滤波实验报告

1、信号采样与恢复过程中的混叠及其滤波创作：欧阳育时间：2021.02.04一、实验目的:理解连续时间信号的采样与恢复过程；掌握采样序列的频域分析和滤波，信号的恢复，掌握 Shannon采样定理；学会利用MATLAB软件分析信号采样、滤波与恢复的 过程。学会FIR滤波器的简单设计方法二、实验内容:给定原始信号如下式所示：/(/) = 1 + 0.5 sin 2 兀 Jt + 0.2 sin f2t其中，几人是信号原始频率(本实验中为自选常数，久为低频， 人为高频)。确定一个采样频率人对/进行采样，再将采样得 到的序列进行DFT,画出过程中各信号的图形。进行频域高、 低频滤波，再反变换得出处理后恢复

2、出来的信号。将实验过程 中得到的图形与理论图形进行比较，发现不同点并加以解释。三、实验过程:先选定fl二50hZ、170念，则原始信号表示为：1、原信号时域截取:因为在计算机中只能计算离散的点列，若要用MATLAB处 理图形，只能先对信号进行截取和采样。本实验选定矩形截取 窗口的宽度为原信号周期的m倍，m为正整数。所以画出截取 后的信号图像为图1截断后的信号图像原信号中低频为50H乙高频为70H乙取采样频率人为3倍 的即A = 3x70Hz = 210Hz50和70的最大公约数为10,所以原O信号的最小正周期为1/lOs,这里取m为3 (即取窗口函数的宽 度为3/10S),相应的采样点数2=1

3、40 x0.3 = 42,所以窗口函数为其图像如图2所示，其傅立叶变换图像如图3所示，其公式 如下：rsin().5r)g_2n(r) =图2窗函数其中r = 0.35图3窗函数傅里叶变换(CTFT)0.5d?r时域截取的过程就是原函数/在时域乘以口，而在频域r sin（05如严龙F（与飞茲厂做卷积运算后再乘以系数I”，而在实际 计算机仿真过程中，只要选好信号横坐标的范围就完成了截取 信号的过程，本实验中取信号横坐标为3）,截取后的CT信号 的傅里叶变换图像如图4所示，其图像在频域坐标轴上向正负无 穷延展。图4截取后的CT信号（0s，0.3$）的CTFT巧9）2、截断信号的时域采样截断后的信号

4、就可以在时域上进行采样，采样函数为 p（,nTS截断后的信号加）乘以郭所以在频域相当 于1/2眄与进行卷积，其得到的图像为周期的， 其图像与离散采样信号的DTFT形式相同。以上为CT信号的分析，对于离散信号，为了适应计算机的处 理方式，我们需要采用DFT和IDFT进行计算求解。采样后的离散 信号图像为下图所示图5采样后的信号对上述有限的离散信号求DTFT,可以得到其在频域的表现形 式，对离散角频率。取【6绚之间的629个样点，计算其DTFT, 并画出图像如下图6有限采样信号的DTFT频谱如果对上述频谱图进行采样，则相应的，离散采样信号将进 行周期延拓，如果在频域进行采样，并保证在一个主周期中，

5、 有N个采样点，则离散采样信号将以N为离散周期进行延拓。如 果令N = M=63,则其相当于原始周期信号的采样。利用DFT,我们可以完成这个过程，DFT公式为其类似于DTFS公式，特点是隐含周期性，就得到了离散的频 谱，其频谱与连续周期信号的频谱在形式上极为相似，只要保 证n = Nc,频谱赋值在数值上相同。其图像如下：图7离散信号的DFT离散频谱3、设计离散滤波器并进行滤波。目前，只进行了低通滤波。目标：滤除70Hz的高频成分，保留直流分量和50Hz的低 频成分。方法：采用窗函数法设计FIR滤波器。采用海明窗。具体步骤：G =2ttx 、取通带截止频率为人,取阻带起始频率为nv/=2xA o

