感 染了，但还处于潜伏期，没有传染能力。所以将模型2进行改进，得到模型3。模型3 模型假设1,将人群分为四类，分别为健康人群，能感染的病人SARS ,SARS潜伏者和移出 者(包才S SARS的死亡者和治愈者),他们在人群中的比重分别为s(t),i(t),w(t),u(t);其中已确诊病人和SARS潜伏者统称为SARS病毒携带者，记为x1(t ),表示其t时 刻的人数，人口总人数为N。2，每个病人每天有效接触的平均人数是常数k ,k称为日接触率。当病人与健康者有效接触时，使健康者受感染为病人。SARS潜伏者无传染能

16、力，但最终会成为病人，具有传染能力。问题分析该模型比起模型2更为复杂,在该模型中还必须将SARS病毒携带者分为两类， 显然增加了计算难度，在此中还应该考虑潜伏周期T。模型求解在t时亥J SARS病毒携带者x1(t)=Ni(t)+Nw(t)(9) SARS 病毒携带者的增长率为1()()()()dx t Ni t ks t Ni t p dt=-(10)健康人的增长率为()()ds i t ks t dt =-(11) 移出者的增长率为duip dt=(12) 潜伏者的增长率为用心打造免费、绿色、专业、海量的教育文库网站 HYPERLINK 本文档来源于第一文库网： HYPERLINK /new

17、s/9EED8CF5DC78F004.html /news/9EED8CF5DC78F004.html()()()()()dw t i t ks t i t T ks t T dt=-(13)确诊病人的增长率为()()()di t dw t T i t p dt dt-=-(14)除此之外，还有一条公式，为S(t)+i(t)+w(t)+u(t)=1(15) 由 到(16)式联立，可得到()()()()di t i t T ks t T i t p dt=-(16) 将(14)和(17)式联立，可得()()()dw t T i t T ks t T dt-=-(17) 将t-T用t代替，可得()

18、()()dw t i t ks t dt=(18) 在对(16)式两边对t进行求导，可得()()()()0d s t d i t d w t d u td t d t d t d t+=(19) 结合(11),(12),(18)可求得()()di t i t p dt=-(20) 最终对(11),(18),(20)联立的方程组进行数值求解,可得图像如下数学建模11-0.60.81用心打造免费、绿色、专业、海量的教育文库网站 HYPERLINK 本文档来源于第一文库网： HYPERLINK /news/9EED8CF5DC78F004.html /news/9EED8CF5D

19、C78F004.html1.200.050.40.450.5SARS疫情传播的数学模型与预测00.511.522.533.56时间能感染的病人数从图像中我们可以观察到在300多天时i (t )会接近于0,这比模型2还要 久,，因此，我们还把政府的干预考虑进来，也就得到了模型4。由于时间限制，模型4中考虑的因素更多，所以一时没能解决，也就导致了第二问 实际上还不能完全解决，但是我们已经有了思路，即再引入一类人群，就是隔离人群，通 过引入该人群，实际上是改变了病人的有效接触人数k，我们根据4月29日之后的实际数据，求得每日的k值两求平均，得2k =0.019413;我们想采用分段函数，即确 定一个时刻t ,k值改变的时刻，在这个时刻前与后都可以适用模型 3。只是在考虑t时刻后，它的 初始条件为4月29日的数据。通过t的改变，可以解决第二问中政府早五天调控和 晚五天调控的差别。5、模型的应用与推广模型是为了一定目的，对客观事物的一部分进行简缩、抽象、提炼出来的原型 的替代物，集中反映了原型中人们需要的那一部分特征。用心打造免费、绿色、专业、海量的教育文库网站 HYPERLINK 本文档来源于第一文库