246正多边形和圆

1、简单1同一个圆的内接正方形与内接正六边形边长之比为(2: 3 B. 3:返 C . V2 : 2 D. T2 : 1【考点】正多边形和圆.【分析】圆的半径是内接圆正方形半径，是外切正六边形的边心距; 表示出两个多边形的边长，进而求解.【解答】设此圆的半径为设圆的半径是R,则可R，则它的内接正方形的边长为它的内接正六边形的边长为R，内接正方形和外切正六边形的边长比为V2 R : R= J2 : 1 .故选D2、一个正多边形的中心角是45，那么这个正多边形的边数是A . 5 B. 6C. 7 D. 8【分析】根据正多边形的边数=周角十中心角，计算即可得解.【解答】360十45= 8. 故选D .3

2、、已知一个正六边形的半径是r，则此正六边形的周长是3r B. 6r C. 12r D. 24r利用【分析】连接正六边形的中心与各个顶点，正六边形被半径分成六个全等的正三角形.正三角形的性质分析.【解答】连接正六边形的中心与一边的两个端点，根据中心角是60 ,因而正六边形的一边与半径构成正三角形；正六边形的半径是 r,因而正六边形的边长是 r,因而正六边形的周长是 6r.故选B.4、如图、，正三角形 ABC、正方形ABCD、正五边形 ABCDE分别是O O的内接 三角形、内接四边形、内接五边形，点 M、N分别从点B、C开始，以相同的速度在O O上 逆时针运动.(1)求图中/ APN的度数(写出解

3、题过程)；(2)写出图中/ APN的度数和图中/ APN的度数;( 1) 60;(1) 45;【分析】(1)由 ABCNBC ,再利用外角的性质可得/ APN =/ ABP + / BAP , 得/ APN的度数；(2)和(1)同理可得到/ APN的度数和/ ABC的度数相等，图中/ APN的度数和/ ABC 的度数相等；【解答】(1)/ APN = 60 ./ APN =/ ABP + / BAP ,且点M、N以相同的速度中O O上逆时针运动，弧 BM =弧 CN ,/ ABP = / NBC ,/ APN =/ ABP + / NBC ,即/ APN =/ ABC = 60；(2)同理：图

4、 2 中，/ APN =/ ABC = 90;图 3 中，/ APN =/ ABC = 108； 故选A(2)(2),108,1209060为等边三角形可知/ABC = 60，再由等速运动可得到/ ABP = / 代换可得到/ APN =/ ABC ,可求ABCDEF和A1B1C1D1E1F1都是正 六边形.求证：/ 1和/ 2的关系；找出一对全等的三角形并给予证明.A.( 1)B .( 1)不相等；(2) ABB1FAA1相等；(2) ABB FAA1【分析】(1)根据多边形内角与外角的有关知识求解.依题意推岀/ 1 + / AiAF= 120 ,/ 2 + / AiAF= / BiAiFi

5、 = 120 ,易求(2)依题意/ F1A1B1 = / A1B1C1 推岀 / AB1 B= / FA1A= 60 , 又 AB= FA, / 1 = Z 2 ,推岀 ABB 幻 FAAi .【解答】(1)证明：多边形ABCDEF与AiBiCiDiEiFi都是正六边形，A1AF = 120 ,/ 2 + / A1AF = / B1A1F1 = 120AiAF= / 2 + / AiAF,即/ 1 = Z2；(2) ABB1 FAA1.证明：/ Z F1A1B1 = / A1B1C1 = 120 / ABiB= / FAiA = 60 , 则/ ABB=/ FAA/ 1 = /2AB= FA

6、ABB,幻 FAA1 .故选B6、多边形的每个外角与它相邻内角的关系是(A .互为余角B .互为邻补角C.两个角相等D.外角大于内角【分析】根据多边形的外角与内角的定义可知多边形的每个外角与它相邻的内角互为邻补 角.【解答】多边形的每个外角与它相邻的内角互为邻补角.故选B .7、如图，O O的外切正六边形ABCDEF的边长为2 ,则图中阴影部分的面积为1- n2J3 - n32 /3 - n22 V3 - n3【分析】由于六边形ABCDEF是正六边形，所以/AOB= 60 ,故OAB是等边三角形，OA= OB= AB= 2，设点 G 为 AB 与 O O 的切点，连接 OG 贝OG丄 AB,

