构造法在初中数学解题中的应用

1、构造法在初中数学解题中的应用【摘要】 构造法是一种重要的数学解题方法，在解题中被广泛应用。构造法是一种极其富有技巧性和创造性的解题方法，特别是有些问题，用构造法更简捷明了。本文简单阐述了构造法的概念，重点论述了构造在初中数学解题中的运用。【关键词】构造法 数学解题应用波利亚说过： “解题的成功要靠正确思路的选择， 要靠从可以接近它的方向去攻击堡垒。”解数学问题时，常规的思考方法是由条件到结论的定向思考，但有些问题用常规的思维方式来寻求解题途径却比较困难，甚至无从着手。在这种情况下，经常要求我们改变思维方向，换一个角度去思考从而找到一条绕过障碍的新途径。构造法就是这样的手段之一。本文将对构造法及

2、其在中学数学中的应用做简单探讨，通过示例，不断加深对构造法的理解。一、对“构造法”的概述与基本特征构造法是根据题设的特点，用已知条件中的元素作为 “元件” ， 用已知的关系式为 “支架” ，通过观察、联想，采用新的设计，构造出一种新的问题形式，从而绕过解题障碍，使问题得到解决的一种方法。在运用构造法时，一要明确构造的目的，即为什么目的而构造；二要弄清楚问题的特点，以便依据特点确定方案，实现构造. 构造法的基本特征如下：对所要讨论的问题给出了较为直观的描述；不但回答了提出的问题，而且构造出具体的结果。二、构造法在解题中的应用构造函数在求解某些数学问题时，根据问题的条件，构想组合一种新的函数关系，

3、使问题在新的 观念下转化并利用函数的有关性质解决原问题是一种行之有效的解题手段。构造函数证（解）问题是一种创造性思维过程，具有较大的灵活性和技巧性。在运用过程中，应有目的、有意 识地进行构造，始终“盯住”要证、要解的目标。例1:（八年下课本习题变式）某工厂现有甲种原料 360千克，乙种原料290千克，计划 利用这两种原料生产 、 两种产品，共50件。已知生产一件 种产品，需用甲种原料 9 千克、乙种原料3千克，可获利润700元；生产一件 种产品，需用甲种原料4千克、乙种 原料10千克，可获利润1200元。（1）按要求安排 、 两种产品的生产件数，有哪几种方案？请你设计出来；（2）设生产、 两种

4、产品获总利润为y （元），生产 种产品x件，试写出y与x之间的函数关系式，并利用函数的性质说明（1）中哪种生产方案获总利润最大？最大利润是多少？解：（1）设需要生产 种产品X件，那么需要生产 种产品50 x件，由题意得：J淞+4（50-0应 360：3X+10（50工）29。解得：30 x 32,x是正整数，x 30或 31 或 32,有三种生产方案：生产种产品30件，生产种产品20件；生产种产品31件，生产种产品19件；生产种产品32件，生产种产品18件；（2）由题意得：y 700 x 1200 50 x 500 x 60000,y随x的增大而减小，当x=30时，y有最大值，最大值为：y =

5、45000 （元）,答：y与x之间的函数关系式为：y 500 x 60000, （1）中的方案 获利最大，最大 利润为45000元例2:求函数y Vx V1 x的最大值.解：由根号下的式子看出x 1 x 1且0 x 1,故可联想到三角函数关系式并构造 x sin2(0 x ),2所以 y sin x cosx V2sin( ),4当一即 x 时，ymax 22 .42.构造方程方程，作为中学数学的重要内容之一，与数、式、函数等诸多知识密切相关。根据问题 条件中的数量关系和结构特征，构造出一个新的方程，然后依据方程的理论，往往能使问题 在新的关系下得以转化而获解。构造方程是初等代数的基本方法之一

6、。如列方程解应用题， 求动点的轨迹方程等即属此法.构造方程解题体现了方程的观点，运用方程观点解题可归结为3个步骤：.将所面临的问题转化为方程问题；.解这个方程或讨论这个方程的有关性质(常用判别式与韦达定理)，得出相应结论;C .将方程的相应结论再返回为原问题的结论。(1)某些题目根据条件、仔细观察其特点，构造一个“一元一次方程”求解，从而获得 问题解决.例3：设a b c且ab c 1 , a2 b2 c2 1 ,求a b的范围.解：由 a b c 1 得a b 1 c(1)将(1)的两边平方并将a2 b2 c2 1代入得ab c2 c (2)由(1) (2)可知，a,b是方程x2 c 1 x

7、 c2 c 0的两个不等的实根于是 c 1 2 4 c2 c3c2 2c 1 0 1解得：- c 13即：1 1 a b 1341 a b3(2)有些问题，直接求解比较困难，但如果根据问题的特征，通过转化，构造“一元二 次方程”，再用根与系数的关系求解，使问题得到解决。此方法简明、功能独特，应用比较广 泛，特别在数学竞赛中的应用。例4:已知实数x、y、z满足x y 5, z2 xy y 9,求x 2y 3z的值。思考与分析：根据本题的题设可能使我们联想到韦达定理，但仍需进行合理的变形，才 能构造出方程组去求解。解：由已知可得:以x 1、y为两实数根，构造方程t2 6t Z2 9 0方程有实数根

