共点力平衡中的三力平衡问题的教学设计

1、 共点力平衡中的三力平衡问题的教学设计【学习目标】1进一步理解共点力作用下物体的平衡条件。2掌握求解三力平衡问题的常用方法：三力平衡原理和正交分解法。【学习重点】三力平衡原理和正交分解法的理解和掌握。【学习难点】三力平衡原理几种数学方法的掌握。【学习导航】1平衡状态是指物体处于_静止_状态或_匀速直线运动_状态。2动力学特征是：合力F合=_0_，加速度a = _0_，速度v _=_0或 v_ _0。【导学过程】一三力平衡问题的特点1物体受三个力作用平衡时，其中任意两个力的合力必跟第三个力是一对_平衡_力，且大小_相等_，方向_相反_。2三力汇交原理：如果一个物体受三个不平行外力的作用而平衡，这

2、三个力的作用线必在同一_平面_上，而且必定_交于一点_。例如用双线法确定细木棒的重心等。二三力平衡问题的求解方法1 三个力中，有两个力互相垂直，第三个力角度（方向）已知。 例1(2011广东高考)如图所示的水平面上，橡皮绳一端固定，另一端连接两根弹簧，连接点P 在 F1、F2和 F3三力作用下保持静止。下列判断正确的是()AF1F2F3 BF3F1F2 CF2F3F1 DF3F2F1解析：由于三力平衡，三力首尾相连构建封闭三角形，如图所示，由三角形的边角关系“大角对应大边”可知， B项正确。2 三个力互相不垂直，但夹角（方向）已知考试说明中规定力的合成与分解的计算只限于两力之间能构成直角的情形

3、。三个力互相不垂直时，无论是用合成法还是分解法，三力组成的三角形都不是直角三角形，造成求解困难。因而这种类型问题的解题障碍就在于怎样确定研究方法上。解决的办法是采用正交分解法，将三个不同方向的力分解到两个互相垂直的方向上，再利用平衡条件求解。例2.如图所示，用轻绳吊一个重为G的小球，施加力F使小球平衡时与竖直方向成角，求力F最小值。解析：根据受力分析情况可知，重力大小方向都确定，绳子的拉力大小不知，但方向一定沿绳方向，所以我们可以利用定点到定线垂线段最短知识，从G的末端向绳子延长线做垂线，垂线段即为力F的最小值，其值为Gsin。3 三个力互相不垂直，且夹角（方向）未知 三力方向未知时，无论是用

4、合成法还是分解法，都找不到合力与分力之间的定量联系，因而单从受力分析图去求解这类问题是很难找到答案的。要求解这类问题，必须变换数学分析的角度，从我们熟悉的三角函数法变换到空间几何关系上去考虑，因而这种问题的障碍点是如何正确选取数学分析的方法。 解决这种类型的问题的对策是：首先利用合成法或分解法作出三力之间的平行四边形关系和三角形关系，再根据力的三角形寻找与之相似的空间三角形，利用三角形的相似比求解。例3轻绳OA与轻杆OB的A、B端固定在墙上，O点下悬挂一个质量为10kg的物体。ABO=90，AOB =30，当物体静止时，求：（1）OA绳对O点的拉力？（2）OB杆对O点的作用力？（g=10m/s

5、2）.解法一：正交分解法。见图，由共点力平衡条件，在x轴上：T cos30=FN y轴上：Tsin30=mg .解两式得：T =2mg = 200N，FN = mgctg 30 = 100/3(N)解法二：利用“任意两个力的合力跟第三力等值反向”作图求解，如图所示。作图：反思延长重力作用线，取R = mg，以R为对角线，T和FN为邻边完成平行四边形。平行四边形由两个直角三角形组成，从图可知： T = R/sin30= 2R =2mg, FN =R ctg30=Rmgctg30。解法三：由正弦定理的变形得：，sin150=sin(18030) = sin30, sin120 = sin(1806

6、0) = sin60 = cos30, T = 2 mg, FN = mgctg30.物体在三个共点力作用下平衡，已知条件中涉及的是边长问题，则由力组成的矢量三角形和由边长组成的几何三角形相似，利用相似比可以迅速的解力的问题。4 三力的动态平衡问题 在有关物体平衡的问题中，有一类涉及动态平衡。这类问题中的一部分力是变力，是动态力，力的大小和方向均要发生变化，故这是力平衡问题中的一类难题。解决这类问题的一般思路是：把“动”化为“静”，“静”中求“动”。根据现行高考要求，物体受到往往是三个共点力问题，利用三力平衡特点讨论动态平衡问题是力学中一个重点和难点，许多同学因不能掌握其规律往往无从下手，许多