7、OG= OA?sin60 ，再根据S阴影= Sa OAB 一 S 扇形 OMN， 进而可得岀结论.【解答】六边形ABCDEF是正六边形， / AOB= 60 ， OAB是等边三角形，OA= OB= AB= 2， 设点G为AB 与 O O的切点，连接OG则OG丄AB，11S 阴影=Sa OAB 一 S 扇形 OMN =2X 2 X7360 X n X ()+ 360 =43一27t故选A. OG= OA?sin60 =廳8、下列命题中的真命题是（A .三角形的内切圆半径和外接圆半径之比为 2 : 1 B .正六边形的边长等于其外接圆的半径C.圆外切正方形的边长等于其边A心距的3倍D .各边相等的

8、圆外切多边形是正方形【分析】本题主要考查了正多边形与圆的关系，涉及边心距、内切圆、外接圆等知识对四 个选项逐一分析即可.【解答】A、只有正三角形的内切圆半径和外接圆半径之比为1 : 2，故错误；B、正六边形的中心角为 60，那么正六边形的半径和边长就组成一个等边三角形，C、 圆外切正方形的边长等于其边A心距的2倍，故错误；D、各边相等的圆外切多边形是正多边形，故错误.故选B .故正确;9、如图，顺次连接圆内接矩形各边的中点，得到菱形 ABCD的边长为（）ABCD，若 BD = 4，DF = 3，则菱形A . 4 迈 B . 3 运 C . 5 D . 7【分析】先连接 OG,求出OD、OG，由

9、勾股定理求出 OA、GD，由菱形ABCD，得到AC 丄BD，由勾股定理求出 AD，再根据勾股定理即可求出答案.【解答】连接OG ,/ BD = 4, DF = 3, OD = 2, OF= OG= 3 + 2= 5,由勾股定理得：OA = GD = J0G2 -0D2 = J5匸尹=J21 , 菱形 ABCD , AC 丄 BD , 由勾股定理得：AD = JOA2 +OD2 = J(721)2 -22 = 5菱形ABCD的边长为5; 故选C.10、弦AB是圆内接正三角形的边，弦AC是同圆内接正六边形的一边，则/BAC的度数为（ ）A . 90 B . 30 C . 90。或 30D . 90

10、 或 40 【分析】根据题意画出图形， 求出正六边形内角的度数，再根据正三角形的特点求出/ BAC的度数即可.【解答】如图所示，正六边形 ACBDEF与正 ABE是O O的内接多边形；在六边形ACBDEF中,AC EC,/ AEC / CAE ,又/ C=( n 2)? 180/ CAE ( 180 120)x 2 30根据的结论可得，/ BAF 30,/ CAF 120 则/ BAC 120 30 90.故选C.A .血 B . 2C. 3D . 2 晁2,则正三角形的边长为(【分析】利用正方形的性质得出圆的半径，进而求出 【解答】如图所示：设正方形的中心为AE的长即可得出答案.O , E为

11、切点，连接EO , AO ,则圆的半径为：2si n45 石,即EO ，故AO 2血贝y AE JAO2 - EO2故正三角形的边长为:12、一个多边形的内角和与外角和的比为A .五边形 B .六边形 C.七边形2，则这个多边形是（ 八边形【分析】多边形的内角和可以表示成（ 一个多边形的内角和与外角和的比为【解答】设这个多边形是 n边形.则（n2）X 180 : 360= 5: 2, n= 7.故这个多边形是七边形.故选C.n 2）5: 2列方程求解.?180，外角和是固定的360 ,从而可根据13、周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积S3、S4、S6间的大小关系A. S3 S4 S6

