高等代数与空间解析几何大纲

1、高等代数与空间解析几何课程教学大纲课程名称：高等代数与空间解析几何课程代码：学分/学时：10学分/ 160学时适用专业：数学专业先修课程：开课单位：理学院数学系一、课程性质和教学目标（需明确各教学环节对人才培养目标的贡献）（一）本课程的性质、地位和作用高等代数与空间解析几何是数学系两门最重要的专业基础课之一，其主 要内容有多项式理论与线性代数两部分。本课程的教学目的是使学生初步掌握基 本的、系统的代数知识和抽象的严格的代数方法，为后继课程如近世代数、常微 分方程、概率论与数理统计、泛函分析、拓扑学、代数几何、计算方法等提供必 须具备的代数知识，也为进一步学习数学的各门课程所需要的抽象思维能力提

2、供 一定的训练。高等代数与空间解析几何课程是中学代数的继续和提高。通过 本课程的教学，要使学生对中学代数的理解得到实质性的提高和升华。本课程在教学中要求学生确切理解高等代数与空间解析几何中的基本概 念，不仅要正确掌握这些概念的内涵，还要了解这些概念的实际背景与对将来各 课程的应用前景和对人类文明的推动作用。对于一些基本的重要概念，还要求了 解它们产生与发展的过程及概念推广的原则；与中学代数有直接联系或者平行的 概念，要求学生能与中学数学中相应概念加以比较，并以新的高级观点理解、认 识已有的概念和知识体系。对于高等代数与空间解析几何的基本理论，要求 学生理解基本理论的结果，掌握典型定理的论证方法

3、或思想，同时要求学生能了 解严谨的理论体系，体会建立这种体系的抽象的代数方法。通过本课程的教学， 要求学生能显著地提高应用基本概念、基本理论作抽象论证的能力；熟练地掌握 基本的论证方法与基本的计算方法，特别要掌握基本的线性代数计算法。（二）本大纲制订的依据根据我校建设世界一流大学的宏伟蓝图，数学系的目标应当是培养“科学大 师”。本大纲即是以此标准而制定，较原有大纲在教学内容上有了大幅度扩充和 加深，对学生的能力要求也有较大提高。（三）大纲内容选编原则与要求鉴于我校尚无符合要求的自己的教材，以往的大纲往往以与北京大学数 学系几何与代数教研室代数小组编高等代数（高等教育出版社第三版）为蓝本制定，授

4、课教师爷往往以自己的偏好选择讲授内容，具有较大随意性。为了避免教学上的难点过于集中，个别定理（如Jordan标准型）的掌握可 以侧重于定理的结果和证明定理的方法，以达到掌握基本的代数方法的目的。每一章的重点内容要重点讲解，在讲清概念的基础上，通过适当的练习（课堂讨论、作业、习题课、自学课外资料、大作业、问题探讨）以达到掌握高 等代数中常用的计算方法、基本运算中的技能和技巧以及提高综合计算和解决问 题的能力的目的。难点要逐步引入，分散讲解。本大纲列入部分带“”的内容，供选用，不计算入总课时。本课程各教学环节对人才培养目标的贡献见下表。知识能力素质要求各教学环节的贝献度课堂讲 授课堂 讨论自学小组

5、大作 业作业考试课堂整体贝献度知 识知识体系理解一兀多项式，掌握矩阵与线性方程组、线性 空间与内积空间、矩阵与线性变换的基本理论V VV能力清晰思考和用语言文字准确表达的能力JJJVVV VVV VVV VVVVVV发现、分析和解决问题的 能力JJJVVVVVVV VVVVVV批判性思考和创造性工作 的能力JJV VVVVV VVV VVVVVV与不同类型的人合作共事 的能力VVVVVV至少一种外语的应用能力VVV终生学习的能力VVVVVVVVV组织管理能力VVVV获取整理信息的能力*VVV VVV VVV VVVVVV素质志存高远、意志坚强VVVVVVVV刻苦务实、精勤进取VVVVVVVVV

