直线与圆的方程例题与练习

1、两条直线位置关系试卷一.选择题（共13小题）.直线11： x+my+6=0和直线12： （m-2） x+3y+2m=0互相平行，则 m的取值为（）A. - 1或 3B. 3C. - 1D. 1 或-3考点：两条直线平行的判定.8 5专题：计算题.分析：利用两直线平行，一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，解方程求的m的值.解答：解：由于直线11 ： x+my+6=0与直线12： （m-2） x+3y+2m=0互相平行，- -至生，m=T,id-2-32it故选c .点评：本题考查两直线平行的性质，两直线平行，一次项系数之比相等，但不等于常数项之 比.已知直线 mx+ny+1=0平行于直线4x

2、+3y+5=0 ,且在y轴上的截距为二，则m,的值分别 1 TOC o 1-5 h z 为（）A.4和 3B.4和 3C. 4 和3D.4 和3考点：两条直线平行的判定；直线的截距式方程.1一专题：待定系数法.分析：由直线在y轴上的截距为1,可得 二，解出n,再由直线平行可得 三二3 n 34 3 5求出m.解：由题息得 -,n= - 3,直线 mx+ny+1=0平仃于直线 4x+3y+5=0 ,n 3.= 丁 3 5m= - 4.故选C.点评：本题考查直线在y轴上的截距的定义，两直线平行的性质.三条直线11： x - y=0, 12： x+y - 2=0 , 13： 5x - ky - 15

3、=0构成一个三角形，则 k的取值范围是（）A. kCRB. kCR 且 kw 土，k 用C. kC R 且 kw kD, kCR 且 kw5=, kF10考点：两条直线平行的判定；直线的一般式方程专题：计算题.分析：如果三条直线组不成三角形，则必存在平行线，或三条直线过同一点，由此求出不能 构成三角形的条件再求此条件的补集.解答：解：由11/13得卜=5,由12/ 13得k= - 5,由-尸。得八二1,三十-2=0 y=l若（1, 1）在 13 上，则 k= - 10.故若11, 12, 13能构成一个三角形，则 kw 5且kA 10.故选C.点评：本题考查两条直线平行的判定，直线的一般式方程

4、，考查逻辑思维能力，计算能力, 是基础题.4.若方程（6a2a2）x+ （3a25a+2） y+a 1=0表示平行于x轴的直线，贝U a的值是（考点：两条直线平行的判定.85专题：计算题.分析：根据直线ax+by+c=o与x轴平行？ a=0, b4，c为解答：解：,方程（6a2a2） x+ （3a25a+2） y+a - 1=0 于 x 轴平行 6a2-a- 2=0 3a2- 5a+2加 a- 14解得：a=-3故选B.点评：本题考查了两直线平行的判定，要注意 ax+by+c=o与x轴平行c为，如果等于0就与 x轴重合了.属于基础题.5,直线3x- 2y+m=0与直线（m2 - 1） x+3y

5、 - 3m+2=0的位置关系是（）A.平行B.重合C.相交D.不能确定考点：两条直线平行的判定专题：计算题.分析：由两直线平行则斜率相等且在y轴上的截距不相等求解.解答：_ 2解：4 二 / .二1 ：若两直线平行 则有k1=k2,2m2= - 7,无解，两直线相交故选C.点评：本题主要考查两直线的位置关系.直线x+a2y+6=0和（a-2） x+3ay+2a=0无公共点，贝U a的值是（）30- 10 或 T考点：两条直线平行的判定专题：分类讨论.分析：首先讨论a是否为0,然后由两直线平行的条件解之.解答：解：当a=0时，两直线方程分别为 x+6=0和x=0 ,显然无公共点;当a加时，史产弯

