高考一轮复习：第1讲-变化率与导数、导数的运算

1、第1讲变化率与导数、导数的运算【2015年高考会这样考】1利用导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程2考查导数的有关计算，尤其是简单的函数求导【复习指导】本讲复习时，应充分利用具体实际情景，理解导数的意义及几何意义，应能灵活运用导数公式及导数运算法则进行某些函数求导. 基础梳理1函数yf(x)从x1到x2的平均变化率函数yf(x)从x1到x2的平均变化率为eq f(fx2fx1,x2x1).若xx2x1，yf(x2)f(x1)，则平均变化率可表示为eq f(y,x).2函数yf(x)在xx0处的导数(1)定义称函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率lieq o(m,sup6(,x0) eq f(

2、y,x)lieq o(m,sup6(,x0) eq f(fx0 xfx0,x)为函数yf(x)在xx0处的导数，记作f(x0)或y|xx0，即f(x0)lieq o(m,sup6(,x0) eq f(y,x).(2)几何意义函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线yf(x)上点(x0，f(x0)处切线的斜率相应地，切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)3函数f(x)的导函数称函数f(x)lieq o(m,sup6(,x0) eq f(fxxfx,x)为f(x)的导函数，导函数有时也记作y.4基本初等函数的导数公式若f(x)c，则f(x)0；若f(x)x(R)，则f(x)x1

3、；若f(x)sin x，则f(x)cos x；若f(x)cos x，则f(x)sin x；若f(x)ax(a0，且a1)，则f(x)axln_a；若f(x)ex，则f(x)ex；若f(x)logax(a0，且a1)，则f(x)eq f(1,xln a)；若f(x)ln x，则f(x)eq f(1,x).5导数四则运算法则(1)f(x)g(x)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3)eq blcrc(avs4alco1(f(fx,gx)eq f(fxgxfxgx,gx2)(g(x)0)6复合函数的求导法则复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u)，ug(

4、x)的导数间的关系为yxyuux. 一个区别曲线yf(x)“在”点P(x0，y0)处的切线与“过”点P(x0，y0)的切线的区别：曲线yf(x)在点P(x0，y0)处的切线是指P为切点，若切线斜率存在时，切线斜率为kf(x0)，是唯一的一条切线；曲线yf(x)过点P(x0，y0)的切线，是指切线经过P点，点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条两种法则(1)导数的四则运算法则(2)复合函数的求导法则三个防范1利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆2要正确理解直线与曲线相切和直线与曲线只有一个交点的区别3正确分解复合函数的结构，由外向内逐层求导，做到不重

5、不漏双基自测1下列求导过程中eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x)eq f(1,x2)；(eq r(x)eq f(1,2r(x)；(logax)eq blc(rc)(avs4alco1(f(ln x,ln a)eq f(1,xln a)；(ax)(eln ax)(exln a)exln aln aaxln a其中正确的个数是()A1 B2 C3 D4答案D2(人教A版教材习题改编)函数f(x)(x2a)(xa)2的导数为()A2(x2a2) B2(x2a2)C3(x2a2) D3(x2a2)解析f(x)(xa)2(x2a)2(xa)3(x2a2)答案C3(2013湖南)曲线ye

6、q f(sin x,sin xcos x)eq f(1,2)在点Meq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)，0)处的切线的斜率为()Aeq f(1,2) B.eq f(1,2) Ceq f(r(2),2) D.eq f(r(2),2)解析本小题考查导数的运算、导数的几何意义，考查运算求解能力yeq f(cos xsin xcos xsin xcos xsin x,sin xcos x2)eq f(1,1sin 2x)，把xeq f(,4)代入得导数值为eq f(1,2).答案B4(2013江西)若f(x)x22x4ln x，则f(x)0的解集为()A(0，) B(1,0)(2，)C