12、B.S6 S4 S3C.S6 S3 S4D. S S6 S3【分析】先根据题意画出图形设出正六边形的边长，再根据正三角形、 周长都相等求出各图形的边长，再分别求出其面积即可.【解答】设正六边形的边长为 a,如图所示，正方形、正六边形的D则正 ABC的边长为如图（1）,过A作AD丄BC , D为垂足; ABC是等边三角形，BC = 2a,/. BD=a）由勾股定理得，AD=耳 BO AD 舌 X2aXa=al. 73a-.如圉（2）, V四边形MS是正方形,/. AB舍，* 3-73/7 9 .-/ S1= 3=a=X2- 25a如图（3）,过0作OClBC, G为垂足，T六边形ABCDEF是正

13、六边形,/. ZBOC=6 0,0/. ZBOG=30 ,昱乳lanSO- J? 2 y-14/. E ： = 6SA =cc：=6 2 . 25a2 1 . 73a2 .S6 S S3 .菱形，正方形，圆，正五边形，正六边形中，是中 ）故选：B .14、在等边三角形，平行四边形，矩形, 心对称图形但不是轴对称图形的有（A . 1个B. 2个C. 3个D. 4个矩形，菱形，正方形，圆，正六边形，【解答】中心对称图形有：平行四边形，其中轴对称图形有：矩形，菱形，正方形，圆，正六边形, 只有平行四边形不是轴对称图形.故选A .15、如图，要拧开一个边长为a= 6mm的正六边形螺帽，扳手张开的开口b

14、至少为（A . 6mm B. 12mm C . 6mm D . 4* mm【分析】根据题意，即是求该正六边形的边心距的2倍.构造一个由半径、半边、边心距组成的直角三角形，且其半边所对的角是30度，再根据锐角三角函数的知识求解.5【解答】设正多边形的中心是 O,其一边是AB ,C D/ AOB = / BOC = 60,OA = OB = AB = OC= BC , 四边形ABCO是菱形，AB = 6mm , / AOB = 60 -cos/ BAC = AM : AB ,am = 6X= 3 ( mm),/ OA = OC ,且/ AOB =/ BOC , AM = MC = 2 AC , A

15、C = 2AM = 6 爲(mm).故选：C.1、如图，用邻边分别为a, b （ a b）的矩形硬纸板裁出以a为直径的两个半圆，再裁出与矩形的较长边、两个半圆均相切的两个小圆.把半圆作为圆锥形圣诞帽 的侧面，小圆恰好能作为底面，从而做成两个圣诞帽（拼接处材料忽略不计）， 则a与b满足的关系式是（bb = 3a B. b = Z3 a C. b = 2 血 aD. b= a【分析】首先利用圆锥形圣诞帽的底面周长等于侧面的弧长求得小圆的半径，然后利用两圆外切的性质求得a、 b之间的关系即可. 【解答】半圆的直径为a，把半圆作为圆锥形圣诞帽的侧面，小圆恰好能作为底面，设小圆的半径为r ,则：2 n

16、r =2解得：r = 4如图小圆的圆心为B，则：AC2 + AB2 = BC2半圆的圆心为C,作BA丄CA于A点，3a即：（4 ） 整理得：b= 故选D.422、如图，在矩形ABCD中，点0在对角线AC上，以OA的长为半径的圆0与AD、AC分别 交于点E、F,且/ ACB= / DCE.判断直线CE与O 0的位置关系，并证明你的结论；A.(B.(tan / ACB=相切；相离；(2)(2)2 , BC= 2 ,求O 0的半径.1）直线CE 与O 0相切.理由如下：四边形ABCD是矩形， BC/ AD, / ACB= / DAC;又/ / ACB= / DCE 丨 / DAO / DCE;连接

17、0E,贝U / DAC= / AEO= / DCE; / DCE+ / DEC= 90 / AE0 + / DEC= 90 / 0EO 90 ,即 0E1 CE.又0E是O 0的半径，直线CE 与O 0相切.旦(2) / tan / ACB= AB: BC= 2 , BC= 2,AB= BC?tan / ACB= AC=需;又/ / ACB= / DCE二 tan / DCE= tan / ACB= DE= DC?tan / DCE= 1；在 Rt CDE中，CE= JCD2 + DE2 =53 , 连接 0E,设 O O 的半径为 r,则在 Rt COE中，CO = OE + CE2,即（J