6、金卷，解得a= - 1.所以a=0或-1.故选D.点评：本题考查两直线平行的条件及分类讨论的方法. (2010?上海)已知直线 11： (k-3) x+ (5-k) y+1=0 与 12： 2 (k-3) x-2y+3=0 垂直,则K的值是()A . 1 或 3B. 1 或 5C. 1 或 4D. 1 或 2考点：两条直线垂直的判定.-分析：由两直线ax+by+c=0与mx+ny+d=0垂直？ am+bn=0解得即可.解答：解：由题意得2 (k-3) 2- 2 (5-k) =0,整理得 k2 - 5k+4=0 ,解得k=1或k=4.故选C.点评：本题考查两直线垂直的条件.已知b0,直线(b2+

7、1) x+ay+2=O与直线x- b2y - 1=O互相垂直，则 ab的最小值等于( ) LA. 1B. 2C. 2近D, 23考点：两条直线垂直的判定.一专题：计算题.分析：由题意可知直线的斜率存在，利用直线的垂直关系，求出a, b关系，然后求出ab的最小值.解答：解：b0,两条直线的斜率存在，因为直线(b2+1) x+ay+2=O与直线x b2y 1=O互相垂直，所以(b2+1) - ab2=0, ab=b, 或故选B点评：本题考查两条直线垂直的判定，考查计算推理能力，是基础题.直线xsin a+ycos a+1=0与xcos a- ysin a+2=0直线的位置关系是D.视a的取值而定A

8、.平行B.相交但不垂直C.相交垂直考点：两条直线垂直的判定.-专题：计算题；分类讨论.分析：当这两条直线中有一条斜率不存在时，检验他们的位置关系式垂直关系.当它们的斜率都存在时，求出他们的斜率，发现斜率之积等于-1,两条直线垂直.解答：解：当cos 9=0或sin 9=0时，这两条直线中，有一条斜率为0,另一条斜率不存在，两条直线垂直.当cos。和sin。都不等于0时，这两条直线的斜率分别为 :L和-tan。，显然，斜率之tan积等于-1,故两直线垂直.综上，两条直线一定是垂直的关系，故选C.点评：本题考查两条直线垂直的条彳是斜率之积等于-1,或者它们的斜率中一个等于0,而另一个不存在.体现了

9、分类讨论的数学思想. (2007?四川)如图，11、12、13是同一平面内的三条平行直线，11与12间的距离是1, 12与13间的距离是2,正三角形ABC的三顶点分别在11、12、13上，则4ABC的边长是()考点：两条平行直线间的距离.专题：压轴题.分析：由题意可知，正三角形 ABC的三顶点分别在11、12、13上，说明三边长度相等，需要 用解析法来解，即建立适当的直角坐标系，设点的坐标，利用边长相等来逐一验证即 可得到正确答案.解答：解：过点C作12的垂线14,以12、14为x轴、y轴建立平面直角坐标系.设 A (a, 1)、B (b, 0)、C (0, - 2),由 AB=BC=AC 知

10、(a b) 2+1=b2+4=a2+9=边长 2,检验 A : (ab) 2+1=b2+4=a2+9=12 ,无解；检3B B: (a-b) 2+1=b2+4=a2+9=-,无解；检3D D： (a- b) 2+1=b2+4=a2+9=1 正确.3故选D.点评：本题是把关题.在基础中考能力，在综合中、在应用中、在新型题中考能力全占全了.是一道精彩的好题.区分度较小.已知点A ( - 1 , - 2), B (2, 3),若直线l: x+y-c=0与线段AB有公共点，则直线l在y轴上的截距的取值范围是()A . 3, 5B. -5, 3C. 3, 5D. -5, - 3考点：两条直线的交点坐标.