7、(2，) D(1,0)解析令f(x)2x2eq f(4,x)eq f(2x2x1,x)0，利用数轴标根法可解得1x0或x2，又x0，所以x2.故选C.答案C5如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f(f(0)_；lieq o(m,sup6(,x0) eq f(f1xf1,x)_(用数字作答)答案22考向一导数的定义【例1】利用导数的定义求函数f(x)x3在xx0处的导数，并求曲线f(x)x3在xx0处切线与曲线f(x)x3的交点审题视点 正确理解导数的定义是求解的关键解f(x0)eq o(lim,sdo4(xx0) eq f(f

8、xfx0,xx0)eq o(lim,sdo4(xx0) eq f(x3xoal(3,0),xx0)eq o(lim,sdo4(xx0) (x2xx0 xeq oal(2,0)3xeq oal(2,0).曲线f(x)x3在xx0处的切线方程为yxeq oal(3,0)3xeq oal(2,0)(xx0)，即y3xeq oal(2,0)x2xeq oal(3,0)，由eq blcrc (avs4alco1(yx3，,y3xoal(2,0)x2xoal(3,0)，)得(xx0)2(x2x0)0，解得xx0，x2x0.若x00，则交点坐标为(x0，xeq oal(3,0)，(2x0，8xeq oal(

9、3,0)；若x00，则交点坐标为(0,0) 利用定义求导数的一般过程是：(1)求函数的增量y；(2)求平均变化率eq f(y,x)；(3)求极限lieq o(m,sup6(,x0) eq f(y,x).【训练1】 利用导数的定义证明奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数证明法一设yf(x)是奇函数，即对定义域内的任意x都有f(x)f(x)f(x)lieq o(m,sup6(,x0) eq f(fxxfx,x)则f(x)lieq o(m,sup6(,x0) eq f(fxxfx,x)lieq o(m,sup6(,x0) eq f(fxxfx,x)f(x)因此f(x)为偶函数，同理可证偶函数的

10、导数是奇函数法二设yf(x)是奇函数，即对定义域内的任意x都有f(x)f(x)，即f(x)f(x)因此f(x)f(x) f(x)f(x)则f(x)为偶函数同理可证偶函数的导数是奇函数考向二导数的运算【例2】求下列各函数的导数：(1)yeq f(r(x)x5sin x,x2)；(2)y(x1)(x2)(x3)；(3)ysineq f(x,2)eq blc(rc)(avs4alco1(12cos2f(x,4)；(4)yeq f(1,1r(x)eq f(1,1r(x)；审题视点 先把式子化为最简式再进行求导解(1)yeq f(xf(1,2)x5sin x,x2)xeq f(3,2)x3eq f(si

11、n x,x2)，yeq blc(rc)(avs4alco1(xf(3,2)(x3)(x2sin x)eq f(3,2)xeq f(5,2)3x22x3sin xx2cos x.(2)法一y(x23x2)(x3)x36x211x6，y3x212x11.法二y(x1)(x2)(x3)(x1)(x2)(x3)(x1)(x2)(x1)(x2)(x3)(x1)(x2)(x2x1)(x3)(x1)(x2)(2x3)(x3)(x1)(x2)3x212x11.(3)ysineq f(x,2)eq blc(rc)(avs4alco1(cosf(x,2)eq f(1,2)sin x，yeq blc(rc)(avs

12、4alco1(f(1,2)sin x)eq f(1,2)(sin x)eq f(1,2)cos x.(4)yeq f(1,1r(x)eq f(1,1r(x)eq f(1r(x)1r(x),1r(x)1r(x)eq f(2,1x)，yeq blc(rc)(avs4alco1(f(2,1x)eq f(21x,1x2)eq f(2,1x2). (1)熟记基本初等函数的导数公式及四则运算法则是正确求导的基础(2)必要时对于某些求导问题可先化简函数解析式再求导【训练2】 求下列函数的导数：(1)yxnex；(2)yeq f(cos x,sin x)；(3)yexln x；(4)y(x1)2(x1)解(1

13、)ynxn1exxnexxn1ex(nx)(2)yeq f(sin2xcos2x,sin2x)eq f(1,sin2x).(3)yexln xexeq f(1,x)exeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x)ln x).(4)y(x1)2(x1)(x1)(x21)x3x2x1，y3x22x1.考向三求复合函数的导数【例3】求下列复合函数的导数(1)y(2x3)5；(2)yeq r(3x)；(3)ysin2eq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,3)；(4)yln(2x5)审题视点 正确分解函数的复合层次，逐层求导解(1)设u2x3，则y(2x3)5，由yu5与u2x3

