一维线性谐振子

1、一维线性谐振孑势能为U（X）= !的2*2能量本征值=( + 2)甲( = 0,1,2,A)能量本征函数H=LV = N e* H (a x), n nn(&) = (1)齿e-滨，ndnH =4&2-2, H =8&3-12& , 232&,(N =)11 y 2nnlyfR TOC o 1-5 h z mco ci =,h递推公式H &)-2&H)+ 2湘 &) = 0n n+1nn-1H (ax)-2ocxH (ax) + 2nH (ax) = 0 n+1nn-1求导公式气=2nH (&) n 虬*心二2mH (ax) djn-ldxT2.1利用Hermite多项式的递推公式，证明谐振子

2、波函数满足下1x 2W n (x)二列递推关系：W(x)=-、 (x)+ pJ1v (x) n a V 2 n tV 2 n+1(n 1W(x) + (2n + 1W (x) + (n + 1)(n + 2)W(x)冲n2n*n+2E并由此证明，在w态下，x = 0，矿二三。证：利用 H (ax) 2axH (ax) + 2nH (ax) = 0=N e-2a2x2 - xH (a x) = _L N e一号-2a xH (a x)nn2a nnN 冬 =e 22a(a x) + H (a x)2 nH_a 2 x21-e- 2 nH (a x)+ _a 2 x 2_ -e 2.H 1(a x

3、)1a; a4 TTI e 2 H亦.2 n1 . (n 1)!(a x)1 !(n +1) I a 2a_a 2 x2声.2n+1(n +1)!e 2 Hn+1(以x)1:nn +1=a J 2W n1( x) + (苗Wn+1( x)x2W (x) = 1nn +1xw (x) + .： 2 . xw2n-12nn 1/、T-W n2( x) +(x) n+1缸+n +1 rw (x) + J、w (x) 2 nn +n + 22n+2x -寸*xwdx - j w* -8 nn an2Wdx 0,V- j8w* -1 m32x2 叩 dx- j8w* -m32 -8 n 2n 8 n 2

4、2(2n + 1W dx/ _ 1*1 e(n + )hL(n + )hn.LLLL 或者哀_2-22m32.2利用Hermite多项式的求导公式，证明谐振子波函数满足下一 dn列关系：Wn a J 2Wn-Z 一n +1(、T-W n+1( x)d2 a2衣W n(x) % I：n(n 1W(x) - (2n + 1W (x) + .J(n + 1)(n + 2)w(x)n2nn+2证明：Hermite多项式的求导公式dH履)2nH (&) n 虬(a x) 2na H (a x)， d &n1dxn1所以* - N (-a2x)e- dx n a 2 xw (x)+；2naw (x)a 2

5、x2a 2 x2T H (a x) + e-T 2na H (a x)nn1nn1Wn1( x) +2n+1n +1w (x) +以 j2n (x)n1-dLw (x) a dx 2 nn a a2n +1TW n+1( x)n /、2W n1( x)n dwnL a dxn +1 dw n+12n2aa 21-一 一 一、 一一1Jn(n - 1)w- (2n + 1)w + J(n + 1)(n + 2)wP = j W*(-ihd)W n dx ndx =(一ihJw * 以即-n V 2 n t 丫 2dx = 0n+1T =栏=-住j2m 2mh 2以2=Jw * 2m n 2d2W

6、* 弓 W dx_ 八.h2 以 2八 1,1、， E(2n + 1)W dx =(2n +1) = 一 (n + 一) h=_n TOC o 1-5 h z 4m222-X2(n + 2)m(n + 2)mh2 = 2 - P 22.3计算一维谐振子A/Ax = (X - x)2A/AP = (P PV HYPERLINK l bookmark53 o Current Document 1hAx A p = (n + _) h，对于基态，Ax A p =-。2.4 一维谐振子处在基态W (x)=以 2 x2 i2a =e1V = J W * _ m 2 x 2-8 0 2=一 h = _ .

7、L42W dx = j8W* 1 m2 0-8 0 2L或者哀=h2md2W* 弓 W dxECL2 TOC o 1-5 h z T = P - 2m2mh 2 以 21 1= h = 4m4（二）1_ 1 a1)U = 2 岬 2 x 2 = 2 岬 2 J x 2e -02 x2 dxa 小1 加= .32= - 2寸冗 22a 2 a二1岬2上=1岬2 .卫22a 24 岬1=4职f 2ne-M =空MI；Z02 n+1 anap 21 E ,、，、，T =广寸 *(x) p 2W (x)dx2旦 2旦_8臭上 J 3 e - 1a2x2 (-平 土)e -2a2x2 dxW 2p -3

8、dx2_La2J3 (1 -a2x2)e-a2x2dx .E 2 P -3旧 a 2 J3 e -a2 x2 dx-a 2 J3 x 2 e -a2 x2 dx 郭2 p-3-3a r2扣兀a2-a2.捉2 pa2a互2a 3甲 pp.4p r由 k 111T = E - U = rp-彳 rp =彳 rpc(p) = J W * (xW (x)dxp=_J3 旦e-2a2x2eJ；PxdxMr -3_1： a 3-1 a2x2 -Px i.-Je 2 e r dx、/2r ： t无-3习 e - t，土)2 -旃d r 2丸门、v冗一8=二旦-翥卜 e-2。2(，+葺)2dx%2丸门冗一8=