8、6 2 4 z2 94z2 0由此得到z2 0 ,且 0方程t2 6t 9 0有两个相等的实数根ti t23于是x 1 y 3x 3, y 3 , z 0 x 2y 3z 2 2 3 0 83.构造几何图形(1)对于条件和结论之间联系较隐蔽问题，要善于发掘题设条件中的几何意义，可以通 过构造适当的图形把其两者联系起来，从而构造出几何图形，把代数问题转化为几何问题来 解决。增强问题的直观性，使问题的解答事半功倍。例 5:已知：0 a 1 , 0 b 1,求证：a2 b2, 1 a 2 b2,a21 b 2, 1 a 21 b 2 2 2.分析：在求证条件不等式时，可根据题设条件作出对应的图形，然

9、后运用图形的几何性 质或者平面几何的定理、公理去建立不等式使结论获证。证明：如图1:作边长为1的正方形ABCD,在AB上取点E ,使AE =a ;在AD上取点G , 使AG=b ,过EF AD交CD于F ;作GH / AB交BC于H .设EF与GH交于点O ,连接AO、BO、CO、DO、AC、BD.由题设及作图知 AOG、 BOE、 COF、 DOG均为直角三角形，因此OA ,a2 b2OB (1 a)2 b2OC . (Ta)2(1，)2OD 一(厂b)2且 AC BD ,2由于 OA OC AC,OB OD BD.所以：a2 b2(1 a)2 b2 a2 (1 b)2(1 a)2 (1 b

10、)2 2 2当且仅当a b 1时，等号成立。22、在解几何题时，借助有关性质，巧妙构造，可迅速找到解题途径，不仅能使问题化难 为易，迎忍而解，而且有助于提高学生的数学思维能力和几何证题能力。例6:如图2: Rt ABC中，直角 / C的平分线CE与斜边的中垂线线DE交于E ,求证：CD DE.思考与分析：由已知条件和图形联想到 AB是Rt ABC的外接圆。D的直径，只需作。 D,证明点E在圆上即可。证明：作Rt ABC的外接圆。D,则AB为直径，D为圆心。V DE垂直平分AB DE通过弧AB的中点CE是/ ABC的平分线 CE也通过弧AB的中点. DE、CE的交点必为弧AB的中心即E点在。D上

11、,. CD DE4、构造特例、反例在解题中，我们可以考虑问题中的特殊情形、极端情况、特例、反例，这也是我们解决 问题的一种方法，特别对于一些假命题的证明，经常通过构造一个符合命题条件但结论不成 立的例子来证明即可。例7: a, b, c都是实数，考虑如下命题： TOC o 1-5 h z (1)若 a2ab c 0,且 c 1 ,贝U 0 b2;(2)若 c1 ,且 0 b2,则 a2ab c0；(3)若 0b 2,且 a2ab c0, WJ c1 ;试判断哪些命题正确，哪些命题不正确。对你认为正确的命题给出证明；认为不正确的 命题，用反例予以否定。分析：命题(1)不正确，构造反例如下：令b

12、4, c 5,此时a2 ab c a2 4a 5 a 2 2 1 0且c 1,满足条件，但结论0 b 2不成立。命题(2)成立：证明：a2 ab c a2 2 0.5b a 0.5b 20.5b 2 c a 0.5b 2 c 0.25b ,因为0 0.25b 0.5 且 c 1, c 0.25b 0, 因 此,22ab c a a 0.5 a 0.5c 0.25b0 .即命题成立。命题（3）不成立:令b 1 , c 0.5 ,止匕时0 b2,且 a2 ab ca2 a 0.5 a 0.5 2 0.25 0 满足条件，但结论c 1不成立。例8:证明以下命题为假命题:若两个三角形的三个内角和三条边

13、六个元素中有五个元素分别相等，则这两个三角形全思考与分析：只要构造的一个符合命题的条件，但不满足命题的结论的例子即可。证明：如图3, ABC和 DEF中，使BC DE 12, ACEF18, AB 8, DF 27.ABDEBC AC 2EF DF 3ABCs DEF / A=/ D即ABC和DEF满足五个元素分别相等，但它们不全等。故该命题是假命题0从以上各例不难看出，构造法解题有着你意想不到的功效，问题很快便可解决。构造法 解题重在“构造”，通过仔细地观察、分析、去发现问题的各个环节以及其中的联系，从而 为寻求解法创造条件。因此，在解题时，若能启发学生从多角度，多渠道进行广泛的联想, 就会得到许多构思巧妙，新颖独特，简捷有效的解题方法，而且还能加强学生对知识的理解。运用构造法解题能培养学生思维的灵活性，提