11、8-专题：计算题.分析：确定直线在y轴上的截距，说明直线是平行直线系，代入A、B坐标，求出c的值，即可得到选项.解答：解：直线l在y轴上的截距是c,点A ( - 1, - 2), B (2, 3),若直线l: x+y - c=0 与线段AB有公共点，直线是平行线系，代入A、B两点，可得 c= - 3, c=5,所以-3ckAB即可，又kAB=1所以k 1故选C点评：也可以这样解：交点位于第一象限，就是横坐标和纵坐标同时大于0,进而求实数k的取值范围.13.已知点 M (2, -3), N (-3, - 2),直线l： y=ax-a+1与线段 MN相交，则实数 a的取值范围是()考点：两条直线的

12、交点坐标专题：计算题；直线与圆.分析：直线l: y=ax-a+1与线段MN相交，可得 M, N在ax- y-a+1=0的两侧，或在 ax -y- a+1=0上，由此可求实数 a的取值范围.解答：解：:直线l: y=ax-a+1与线段MN相交，M , N 在 ax- ya+1=0 的两侧，或在 axya+1=0 上M (2, - 3) , N (-3, - 2), (2a+3-a+1) (- 3a+2-a+1)磷 ( a+4) ( 4a+3)4aW或 a- 44故选A .点评：本题考查直线与线段的位置关系，考查学生的计算能力，属于基础题.二.填空题(共10小题)(2007?上海模拟)若直线 11

13、： ax+2y+6=0 与直线 12: x+ (a- 1) y+ (a2-1) =0 平行且不重合，则a的值是 -1考点：两条直线平行的判定.811365分析:已知两条直线：l1：A1x+B1y+C1=0 与 A2x+B2y+C2=0.l1 / 12?，- A2B1-0AC? - A2C1 #0根据直线11： ax+2y+6=0与直线12： x+ (a- 1) y+ (a2T) =0的方程，代入构造方 程即可得到答案.解答:解：若直线 11： ax+2y+6=0 与直线 12： x+ (a-1) y+ (s2-1) =0 平行 贝U a (a 1) 2=0,即 a2 - a- 2=0解得：a=

14、2,或a=- 1又 = a=2 时，11 ： x+y+3=0 与 12： x+y+3=0 重合故 a= - 1故答案为：-1 点评:两条直线：11： A1x+B1y+C1=0 与 12： A2x+B2y+C2=0. 11/ 12?(2008?上海)已知 A (1, 2) , B (3, 4),直线 11： x=0, 12： y=0 和 13： x+3y1=0、设Pi是1i (i=1, 2, 3)上与A、B两点距离平万和最小的点，则4P1P2P3的面积是4考点：点到直线的距离公式.5专题：计算题；综合题；压轴题；函数思想；方程思想.分析：设出P1, P2, P3,求出P1到A, B两点的距离和最

15、小时， P1坐标，求出P2, P3的坐 标，然后再解三角形的面积即可.解答：解：设 P1 (0, b), P2 (a, 0), P3 (x0, y0)由题设点P1到A, B两点的距离和为dT#+q-b) 2 + ?+ (2-b)勺=3)显然当b=3即P1 (0, 3)时，点P1至ij A, B两点的距离和最小同理 P2 (2, 0), P3 (1, 0),所以 SApLp2P3=4xp2P3Xk故答案为：二点评:本题考查得到直线的距离公式，函数的最值，考查函数与方程的思想，是中档题.（2011?惠州一模）已知直线 3x+4y-3=0与直线6x+my+14=0平行，则它们之间的距离 是 2 .考

16、点：两条平行直线间的距离.专题：计算题.分析：先把两平行线方程中一次项的系数化为相同的，利用两平行线间的距离公式进行运算.解答：解：直线3x+4y - 3=0即6x+8y6=0,它直线6x+my+14=0平行，m=8,则它们 之间的距离是|C - c2 |_| - 5 - 14|d= j =-2 ）Va+b2 一 2十-故答案为：2.点评：本题考查两平行线间的距离公式的应用，注意需使两平行线方程中一次项的系数相 同.（2007?静安区一模）（理）点A （1, 1）到直线xcos 0+ysin 0- 2-0的距离的最大值是24-V2_考点：点到直线的距离公式；同角三角函数间的基本关系；两角和与差