6、A ,2 ，取阻带衰减不小于-50dbo、求理想滤波器的冲击响应。w(n) = 0.54 - 0.46cos(n)、选择窗函数本实验取海明窗N j、确定N值。海明窗带宽：in ,3 = 2皿-密)/2,所以求得N为35(5)、确定 FIR 滤波器的 hMh(n) = hdWw(n)(6)、求从川)经过计算，得到的滤波器的单位冲击响应和 滤波器的频谱图如下图所示图8滤波器单位冲击响应图9数字滤波器的频谱图下面进行滤波，把离散信号的DFT离散频谱函数和数字滤 波器的频谱函数对应相乘，进行了频域滤波。滤波后的离散频 谱如下图所示图10滤波后的离散频谱图利用IDFT进行反变换得到滤波后的离散信号，其图

7、像如下图11 IDFT后的离散信号4、离散信号变为连续信号(插值)(1)利用理想插值函数进行插值，其插值函数图像如下图12理想插值函数插值效果如下图所示图13原始信号复原图但是，上述插值在物理世界中，无法实现，因为它非 因果，且为无穷信号。与此同时，通过观察发现，在复 原图像的边缘误差较大，原因是因为所取的离散信号点 为有限个，所以存在误差，当在边界进行插值时，边界 另一边没有信号值，所以误差较大，当采样点为无穷个 时，理论上可以精确复原原图像，但这在现实生活中，无法实现。(2)阶线性插值，其插值函数图像如下图14 阶线性插值函数插值效果如下图所示图15原始信号复原图阶线性插值插值误差较大，但

8、基本反映出了图像的形 态，其在物理上可以实现。通过观察，上述复原图在边 缘出也存在较大误差，原因同上，同时因为插值函数具 有延时效果，所以复原信号在实间上有延迟，最直观就 是比理想复原图向后移动了一小段距离。5、参数调整 通过上面的实验，我对信号采样与复原过程有了一定的了解， 下面通过参数调整来加深理解。窗函数为整数倍周期，否则无法复原为原图像调整截断信号所用窗函数的宽度，使其不等于周期的整数 倍。之前取m二3,这里取m二1.5。得到的结果如下，这是因 为，利用DFT在计算周期延拓离散信号的频谱的时候，在时域 延拓后的图像与原图像已经不一样了。、对于最高频率分量幅值不为零或不趋于零的信号，采样

9、 频率要严格大于两倍最大频率上述实验中采样频率取值为3倍的信号最大频率分量，下面取/,=2x70Hz = 140Hz实验结果如下通过观察发现，频谱中没有70HZ对应的成分，这是因为以2 倍的频率来采样in(曲+ 0)这样的谐波，得到的离散点无法反映 该信号的全部特征，在这里对该信号的采样，全部在 心如必= 0,123.时刻，当歼0时，所有的采样值都为零，就如 上图所示，当0取其他值时，将会在频域发生混叠。这里取 = 02改变题干 令=1 + 0.5sin + 0.2sin(2f2t + 0.2)得到的结果，如下所以，对于最高频率分量幅值不为零或不趋于零的信号，采样 频率要严格大于两倍最大频率。

10、采样数对于不同实验的实验结果的影响。通过实验发现，提高窗函数宽度，即在采样频率不变的情况 下提高采样点数，对信号复原效果提高不大。通过实验发现，在窗函数宽度不变的情况下，提高采样频率 能显著提高信号复原效果，但在信号边缘的误差无法得到显著 改善。欠采样时，高频分量会关于采样频率反折而变为低频分 So例如取/070居=49虽时,50Hz和70Hz的分量都关与 采样频率进行了反折。结果如下1*0 5 sm（2 x rf tpo.2 sin（21 q c）杀样伯寻DT来锌音号斑诺阻含闿期，DH计箋)四、实验总结和体会(-)此次计算机模拟仿真实验，主要是做了以下一些工 作：1、模拟了连续信号采样和复原的过程。2、变换了不同的参数，并加以解释，加深了对问题的理解。3、采用了窗函