7、参考书的讨论常忽略几中情况。方法一：三角形图解法。特点：三角形图象法则适用于物体所受的三个力中，有一力的大小、方向均不变（通常为重力，也可能是其它力），另一个力的方向不变，大小变化，第三个力则大小、方向均发生变化的问题。方法：先正确分析物体所受的三个力，将三个力的矢量首尾相连构成闭合三角形。然后将方向不变的力的矢量延长，根据物体所受三个力中二个力变化而又维持平衡关系时，这个闭合三角形总是存在，只不过形状发生改变而已，比较这些不同形状的矢量三角形，各力的大小及变化就一目了然了。例4 如图所示，一个重力G的匀质球放在光滑斜面上，斜面倾角为，在斜面上有一光滑的不计厚度的木板挡住球，使之处于静止状态。

8、今使板与斜面的夹角缓慢增大，问：在此过程中，挡板和斜面对球的压力大小如何变化？F1GF2解析：取球为研究对象，如图所示，球受重力G、斜面支持力F1、挡板支持力F2。因为球始终处于平衡状态，故三个力的合力始终为零，将三个力矢量构成封闭的三角形。F1的方向不变，但方向不变，始终与斜面垂直。F2的大小、方向均改变，随着挡板逆时针转动时，F2的方向也逆时针转动，动态矢量三角形图1-3中一画出的一系列虚线表示变化的F2。由此可知，F2先减小后增大，F1随增大而始终减小。F同种类型：如图所示，小球被轻质细绳系着，斜吊着放在光滑斜面上，小球质量为m，斜面倾角为，向右缓慢推动斜面，直到细线与斜面平行，在这个过

9、程中，绳上张力、斜面对小球的支持力的变化情况？（答案：绳上张力减小，斜面对小球的支持力增大）方法二：相似三角形法。特点：相似三角形法适用于物体所受的三个力中，一个力大小、方向不变，其它二个力的方向均发生变化，且三个力中没有二力保持垂直关系，但可以找到力构成的矢量三角形相似的几何三角形的问题AFBO原理：先正确分析物体的受力，画出受力分析图，将三个力的矢量首尾相连构成闭合三角形，再寻找与力的三角形相似的几何三角形，利用相似三角形的性质，建立比例关系，把力的大小变化问题转化为几何三角形边长的大小变化问题进行讨论。AFBOGFNFLlH例5一轻杆BO，其O端用光滑铰链固定在竖直轻杆AO上，B端挂一重

10、物，且系一细绳，细绳跨过杆顶A处的光滑小滑轮，用力F拉住，如左图所示。现将细绳缓慢往左拉，使杆BO与杆AO间的夹角逐渐减少，则在此过程中，拉力F及杆BO所受压力FN的大小变化情况是( )AFN先减小，后增大 B.FN始终不变CF先减小，后增大 D.F始终不变解析：取BO杆的B端为研究对象，受到绳子拉力(大小为F)、BO杆的支持力FN和悬挂重物的绳子的拉力(大小为G)的作用，将FN与G合成，其合力与F等值反向，如右图所示，将三个力矢量构成封闭的三角形(如图中画斜线部分)，力的三角形与几何三角形OBA相似，利用相似三角形对应边成比例可得：(如右图所示，设AO高为H，BO长为L，绳长l,)，式中G、

11、H、L均不变，l逐渐变小，所以可知FN不变，F逐渐变小。正确答案为选项B同种类型：如图所示，光滑的半球形物体固定在水平地面上，球心正上方有一光滑的小滑轮，轻绳的一端系一小球，靠放在半球上的A点，另一端绕过定滑轮，后用力拉住，使小球静止现缓慢地拉绳，在使小球沿球面由A到半球的顶点B的过程中，半球对小球的支持力N和绳对小球的拉力T的大小变化情况是( D )。ACBO(A)N变大，T变小，(B)N变小，T变大(C)N变小，T先变小后变大(D)N不变，T变小方法三：作辅助圆法特点：作辅助圆法适用的问题类型可分为两种情况：物体所受的三个力中，开始时两个力的夹角为90，且其中一个力大小、方向不变，另两个力

