2021-2022学年高二物理竞赛课件：流体力学的不可压缩流体的连续性微分方程

1、流体力学的不可压缩流体的连续性微分方程2022/8/15Donghua University2 当把流体的流动看作是连续介质的流动，它必然遵守质量守恒定律。对于一定的控制体，必须满足式（322）。它表示在控制体内由于流体密度变化所引起的流体质量随时间的变化率等于单位时间内通过控制体的流体质量的净通量。 首先推导在笛卡儿坐标系中微分形式的连续性方程。 图7-1 微元六面体 2022/8/15Donghua University3即当流场速度同时满足： 时流动无旋。 需要指出的是，有旋流动和无旋流动仅由流体微团本身是否发生旋转来决定，而与流体微团本身的运动轨迹无关。 如图7-5（a），流体微团的运

2、动为旋转的圆周运动，其微团自身不旋转，流场为无旋流动；图7-5（b）流体微团的运动尽管为直线运动，但流体微团在运动过程中自身在旋转，所以，该流动为有旋流动。（a） （b） 图7-5 流体微团运动轨迹 2022/8/15Donghua University4【例】 某一流动速度场为 ， ，其中 是不为零的常数，流线是平行于 轴的直线。试判别该流动是有旋流动还是无旋流动。 【解】 由于 所以该流动是有旋运动。 2022/8/15Donghua University5 设该微元六面体中心点O（x, y, z）上流体质点的速度为 、 、 ， 密度为 ，于是和 轴垂直的两个平面上的质量流量如图所示。 在

3、 方向上，单位时间通过EFGH面流入的流体质量为： （a） 单位时间通过ABCD面流出的流体质量 ：（b） 则在 方向单位时间内通过微元体表面的净通量为（b）-（a），即 （c1） 2022/8/15Donghua University6同理可得 和 方向单位时间通过微元体表面的净通量分别为: （c2） （c3） 因此，单位时间流过微元体控制面的总净通量为: （c） 微元六面体内由于密度随时间的变化而引起的质量的变化率为： （d） 2022/8/15Donghua University7 将式（c），（d）代入式（7-1），取 0，则可得到流场中任一点的连续性方程的一般表达式为: 或（7-1）

4、 （7-1a） 连续性方程表示了单位时间内控制体内流体质量的增量等于流体在控制体表面上的净通量。它适用于理想流体和粘性流体、定常流动和非定常流动。 在定常流动中，由于 （7-2） 对于不可压缩流体（ =常数） （7-3） 或（7-3a） 2022/8/15Donghua University8在其它正交坐标系中流场中任一点的连续性方程和柱坐标系中的表示式为 ： (7-4) 对于不可压缩流体 (7-4a) 式中 为极径； 为极角。 球坐标系中的表示式为: (7-5) （7-5a） 式中 为径矩； 为纬度； 为径度。 2022/8/15Donghua University9【例7-1】已知不可压缩

5、流体运动速度 在 ， 两个轴方向的分量为 ， 。且在 处，有 。试求 轴方向的速度分量 。 【解】对不可压缩流体连续性方程为：将已知条件代入上式，有 又由已知条件对任何 ， ，当 时， 。故有 2022/8/15Donghua University10粘性流体的内应力 粘性流体在运动时，表面力不仅有法向应力，还有切向应力。流场内任一点的应力状况，都可以通过该点的三个相互垂直的作用面上的九个应力分量表示。以应力表示的运动微分方程理想流体运动微分方程式是研究流体运动学的重要理论基础。可以用牛顿第二定律加以推导。在流场中取一平行六面体，如图76所示。其边长分别为dx，dy，dz，中心点为A(x,y,

6、z) 。中心点的压强为p=p(x,y,z)，密度为=(x,y,z) 。因为研究的对象为理想流体，作用于六个面上的表面力只有压力，作用于微元体上的单位质量力 沿三个坐标轴的分量分别为 。 2022/8/15Donghua University11图76 理想流体运动微分方程用图 2022/8/15Donghua University12 微元体在质量力和表面力的作用下产生的加速度 ，根据牛顿第二定律 ：两端同除以微元体的质量 ,并整理有： (7-12) 写成矢量式： (7-13) 2022/8/15Donghua University13将加速度的表达式代入（712）有： （714） 其矢量式为 ：（715） 公式（714）为理想流体运动微分方程式，物理上表示了作用在单位质量流体上的质量力、表面力和惯性力相平衡。该式推导过程中对流体的压缩性没加限制，故可适用于理想的可压流体和不可压缩流体，适用于有旋流动和无旋流动。 2022/8/15Donghua University14 将（714）作