17、的正弦函数；正弦函数的定义域和值域.8 5专题：计算题.分析：先由点到直线的距离求得距离模型，再由三角函数的辅助角公式及三角函数的性质求得最值.解答：解：由点到直线的距离公式可得，d=l ：一二山. 一芳1 = 1而1口一2|42+正vcos2 0 + sin2 9，故答案为：2+及点评：本题主要考查了点到直线的距离公式及三角辅助角公式及三角函数的性质的综合应用，考查了建模和解模的能力.（2013?海淀区二模）直线11过点（-2, 0）且倾斜角为30,直线12过点（2, 0）且与 直线11垂直，则直线11与直线12的交点坐标为 _遥） 考点：两条直线的交点坐标.一专题：直线与圆.分析：用点斜式

18、求出两条直线的方程， 再联立方程组，解方程组求得直线11与直线12的交点 坐标.解答：.一一一 ；解：由题意可得直线11的斜率等于tan30-Y，由点斜式求得它的方程为(x+2),即 V3x - 3y+2-x/3=0 .一 1直线12过的斜率等于 :百二-正，由点斜式求得它的方程为 y - 0= -43 (x-2),即 Vj5x+y - 23=0.由卜，%入，另二u,解得二1故直线与直线12的交点坐标为 2Vs=c I vWi一故答案为a,再).点评：本题主要考查用点斜式求直线的方程，两条直线垂直的性质，求两条直线的交点坐标， 属于基础题.mx - y+3=0(2013?宝山区二模)若关于 x

19、、y的二元一次方程组,、有唯一(2d-1) x+y- 0组解，则实数 m的取值范围是沪士考点：两条直线的交点坐标.一专题：数形结合.分析： 人 、工/ 面量3=0/八人、工口 ,把给出的二元一次方程组,中的两个方程看作两条直线，化为I(2m-1) s+y- 4=0斜截式，由斜率不等即可解得答案.解答：丘 八、工口/ 止根叶3二0人、工口、工口/ 解：二元一次方程组的两个方程对应两条直线，方程组的解(2m - 1) s+y - 4= 0就是两直线的交点，由mx - y+3=0 ,得y=mx+3 ,此直线的斜率为 m.由(2m 1) x+y 4=0 ,得 y= ( 2m 1) x+4 .,、m-

20、yH-3=0- “，-若二元一次方程组有唯一一组解，(国- 1) x+y-4=0则两直线的斜率不等，即 m月-2m,所以m沪故答案为.点评：本题考查了二元一次方程组的解法，考查了数形结合的解题思想，二元一次方程组的 解实质是两个方程对应的直线的交点的坐标，是基础题.(2010?广东模拟)已知点A (1, - 1),点B (3, 5),点P是直线y=x上动点,当|PA|+|PB| 的值最小时，点 P的坐标是(2, 2).考点两条直线的交点坐标.计算题.分析:解答:根据图形可知，当 P运动到直线y=x与直线AB的交点Q时，|PA|+|PB|的值最小时， 所以利用A和B的坐标求出直线 AB的方程，与

21、y=x联立即可求出交点的坐标即为 的坐标.解：连接AB与直线y=x交于点Q,则当P点移动到Q点位置时，|PA|+|PB|的值最小. 5 - C - 11直线 AB 的万程为 y 5=- （x - 3）,即 3x - y - 4=0.3-1解方程组:1支工P的坐标为（2, 2）.于是当|PA|+|PB|的值最小时，点 故答案为：（2, 2）点评:此题考查学生会根据两点坐标写出直线的方程，会求两直线的交点坐标，是一道中档经过两直线 11x+3y 7=0 和 12x+y 19=0 的交点，且与 A (3, -2), B (- 1, 6)等 距离的直线的方程是7x+y - 9=0或2x+y+1=0.考

