2022年专题四-恒成立问题

1、高考数学专题讲座专题四 恒成立问题 在近几年的高考数学试题中,经常显现含参数的不等式成立的问题,这类问题与函数, 导数,方程等学问综合在一起, 演绎出一道道设问新奇,五光十色的题目,这些试题的思辨性很强,往往让人眼花缭乱,使解题者不知所措,这些题目从解题目标上看,基本上有三种,即求参数的取值范围,使含参数的不等式恒成立,能成立或恰成立 . 用函数思想作指导 ,解不等式的恒成立、 能成立、恰成立问题的操作程 序是这样的 : 1.恒成立问题如不等式fxA在区间D 上恒成立 ,就等价于函数fx在区间D 上的最小值大于 A , 如不等式fxB在区间 D 上恒成立 ,就等价于函数fx在区间 D 上的最大

2、值小于B . 2. 能成立问题如在区间D 上存在实数 x使不等式fxA 成立 ,即fxA在区间D 上能成立 , ,就等价于函数fx在区间 D 上的最大值大于A , fxB在区间 D 上如在区间 D 上存在实数 x使不等式fxB成立 ,即能成立 , ,就等价于函数fx在区间 D 上的最小值小于B . 3. 恰成立问题如不等式fxA在区间D 上恰成立 , 就等价于不等式fxA的解集第 1 页 共 13 页高考数学专题讲座为 D , 如不等式fxB在区间 D 上恰成立 , 就等价于不等式fxB的解集为 D , 假如从解题模式看 ,好象问题很简洁 ,但是 ,由于试题的结构千变万化 ,试题的设问方式各不

3、相同 ,就使得题目变得非常敏捷 ,如何对这类题目进行思辨和模式识别 ,把问题化归到常见的基本的题型 ,是高考复习的一个课题 . 【例 1】如关于 x的不等式 x 2ax a 0 的解集为 , ,就实数 a的取值范畴是；如关于 x 的不等式 x 2ax a 3 的解集不是空集,就实数 a的取值范畴是【分析及解】 第一个填空是不等式恒成立的问题 ,设 f x x 2ax a .就关于 x 的不等式 x 2ax a 0 的解集为 , f x 0 在 , 上恒成立 f minx 0 , 2即 f min x 4 a a ,0 解得 4 a 04其次个填空是不等式能成立的问题 . 设 f x x 2 a

4、x a .就关于 x 的不等 式 x 2ax a 3 的 解 集 不 是 空 集 f x 3 在 , 上 能 成 立f minx 3 , 2即 f min x 4 a a 3 , 解得 a 6 或 a 2 . 4【例 2】三个同学对问题 “关于 x的不等式 x 225 x 35 x 2ax在 1,12 上恒成立,求实数 a 的取值范畴 ” 提出各自的解题思路第 2 页 共 13 页高考数学专题讲座 甲说： “ 只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”乙说： “ 把不等式变形为左边含变量 的最值 ”x的函数,右边仅含常数,求函数丙说： “ 把不等式两边看成关于 x的函数,作出函数图像”参考上述

5、解题思路, 你认为他们所争论的问题的正确结论,即 a的取值范围是【分析及解】 关键在于对甲,乙,丙的解题思路进行思辨,这一思辨实际上是函数思想的反映. ,g xax . 设fxx225x35x2甲的解题思路,实际上是针对两个函数的,即把已知不等式的两边看作两个函数,设fxx225x35x2,g xax其解法相当于解下面的问题：对于 x 1 1,12 , x 2 1,12 ,如 f x 1 g x 2 恒成立 ,求 a的取值范畴 . 所以,甲的解题思路与题目 x 1,12 , f x g x 恒成立 ,求 a的取值范畴的要求不一样 .因而, 甲的解题思路不能解决此题 . 根据丙的解题思路需作出函

6、数 f x x 225 x 35 x 的图象和g x ax的图象 ,然而,函数 f x 的图象并不简洁作出 . 由乙的解题思路 ,此题化为 f xa 在 x 1,12 上恒成立 ,等价于 x 1,12x第 3 页 共 13 页高考数学专题讲座时,fxmina成立. 5在x51,12时,有最小值 10,于是 ,a10. 1,1 上x由fxx25x xxx【例 3】已知向量ax2,x1, b1x t 如函数fxab在区间是增函数,求 t 的取值范畴 . 【分析及解】依定义fx x2 1x tx1x 3x2txt,就fx3 x22xt.0在区间1,1上恒成立 ; fx在区间1,1上是增函数等价于fx