18、6 - r）2= r2 + 3逅解得：r= 4故选A3、已知圆内接正六边形的边长为a,半径为R,边心距为r，则a： R: r=()A. 1: 1:廳 B. 2: 2:巧 C. 1 : 2: 3 D. 1 : 2:巧这样的等边三角形的边长与原正六【解答】圆内接正六边形可分成六个全等的等边三角形, 边形的边长相等，等边三角形的高与正六边形的边心距相等,等边三角形的高是它的边长的2 倍,所以 a： R: r = 2： 2运4、下列命题正确的是(A .各边相等的多边形是正多边形正多边形一定是中心对称图形各角相等的圆内接多边形是正多边形D .正多边形外接圆的半径是正多边形的半径【分析】根据正多边的定义对

19、 A进行判断；根据正多边的性质对B进行判断；利用矩形对C进行判断；根据正多边形的半径对D进行判断.【解答】A、各边相等，各内角相等的多边形是正多边形，所以A选项错误；B、 当正多边形的边数为偶数时，它一定是中心对称，所以B选项错误；C、 各角相等的圆内接多边形不一定是正多边形，若圆的内接矩形，所以C选项错误；D、 正多边形外接圆的半径是正多边形的半径，所以D选项正确.5、正六边形的边长等于 2,则这个正六边形的面积等于（A . 4巧 B . 6运 C. 7巧 D . 8忑【分析】边长为2的正六边形可以分成六个边长为 可.2的正三角形，计算出正六边形的面积即E,得到 ODE ,FE十 6 = 6

20、0【解答】连接正六变形的中心 O和两个顶点D、又/则 ODE为正三角形,.0D = OE = DE = 2,1 SA ODE = 2 OD?OM1=2OD?OE?si n60= 373OD = OE,ODE = / OED =( 180 60)- 2 = 60正六边形的面积为 6X= 6爲, 故选B .6、已知正多边形的边心距与边长的比为1: 2，则此正多边形为（A 正三角形 B 正方形C.正六边形 D 正十二边形【分析】边心距与边长的比为 夹角是45度.【解答】如图，1: 2,即边心距等于边长的一半，进而可知半径与边心距的 可求出中心角的度数，从而得到正多边形的边数.圆 A是正多边形的内切圆

21、；/ACD =/ ABD = 90, AC = AB , CD = BD 是边长的一半,当正多边形的边心距与边长的比为1: 2,即如图有AB = BD ,则 ABD是等腰直角三角形，/ BAD = 45,/ CAB = 90,即正多边形的中心角是 90度，所以它的边数=360- 90= 4.故选B .)108187、下列说法正确的是（ A正五边形的中心角是B 正十边形的每个外角是正五边形是中心对称图形【分析】分别计算出正五边形、 选出.【解答】正五边形的中心角是正五边形的每个外角是 360 D 正五边形的每个外角是72正十边形、正五边形外角的度数，结合中心对称的特点即可360- 5= 72;正

22、十边形的每个外角是360- 10 = 36十5 = 72;正五边形不是中心对称图形.故选D .8、在日常生活中，观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美 丽的图案.也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形， 既不留下一丝空白，又不互相重叠（在几何里叫做平面镶嵌）这显然与正多边形的内角大小有关当围绕 一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角（360）时，就拼成了一个平面图形.请根据下列图形，填写表中空格：正多边形边数3456正多边形每个内角的度数 60, 90, 108 , 120 60, 90, 120 , 150【分析】利用正多边形一个内角=180-360十n求解;【解答】（1）由正n边形的内角的性质可分别求得正三角形、正方形、正五边形、正六边 形正 n 边形的每一个内角为：60 , 90, 108, 120,-（ n- 2）? 180- n；故选AO （使该角的顶点）9、如图，点O是正六边形的对称中心，如果用一副三角板的角，借助点C. 6 D. 7落在点O处），把这个正六边形的面积n等分，那么n的所有可能取值的个数是（即让周【分析】根据圆内接正多边形的性质可知，只要把此正六边形再化为正多边形即可,角除以30的倍数就可以解决问题.【解答】360- 3