22、点：过两条直线交点的直线系方程.一分析：直接求两直线的交点，与 A （3, -2）, B （- 1, 6）等距离的直线，一条过 AB的中 点，一条平行AB.解答：解：两直线11x+3y-7=0和12x+y - 19=0的交点坐标是（2, - 5）, AB的中点（1 ,2）,所求方程是7x+y - 9=0 ;AB的斜率是-2,所以所求方程是 2x+y+1=0 .故所求直线方程是 7x+y - 9=0或2x+y+1=0 .故答案为：7x+y - 9=0 或 2x+y+1=0 .点评：本题考查直线交点，直线的平行等知识，还可以用直线系方程求解，是基础题.已知0vkv 4,直线11： kx - 2y-

23、 2k+8=0和直线l: 2x+k2y 4k24=0与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的k值为:6考点：过两条直线交点的直线系方程；方程组解的个数与两直线的位置关系. 专题：数形结合；转化思想.分析：先求出两直线经过的定点坐标，再求出直线与x轴的交点，与y轴的交点，得到所求的四边形，利用四边形的面积等于三角形ABD的面积和梯形 OCBD的面积之和，再应用二次函数的性质求出面积最小时的k值.解答：解：如图所示：直线 li: kx - 2y - 2k+8=0 即 k (x-2) - 2y+8=0 ,过定点 B (2, 4),与y轴的交点C (0, 4- k),直线 l: 2x+k2

24、y-4k2-4=0,即 2x-4+k2 (y-4) =0,过定点(2, 4 ),与x轴的交点 A (2 k2+2, 0), 由题意知，四边形的面积等于三角形 ABD的面积和梯形 OCBD的面积之和，故所求 四边形的面积为MX (2 k2+2 - 2) +(4一=4k2-k+8,，k时，所求四边形的面积最小，228故答案为1.点评：本题考查直线过定点问题，二次函数的性质得应用，体现了转化及数形结合的数学思想.23.在平面直角坐标系中，若符合点A (1, 2), B (m- 1)到直线l的距离分别为1, 2的直线有且仅有2条，则实数 m的取值范围是(1 - 212 , 1+2/2)_.考点：两条直

25、线的交点坐标专题：计算题；直线与圆.分析：由A (1, 2) , B (m, 1)到直线l的距离分别为1, 2的直线有且仅有2条，知|AB|二J (m- 1 )。(1- 2 ) .2+1 ,由此能求出实数 m的取值范围.解答：B： -.-A (1, 2), B (m, 1)到直线l的距离分别为1, 2的直线有且仅有2条， 如图： IABI=V g )22+1,- 22D ,先求出AB 的中点D的坐标，由点到直线的距离公式求出点 D到直线CP的距离，从而得到c的 值，再把P （口，j）代入直线CP的方程，求出m的值.解答:解：由已知可得直线 CP/ AB ,设CP的方程为尸-Ccl) A （行，

26、0）, B （0, 1）,，AB 的中点 D （竺 1） 2 1 .ABC是等边三角形，CD=/3,点D到直线CP的距离d= 广甘口鼠y=- -s+3CP过P (m, j ,点评：本题考查两条直线的位置关系、等边三角形的性质和点到直线的距离公式.解题时要认真审题，仔细解答.已知两平行直线 ？1: ax-by+4=0与？2： (a-1) x+y - 2=0.且坐标原点到这两条直线 的距离相等.求 a, b的值.考点：两条直线平行的判定；点到直线的距离公式.85专题：计算题；转化思想.分析：由题意知，？1, ?2在y轴上的截距互为相反数，由此求出b值，再由？1/?2,且？1,?2斜率存在，故他们的

27、斜率相等，可求出 a.解答：解：坐标原点到这两条直线的距离相等且？1/&,. 4_？2在y轴上的截距互为相反数即-=-2,b=-2,b即有？1 ： ax+2y+4=0 与？2： (a 1) x+y - 2=0 .由？1/a,且？1, ？2斜率存在.一生一(亘一 1),解之得a=2综上：a=2, b= - 2.点评：本题考查两条直线平行的判定，关键是把原点到这两条直线的距离相等转化为：？1,？2在y轴上的截距互为相反数， 体现了转化的数学思想.已知直线11的方程为3x+4y-12=0.(1)若直线12与11平行，且过点(-1, 3),求直线12的方程；(2)若直线12与11垂直，且12与两坐标轴