7、而fx0在区间1,1上恒成立又等价于t3x22x在区间1,1上恒成立; 设 g x 3 x 2 2 x , x 1,1进而 t g x 在区间 1,1 上恒成立等价于 t g max x , x 1,1考虑到 g x 3 x 2 2 x , x 1,1 在 ,1 1 上是减函数 ,在 11, 上是增函数 , 3 3就 g max x g 1 5 . 于是 , t 的取值范畴是 t 5 . 【例 4】已知函数 f x x 33 ax 1, g x f x ax 5,其中 f x 是 f x的导函数 . （1）对满意 1 a 1 的一切 a的值,都有 g x 0,求实数 x的取值范畴；（2）设 a

8、 m ,当实数 m在什么范畴内变化时,函数 y f x 的图象与直线 y 3 只有一个公共点 . 第 4 页 共 13 页高考数学专题讲座【分析及解】 只考虑（） . 解法 1.由题意g x03 x2ax3 a5,这一问表面上是一个给出参数a 的范畴,解不等式g x的问题,实际上,把以x 为变量的函数 g x ,改为以 a为变量的函数,就转化为不等式的恒成立的问题,即令 a 3 x a 3 x 2 5,1 a 1,就对 1 a 1,恒有 g x 0,即a 0,从而转化为对 1 a 1,a 0 恒成立,又由 a 是 a 的一次函数,因而是一个单调函数,它的最值在定义域的端点得到 .为此2只需 1

9、1 00 即 33 xx 2 xx 28 0 ,0 .解得 2x 1 . 3故 x 2 ,1 时,对满意 1 a 1 的一切 a的值,都有 g x 0 . 3解法 2.考虑不等式 g x 3 x 2ax 3 a 5 0 . 由 1 a 1 知, a 236 a 60 0 ,于是 ,不等式的解为2 2a a 36 a 60 x a a 36 a 60 . 6 6但是,这个结果是不正确的 ,由于没有考虑 a的条件 ,仍应进一步完善 . 为此,设g aaa236 a60,h aaa236 a60. 66不等式化为g axh a, 1a1恒成立 ,即g amaxxh amin, 1a1. 第 5 页

10、共 13 页高考数学专题讲座2由于g aaa236 a60在1a1上是增函数 ,就g amaxg12 3, 611.所以 , h aaa236 a60在1a1上是减函数, 就h aminh6x1. 0. 3故x2 ,1 3时,对满意1a1的一切 a的值,都有g x【例 5】求与抛物线E yax 相切于坐标原点的最大圆C的方程 . 【分析及解】由于圆C 与抛物线 E : y ax 相切于坐标原点 ,2 2所以,可设 C : x y r r . 由题意 , 抛物线 E 上的点 P x y 除坐标原点 0,0 之外,都在圆 C 的外边 .设P 和圆心 C 0, r 的距离为 d ,就此题等价于2 2

11、d x y r r 在 y 0 的条件下 ,恒成立 . 整理式得 y 2 r 1 a于是 ,此题又等价于式在 y 0 的条件下 ,恒成立 .即 y min 2 r 1a, 由 y min 0 得 0 2r 1a,即 r2 1a. 所以 ,符合条件的最大圆的半径是 r2 1a,最大圆 C 的方程为2 2x 2y 1 12 a 2 a【例 6】设 a R ,二次函数 f x ax 22 x 2 . a 如 f x 0 的解集为 A ,第 6 页 共 13 页高考数学专题讲座Bx|1x3 ,AB,求实数 a的取值范畴 . 【分析及解】 这是一个题目在不等式成立的前提下,求参数的范畴的问题,这个题目的

12、常规解法是：由题设 , a 0 . f x 0 的两个根为 x 1 1a 2a 12 , x 2 1a 2a 12 , 明显, x 1 0, x 2 0 . 1 当 a 0 时, A x x 1 x x 2 , A B x 2 1 1a 2a 12 1 a 2.2 当 a 0 时, A x x x 1 x x x 2 , A B x 2 3 1 2 12 3 a 6 . a a 7于是,实数 a的取值范畴是 , 2 6, . 7我们留意到 ,题目的要求与大部分见到的题并不相同 .这类题目在试题中显现最多的是不等式恒成立的问题,而此题却是一个不等式能成立的问题,由于 ,题目的条件是只要集合 A

13、B 的交集不是空集就可以 ,即只要不等式f x 0 在区间 1,3 有解就可以 ,这等价于 f max x 0, x 1,3 成立.解法就简洁些.解法如下 : 1 当aaf0时,由于 fx 的图象的对称轴10,就对x1,3,f1最大,afmaxx1a22 a0.a2.f3实现 , 2 当0时, fmaxx,x1,3在f1或第 7 页 共 13 页高考数学专题讲座u由f12a0,f37 a6,就f37a60a67于是,实数 a的取值范畴是, 26,. 7这个解法的关键是用函数思想指导,学会用函数和变量来摸索. 【例 7】已知函数fxlnx,gx1ax2bx,a0. 2如b2,且hxfxgx存在单