12、大小、方向都在改变，但动态平衡时两个力的夹角不变。物体所受的三个力中，开始时两个力的夹角为90，且其中一个力大小、方向不变，动态平衡时一个力大小不变、方向改变，另一个力大小、方向都改变，原理：先正确分析物体的受力，画出受力分析图，将三个力的矢量首尾相连构成闭合三角形，第一种情况以不变的力为弦作个圆，在辅助的圆中可容易画出两力夹角不变的力的矢量三角形，从而轻易判断各力的变化情况。第二种情况以大小不变，方向变化的力为直径作一个辅助圆，在辅助的圆中可容易画出一个力大小不变、方向改变的的力的矢量三角形，从而轻易判断各力的变化情况。例6.如左图所示，物体G用两根绳子悬挂，开始时绳OA水平，现将两绳同时顺

13、时针转过90，且保持两绳之间的夹角不变，物体保持静止状态，在旋转过程中，设绳OA的拉力为F1，绳OB的拉力为F2，则（ ）。(A)F1先减小后增大(B)F1先增大后减小 (C)F2逐渐减小(D)F2最终变为零解析：取绳子结点O为研究对角，受到三根绳的拉力，如中图所示分别为F1、F2、F3，将三力构成矢量三角形(如右图所示的实线三角形CDE)，需满足力F3大小、方向不变，角 CDE不变(因为角不变)，由于角DCE为直角，则三力的几何关系可以从以DE边为直径的圆中找，则动态矢量三角形如右图中一画出的一系列虚线表示的三角形。由此可知，F1先增大后减小，F2随始终减小，且转过90时，当好为零。正确答案

14、选项为B、C、D另一种类型：如图所示，在做“验证力的平行四边形定则”的实验时，用M、N两个测力计通过细线拉橡皮条的结点，使其到达O点，此时+= 90然后保持M的读数不变，而使角减小，为保持结点位置不变，可采用的办法是（ A ）。(A)减小N的读数同时减小角 (B)减小N的读数同时增大角(C)增大N的读数同时增大角 (D)增大N的读数同时减小角方法四：解析法特点：解析法适用的类型为一根绳挂着光滑滑轮，三个力中其中两个力是绳的拉力，由于是同一根绳的拉力，两个拉力相等，另一个力大小、方向不变的问题。原理：先正确分析物体的受力，画出受力分析图，设一个角度，利用三力平衡得到拉力的解析方程式，然后作辅助线

15、延长绳子一端交于题中的界面，找到所设角度的三角函数关系。当受力动态变化是，抓住绳长不变，研究三角函数的变化，可清晰得到力的变化关系。例7如左一图所示，在水平天花板与竖直墙壁间，通过不计质量的柔软绳子和光滑的轻小滑轮悬挂重物G=40N，绳长L=2.5m，OA=1.5m，求绳中张力的大小，并讨论：（1）当B点位置固定，A端缓慢左移时，绳中张力如何变化？（2）当A点位置固定，B端缓慢下移时，绳中张力又如何变化？ABCGDF1F2F3OABCGOABCGDF1F2F3OCBABCGDF1F2F3OAD解析：取绳子c点为研究对角，受到三根绳的拉力，如左二图所示分别为F1、F2、F3，延长绳AO交竖直墙于

16、D点，由于是同一根轻绳，可得：，BC长度等于CD，AD长度等于绳长。设角OAD为；根据三个力平衡可得： ；在三角形AOD中可知，。如果A端左移，AD变为如右二图中虚线AD所示，可知AD不变，OD减小，减小，F1变大。如果B端下移，BC变为如右一图虚线BC所示，可知AD、OD不变，不变，F1不变。同种类型：如图所示，长度为5cm的细绳的两端分别系于竖立地面上相距为4m的两杆的顶端A、B，绳子上挂有一个光滑的轻质钩，其下端连着一个重12N的物体，平衡时绳中的张力多大？反思：在三力平衡问题中，如果题中的已知条件有几个边长的数据或字母，可能要利用相似三角形的性质列式求解。如果已知的是角度，一般不会利用相似三角形的性质求解，多数可化为直角三角形或棱形的对角线公式求解。如果减小绳长L，拉力T也随之减小，在小球缓慢移动到大球顶点C之前，大