14、复合而成，yf(u)u(x)(u5)(2x3)5u4210u410(2x3)4.(2)设u3x，则yeq r(3x).由yueq f(1,2)与u3x复合而成yf(u)u(x)(ueq f(1,2)(3x)eq f(1,2)ueq f(1,2)(1)eq f(1,2)ueq f(1,2)eq f(1,2r(3x)eq f(r(3x),2x6).(3)设yu2，usin v，v2xeq f(,3)，则yxyuuvvx2ucos v24sineq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,3)coseq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,3)2sineq blc(rc)(avs4a

15、lco1(4xf(2,3).(4)设yln u，u2x5，则yxyuuxyeq f(1,2x5)(2x5)eq f(2,2x5). 由复合函数的定义可知，中间变量的选择应是基本函数的结构，解这类问题的关键是正确分析函数的复合层次，一般是从最外层开始，由外向内，一层一层地分析，把复合函数分解成若干个常见的基本函数，逐步确定复合过程【训练3】 求下列函数的导数：(1)yeq r(x21)；(2)ysin22x；(3)yexsin 2x; (4)ylneq r(1x2).解(1)yeq f(1,2 r(x21)2xeq f(x,r(x21)，(2)y(2sin 2x)(cos 2x)22sin 4x

16、(3)y(ex)sin 2xex(cos 2x)2ex(2cos 2xsin 2x)(4)yeq f(1,r(1x2)eq f(1,2r(1x2)2xeq f(x,1x2).规范解答6如何求曲线上某一点的切线方程【问题研究】 利用导数的几何意义求函数在某一点的坐标或某一点处的切线方程是高考常常涉及的问题.这类问题最容易出现的错误就是分不清楚所求切线所过的点是不是切点而导致错误.,【解决方案】 解这类问题的关键就是抓住切点.看准题目所求的是“在曲线上某点处的切线方程”还是“过某点的切线方程”，然后求某点处的斜率，用点斜式写出切线方程.【示例】(本题满分12分)(2013山东)已知函数f(x)ln

17、 xaxeq f(1a,x)1(aR)(1)当a1时，求曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程；(2)当aeq f(1,2)时，讨论f(x)的单调性 (1)求出在点(2，f(2)处的斜率及f(2)，由点斜式写出切线方程；(2)求f(x)，再对a分类讨论解答示范 (1)当a1时，f(x)ln xxeq f(2,x)1，x(0，)所以f(x)eq f(x2x2,x2)，x(0，)，(1分)因此f(2)1，即曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线斜率为1.又f(2)ln 22，所以曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为y(ln 22)x2，即xyln 20.(3分)(2)因为f(x)

18、ln xaxeq f(1a,x)1，所以f(x)eq f(1,x)aeq f(a1,x2)eq f(ax2x1a,x2)，x(0，)(4分)令g(x)ax2x1a，x(0，)当a0时，g(x)x1，x(0，)，所以当x(0,1)时，g(x)0，此时f(x)0，函数f(x)单调递减；当x(1，)时，g(x)0，此时f(x)0，函数f(x)单调递增；(6分)当a0时，由f(x)0，即ax2x1a0，解得x11，x2eq f(1,a)1.a当aeq f(1,2)时，x1x2，g(x)0恒成立，此时f(x)0，函数f(x)在(0，)上单调递减；(7分)b当0aeq f(1,2)时，eq f(1,a)110.x(0,1)时，g(x)0，此时f(x)0，函数f(x)单调递减；xeq blc(rc)(avs4alco1(1，f(1,a)1)时，g(x)0，此时f(x)0，函数f(x)单调递增；xeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,a)1，)时，g(x)0，此时f(x)0，函数f(x)单调递减；(9分)c当a0时，由于eq f(1,a)10，x(0,1)时，g(x)0，此时f(x)0，函