9、 工：乌e-慕重.页=：二e-右 *2冗门 丸a a.K动量几率分布函数为0(p) = c(p) 2 =1 ea2n2以门寸无2.5求一维谐振子处在激发态时几率最大的位置。a 1 2 2 解.V (x) = ： - 2axe-2a x弋2、冗几率密度o2 -2a 3-X 2 e -a 2 X 2如1(x)= 251 2 x - 2a 2 x 3 e -a 2 x 2dx .亦A = 0一得dx1x = +x = 8ai(x)的表达式可知，x = 0，x = 8时，0 (x) = 0。显然 不是最大几率的位置。而 d 气=兰(2一6a2x2)一2a2x(2x-2a2x3)e-a2x2dx 2 折

10、4a 3 r(1 一 5a 2x2 - 2a 4工4 )e -a 2 x 2d 23 (x)2 4a 3 1 w的可能值为-2k hkh动能鼻的可能值为2 口2k 2 h 22k 2 h 2k 2 h 2k 2 h 22日 2rA2 一） 2 叮 16A 2 A 2 A 2A 2对应的几率o应为（-n 416161611111、“或（一） A2兀门28888。上述的A为归一化常数，可由归一化条件，得z o =（生 + 4 X A2） 2兀 h = A2 2兀 h = 1 n 4162nA = 1/%5.动量p的平均值为A 2 2叫=0A 2A 2A 2=0 + 2kx . 2叫2kx . 2叫

11、 + kx . 2叫一kx 16161616 P2 y P 2、T = = y o2旦2旦nn=0+2k 2 平x 2+k 邛2 x 1 x 2xx x日 82日85k 2平.在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为厂 如果粒子的状态由波函数w (X) = Ax(a - x)描写，A为归一化常数，求粒子的几率分布和能量的平均值。解：先把w (x)归一化，由归一化条件，1 = w (x)|2dx = fa A2x2(a - x)dx = A2fax2(a2 - 2ax + x2)dx=A2fa(a2x2 一2ax3 + x4)dx0a5 a5 a5a5=A2( 一 +) = A2 一2530.

12、领 . A ：a 5v (x) = Ex (a - x)一维无限深势阱中运动的粒子，能量的本征函数和本征值为I兀,、 I sinx,L L L 0 x aV (x) = a aI 0,L L L L L L L x 0, xa(n = 1,2,3, A )n 2 兀 2 h 2E =n 2 p a 2将V (x)按一维无限深势阱中粒子能量的本征函数V (x)展开，V(x) = z Cv (x)nx(a 一 x)dxC =v*(x)V(x)dx =a 己sin竺x- n -8 n0 V a a a5 TOC o 1-5 h z = 2、 j a sin L x - x(a - x)dx a30

13、a=2 v 15a ja x sin 竺 xdx - Jax 2 sin 竺 xdx 215a2n冗a3 . n冗an冗-x cosx +sinx +x 2 cosxa 3n 冗an 2冗 2anna2a2. nn2a3nn _a一x sinx 一cosx n 2n 2an 3n 3a0n 3n 3=i：151 - (-1)n 所以动量的几率分布函数为(E ) = Cn，240 M2 =1 - (-1)n 2n 6冗6960 ,n = 1, 3, 5, Ln = 2, 4, 6, LE =甲(x) Hw (x x)dx = jaw (x) Ew (x x)dxf02 g=M 30 x (x -

14、 a) .-里空 x (x - a )dx 0 a 52 口 dx 2=些外(x - a四=30(竺-竺) ga 5 0ga 5 23_ 5甲g a 2.在势阱宽度为a的一维无限深势阱中运动的粒子，如果粒子的状态由波函数w U) = gsin 1X C0S21 xi1 aaa描写，求粒子能量的可能值和相应的几率。解：一维无限深势阱中运动的粒子，能量的本征函数和本征值为Z . n1【Sinx,L L L 0 x a a a0,L L L L L L L x 0,0,当x v 0其中人0，求：(1)粒子动量的几率分布函数;(2)粒子的平均动量。解：(1)先求归一化常数，由A22 dx = J A2

15、x2e-2Xxdx =0A 2 4X 3A = 2人 3/2(x 0)(x v 0)1将W(x)按自由粒子动量的本征函数Wp(x)= 商亏eik展开，W (x) = J S c (p )W (x )dp p-SLc(p) = JS W* (x)W(x)dx =JS e-ikx - 2X2xe-xxdx-S p0 x/2k hr2X3、1=( )2 JS xe - (X+ik) xdx =兀h 0r 2X 3vv 兀 h J (X + ik)121(XZ h 应用公式：J e-xxn-1 dx = r(n) = (n -1)(n -1)动量几率分布函数为 TOC o 1-5 h z 2X 312X3 甲1(P