6、VVVVV身心和谐、视野开阔VVVVVVVVVVV思维敏捷、乐于创新VVVVVV VVVVVVVV二、课程教学内容及学时分配（含习题课、作业、讨论等的内容及要求）教学内容学时课堂 教学讨论作业及要求自学及要 求团组大作业及要 求第一章多项式数域、一元多项式、 带余除法、最大公因 式、多项式的根、代24 学 时18学 时一元 多项 式与 整数 的关 系每堂课均布 置课后作业 或自学内容； 一周后请若 干完成作业 优秀的同学 上台讲解，师 生共同点评将一元多 项式的除 法推广到 二元多项 式（查阅 相关文 献）并总结研究一元多项式 的除法如何推广 到多元多项式（查 阅相关文献）并总 结数基本定理、

7、实数域 和有理数域上的多项 式、多元多项式第一章行列式矩阵、行列式及性质、Cramer 法贝010学 时8学 时行列 式不 同定 义之 比较布置课后作 业查阅资 料，了解 排列、置 换与置换 群等第三章矩阵矩阵的运算、可逆矩 阵、矩阵的秩、矩阵 的初等变换与初等矩 阵、分块矩阵、矩阵 与线性方程组16学 时12学 时运算 的本 质是 什 么？布置课后作 业第四章线性空间 向量及其线性运算、 线性空间的定义、线 性相关与线性无关、 秩、维数与基、线性 方程组的解、坐标与 基变换、子空间与商 空间、子空间的和与 直和、线性空间的同 同态与同构28学 时22学 时线性 空间 的定 义的 若干 问题；

8、数学 的抽 象性布置课后作 业线性空间在现代科技的例子是否有必要拓展线性空间的定义？如何拓展？第五章线性变换 线性变换的定义、线 性变换的运算、线性 变换的矩阵、线性变 换的和核与像、特征 值与特征向量、特征 子空间、特征多项式 与最小多项式、可对 角化的线性变换、不 变子空间。30学 时24学 时线性 变换 在现 代科 技中 的例子布置课后作 业利用特征 值与特征 向量的理 论，研究 整数矩阵 方程X2=I 等；有何 启发？线性变换的微分学、Jacobi猜想第六章多项式矩阵 多项式矩阵及标准 型、矩阵相似的条件、 复方阵的Jordan标 准形12学 时10学 时布置课后作 业第七章欧氏空间

9、欧式空间的定义、标 准正交基、欧氏空间 的同构、共轭变换、 实正规变换、正交变 换、对称变换、酉空 间、复正规变换、酉 变换及Hermite变换、 向量积与混合积28学 时22学 时布置课后作 业第八章双线性函数 与实二次型对偶空间、双线性函 数、实二次型及标准 形、正定二次型、二 次型在分析中的应 用、二次型在解析几 何中的应用。26学 时20学 时布置课后作 业利用矩阵及整系 数二次型的理论， 研究四平方数定 理及CS的15定 理.第九章仿射几何与 射影几何仿射几何、基本仿射 性质、仿射同构、仿 射几何基本定理、射 影几何、射影几何的 基本关联定理、射影 同构、对偶、对偶几 何、射影二次型

10、30学 时24学 时几何 学与 代数 学的 关系布置课后作 业仿射几何与射影几何的历史三、教学方法以课堂教学为主，结合试题课、自学、数学作业。四、考核及成绩评定方式建议最终成绩由平时作业与课堂参与度、期中考试、考试成绩等部分组合而 成。各部分所占比例建议如下：平时作业和上课参与程度：30%。期中考试：30%期末考试40%五、教材及参考书目教材：蓝以中，高等代数简明教程（上、下），第二版，北京大学出版社，2010参考书目：姚慕生、吴泉水，高等代数学，复旦大学出版社；张贤科、许莆华，高等代数学，清华大学出版社，2004；许以超，线性代数与矩阵论，高等教育出版社，2008；龚升，线性代数五讲，科学出

11、版社，2005；孟道骥，高等代数与空间解析几何（第二版），科学出版社，2007。苏步青，高等几何讲义，上海科技出版社，1964；方德植、陈奕培，射影几何，高等教育出版社，1983；A N.柯斯特利金，代数学引论（第二版），高等教育出版社，2010；9 S K. Berberian, Linear algebra. Oxford, USA:Oxford Univ. Press,1992.W C. Bwown, A second course in linear algebra, New York: J. Wiley & Sons, 1988K W. Gruenberg, A J. Weir, Linear geometry （2d Edition）. New York: Springer-Verlag, 1997.D H. Griffel, Linear algebra and its applications, New York: Marcei Dekker, 1985.P.Lax, Linear algebra and its applications,2dEdition