28、围成的三角形面积为4,求直线12的方程.考点：两条直线垂直的判定；直线的一般式方程.一分析：利用平行直线系方程特点设出方程，结合条件，用待定系数法求出待定系数.解答：解：(1)由直线12与11平行，可设12的方程为3x+4y+m=0 ,以x= - 1, y=3代入，得3+12+m=0 ,即得 m= -9,直线12的方程为3x+4y - 9=0.(2)由直线12与11垂直，可设12的方程为4x - 3y+n=0 ,令 y=0,得 x=,令 x=0 ,得 y=,43故三角形面积 S=i？|-三|？卢|二424号:得 n2=96,即 n= ：4/直线 12 的方程是 4x-3y+4 我=0 或 4x

29、-3y-4a=0.点评：待定系数法求直线方程. (2010？泉州模拟)在同一平面内，边长为2的等边 ABC的两个顶点B、C分别再两条平行直线11, 12上，另一个顶点 A在直线11、12之间，AB与11的夹角为2 0o 9 60.当9=45。时，求点A到直线11的距离；(II)若点A到直线11、12的距离分别为di、d2,记d1?d2=f (),求f (。)的取值范围.考点：点到直线的距离公式；正弦函数的定义域和值域.专题:分析:计算题；综合题.(I)过点A作直线11的垂线，垂足为 M ,然后解三角形，求点 A到直线11的距离;(II)过点A作直线12的垂线，垂足为 N,点A到直线11、12的

30、距离分别为d1、d2,d1、d2,和d1?d2=f (。)，然后求f (。)的取值范围.解答:解：(I)过点A作直线11的垂线，垂足为在 RtAABM 中，sin45 =JML,2 . |AM|=2sin45 =2即：点A到直线11的距离为(II)过点A作直线12的垂线，垂足为N,.AB与12的夹角为以. AC与12的夹角为60 - 0,在 RtAABM , d1=AM=2sin 0在 RtAACN , d2=AN=2sin (60 - 0)d1?d2一4sin (60 0) sin 0A-sin H )sin 0(2 卅30 ) 10 9 60. 3029+30 150 sin (2 卅30

31、 )24,，did2c (0, 1点评:正弦函数的定义域和值域，考查学生的计算能力，是中档.如图，已知四边形 OABC是矩形，O是坐标原点，O、A、B、C按逆时针排列，A的 坐标是乐 1), |AB|=4 .(I ) 求点C的坐标；(n)求bc所在直线的方程.考点：两点间的距离公式；平行向量与共线向量；直线的一般式方程.专题：计算题；直线与圆.分析：(I)求出OC所在想的斜率，推出OC的直线方程，利用|OC|的距离，求点C的坐 标；(n)求出BC所在直线的斜率，利用点斜式求BC所在直线的方程.解答：解：(I) 因为四边形OABC是矩形，OA所在直线的斜率为：KOA等,所以OC的斜率为：-V5,

32、 OC所在直线方程为：y=-h/lx,因为 |OC|=|AB|=4 ,设点 C 的坐标(x, &jx), |OC|=yj+曲 Q 尺2| 工 |二4，解得x=2 (舍)或x=-2;所以所求C的坐标(-2, 2”).(II)因为 OA/BC,所以BC所在直线的斜率为 穿，又C (-2, 2/3),所以BC所在直线白方程：y - 2-/3=y (x+2).即BC所在直线的方程：x-V3y+8=0 .点评：本题考查直线方程的求法，两点间距离公式的应用，点斜式方程的应用，考查计算能力.如图，已知长方形 ABCD的两条对角线的交点为 E (1, 0),且AB与BC所在的直线 方程分别为：x+3y - 5=0与ax - y+5=0 .(1)求a的值；(2)求DA所在的直线方程.考点：点到直线的