2021-2022学年高二物理竞赛课件：箱归一化_第1页
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1、箱归一化 平面波的“归一化”问题, 还可以采用数学上传统的做法 即先让粒子局限于有限空间 中运动 (最 后才让 ). 动量本征态为 在周期条件下箱归一化 此时, 为了保证动量算符 为厄米算符,就要求波函数满足周期性边条件. 同样, 不能归一化的坐标本征态也可类似处理.因此, 若取动量本征态为则 这样,就用 函数的形式把平面波的“归一化”表示出来了.由周期条件, 得(粒子波长 即 ). 即 或 所以 或可以看出 动量的可能取值 就是不连续的.只要此时, 与 相应的动量本征态取为利用正交归一化条件利用这一组正交归一完备的函数 ,可以构成如下 函数: 现在让即动量的可能取值趋于连续变化. 于是此时,

2、 可以把 , 而或在处理具体问题时,如要避免计算过程中出现的平面波“归一化”困难, 则可以用箱归一化波函数 代替不能归一化的 . 在计算的最后结果才让 .正交完备的归一化波函数为 结论则 函数可如下构成:三维情况 上式表明, 相空间一个体积元 相当于有一个量子态.而最后, 当 时 将连续变化利用 的幺正性，并注意 ( ?), 得所以 式称为Heisenberg方程，它描述算符 随时间的变化.9 在Schrdinger图像中，态矢随时间演化，遵守Schrdinger方程 , 而算符则不随时间变化，因此力学量完全集的共同本征态（作为一个表象的完备基）也不随时间变化，因而任何一个力学量（不显含t）在

3、这组基矢之间的矩阵元 也不随时间变化.但态矢在这些基矢方向的投影是随时间变化的.总结 与此相反, 在Heisenberg图像中, 则让体系的态矢本身不随时间变化 , 而算符却随时间变化,遵守Heisenberg方程. 因此, 力学量完全集的共同本征态(作为表象的一组完备基) 是随时间变化的.任何一个力学量在这一组基矢之间的矩阵元一般也是随时间变化的 . P 84页例题10 当然,任何真实的波函数都不会是严格的平面波, 而是某种形式的波包. 它只在空间某有限区域不为零. 如果此波包的广延比所讨论的问题中的特征长度大得多, 而粒子在此空间区域中各点的概率密度变化极微, 则不妨用平面波来近似描述其状态.是不能归一化的.在上例中,连续谱的本征函数是不能归一化的. 可以引用数学上的Dirac的 为方便地处理连续谱本征函数的“归一化”, 我们 函数. 函数的定义由Fourier积分公式,

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