14、调递减区间,求a 的取值范畴；【分析及解】 只争论第（ I）问 .b2 时,hx lnx1ax22x,2就hx1ax2ax22x1.xx由于函数 h x 存在单调递减区间,所以h x 0有解. 由题设可知 ,hx的定义域是,0, 而hx0在,0上有解 ,就等价于hx0在区间0 ,能成立 , 即a12, x,0成 立 , 进 而 等 价 于auminx成 立 , 其 中x2xx12. x2x由ux121121得,uminx1. x2xx于是,a1, 由题设a0,所以a的取值范畴是,1 0,0【例 8】设x3是函数f x 2 xax3 b exxR 的一个极值点 . （）求 a与b 的关系式（用

15、a表示b ）,并求f x 的单调区间；（）设a0,g x a225e ,如存在1,20,4 使得f1g21成4第 8 页 共 13 页高考数学专题讲座立,求 a的取值范畴 . 【分析及解】 此题的第（） “ 如存在 1 , 2 0,4 使得 f 1 g 2 1 成立,求 a的取值范畴 .” 如何懂得这一设问呢？假如函数 f x 在 x 0,4 的值域 与 g x 在 x 0,4 的 值 域 的 交 集 非 空 , 就 一 定 存 在 1 , 2 0,4 使 得f 1 g 2 1 成立,假如函数 f x 在 x 0,4 的值域与 g x 在 x 0,4 的值域的交集是空集,只要这两个值域的距离的

16、最小值小于 1 即可. 由（）可得 ,函数 f x 在 x 0,4 的值域为 2 a 3 e a 36 , 又 g x 在 x 0,4 的值域为 a 2 25 , a 2 25 e 4 , 4 4存在 1 , 2 0,4 使得 f 1 g 2 1 成立,等价于 f max x g min x 1 或g max x f min x 1,简洁证明 , a 2 25 a 6 . 4于是, a 2 254 a 6 1,0 a 3 . 2a 0.fx gxx-2 a+3e 3 a+6 a 2+ 254 a 2+ 254 e42【例 9】已知函数 f x 4 x 7 , x 0 1, .2 x在（1）求f

17、x的单调区间和值域；x 10 1,总存（2）设a1,函数gx3 x3 a 2x2 a,x0 1,如对于任意x 00 1,使得gx 0fx 1成立,求 a 的取值范畴 . 第 9 页 共 13 页高考数学专题讲座【分析及解】（1）对函数fx求导,得fx 4x216x72x1 2x72x22x 2令fx0解得x1或x7.2211, 时,fx是增函数 . 可以求得, 当x0 ,1时,f x 是减函数； 当x22当x0 1, 时,fx的值域为4, 3 . 0 1,使得gx 0fx 1” ,（2）对函数gx求导,得gx 3 x2a2.由于a1,当x01,时,gx3 1a20 .因此当x0 1, 时,gx

18、为减函数,从而当x01, 时有gxg1 ,g0 .又g1 12 a3 a2,g0 2 a ,即x0 1, 时有g x 的值域为是1 2a3 a2, 2 .如何懂得“ 任给1x1,0,fx 14 ,3,存在x 0实 际 上 , 这 等 价 于fx值 域 是g x 值 域 的 子 集 , 即12 a2 3 a, 2 4, 3.这就变成一个恒成立问题,fx的最小值不小于g x 的最小值,f x 的最大值不大于g x 的最大值即12a3a24,2 a3.与“ 能成立”的问题,解式得a1 或a5；3解式得a3.2又a1,故 a 的取值范畴为1a3.2以上几个例题主要探讨的是不等式的“ 恒成立”第 10

19、页 共 13 页高考数学专题讲座在历年高考中仍显现过“ 恰成立” 和“ 部分成立” 的题目,例如：【例 10】1 已知fxx22xa,对任意x,1,fx0恒成立 ,试求x实数 a的取值范畴 ; 2已知fxx22xa,当x,1,fx的值域是,0,试求实数 ax的值. 【分析及解】这两问给出的函数的表达式相同 , x的范畴相同 , f x 的取值区间也相同 ,但是 ,由于设问的含义不相同 ,所以解题的目标也不相同 . 此题的第 1问是一个恒成立问题 , 时,fxx22xa0对任意x,1恒成立x1x等价于x2 x2xa0对任意x,1恒成立 ,又等价于x 的最小值30 成立. 由于xx12a1 在,1上为增函数 , 就minx1a3, 所以a,0a3. 第2问是一个恰成立问题 , 这相当于fxx212xa0的解集是x,1. x当a0时,由于x时, 第 11 页 共 13 页高考数学专题讲座2f x x 2 x ax a2 3 ,与其值域是 ,0 冲突, x x2当 a 0 时, f x x 2 x a x a 2 是 ,1 上的增函数 , x x所以 , f x