2022年河北省中考数学试卷

1、2022年河北省中考数学试卷一、选择题（本大题共16小题，共42分，1-10小题各3分，11-16小题各2分）1（3分）（2022河北）下列图形具有稳定性的是ABCD2（3分）（2022河北）一个整数用科学记数法表示为，则原数中“0”的个数为A4B6C7D103（3分）（2022河北）图中由“”和“”组成轴对称图形，该图形的对称轴是直线ABCD4（3分）（2022河北）将变形正确的是ABCD5（3分）（2022河北）图中三视图对应的几何体是ABCD6（3分）（2022河北）尺规作图要求：、过直线外一点作这条直线的垂线；、作线段的垂直平分线；、过直线上一点作这条直线的垂线；、作角的平分线如图是按

2、上述要求排乱顺序的尺规作图：则正确的配对是A，B，C，D，7（3分）（2022河北）有三种不同质量的物体“”“”“”，其中，同一种物体的质量都相等，现左右手中同样的盘子上都放着不同个数的物体，只有一组左右质量不相等，则该组是ABCD8（3分）（2022河北）已知：如图，点在线段外，且，求证：点在线段的垂直平分线上，在证明该结论时，需添加辅助线，则作法不正确的是A作的平分线交于点B过点作于点且C取中点，连接D过点作，垂足为9（3分）（2022河北）为考察甲、乙、丙、丁四种小麦的长势，在同一时期分别从中随机抽取部分麦苗，获得苗高（单位：的平均数与方差为：，则麦苗又高又整齐的是A甲B乙C丙D丁10（

3、3分）（2022河北）图中的手机截屏内容是某同学完成的作业，他做对的题数是A2个B3个C4个D5个11（2分）（2022河北）如图，快艇从处向正北航行到处时，向左转航行到处，再向右转继续航行，此时的航行方向为A北偏东B北偏东C北偏西D北偏西12（2分）（2022河北）用一根长为（单位：的铁丝，首尾相接围成一个正方形，要将它按如图的方式向外等距扩1（单位：得到新的正方形，则这根铁丝需增加ABCD13（2分）（2022河北）若，则ABC0D14（2分）（2022河北）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简

4、过程如图所示：接力中，自己负责的一步出现错误的是A只有乙B甲和丁C乙和丙D乙和丁15（2分）（2022河北）如图，点为的内心，将平移使其顶点与重合，则图中阴影部分的周长为A4.5B4C3D216（2分）（2022河北）对于题目“一段抛物线与直线有唯一公共点，若为整数，确定所有的值，”甲的结果是，乙的结果是或4，则A甲的结果正确B乙的结果正确C甲、乙的结果合在一起才正确D甲、乙的结果合在一起也不正确二、填空题（本大题有3个小题，共12分.1718小题各3分：19小题有2个空，每空3分，把答案写在题中横线上）17（3分）（2022河北）计算：18（3分）（2022河北）若，互为相反数，则19（6分

5、）（2022河北）如图1，作平分线的反向延长线，现要分别以，为内角作正多边形，且边长均为1，将作出的三个正多边形填充不同花纹后成为一个图案例如，若以为内角，可作出一个边长为1的正方形，此时，而是（多边形外角和）的，这样就恰好可作出两个边长均为1的正八边形，填充花纹后得到一个符合要求的图案，如图2所示图2中的图案外轮廓周长是；在所有符合要求的图案中选一个外轮廓周长最大的定为会标，则会标的外轮廓周长是三、解答题（本大题共7小题，共计66分）20（8分）（2022河北）嘉淇准备完成题目：发现系数“”印刷不清楚（1）他把“”猜成3，请你化简：；（2）他妈妈说：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果是常数

6、”通过计算说明原题中“”是几？21（9分）（2022河北）老师随机抽查了本学期学生读课外书册数的情况，绘制成条形图（图和不完整的扇形图（图，其中条形图被墨迹遮盖了一部分（1）求条形图中被遮盖的数，并写出册数的中位数；（2）在所抽查的学生中随机选一人谈读书感想，求选中读书超过5册的学生的概率；（3）随后又补查了另外几人，得知最少的读了6册，将其与之前的数据合并后，发现册数的中位数没改变，则最多补查了人22（9分）（2022河北）如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数，从下到上的第1个至第4个台阶上依次标着，1，9，且任意相邻四个台阶上数的和都相等尝试 （1）求前4个台阶上数的和是多少？（2）求第5

7、个台阶上的数是多少？应用 求从下到上前31个台阶上数的和发现 试用含为正整数）的式子表示出数“1”所在的台阶数23（9分）（2022河北）如图，为中点，点为射线上（不与点重合）的任意一点，连接，并使的延长线交射线于点，设（1）求证：；（2）当时，求的度数；（3）若的外心在该三角形的内部，直接写出的取值范围24（10分）（2022河北）如图，直角坐标系中，一次函数的图象分别与，轴交于，两点，正比例函数的图象与交于点（1）求的值及的解析式；（2）求的值；（3）一次函数的图象为，且，不能围成三角形，直接写出的值25（10分）（2022河北）如图，点在数轴上对应的数为26，以原点为圆心，为半径作优弧，

8、使点在右下方，且，在优弧上任取一点，且能过作直线交数轴于点，设在数轴上对应的数为，连接（1）若优弧上一段的长为，求的度数及的值；（2）求的最小值，并指出此时直线与所在圆的位置关系；（3）若线段的长为12.5，直接写出这时的值26（11分）（2022河北）如图是轮滑场地的截面示意图，平台距轴（水平）18米，与轴交于点，与滑道交于点，且米运动员（看成点）在方向获得速度米秒后，从处向右下飞向滑道，点是下落路线的某位置忽略空气阻力，实验表明：，的竖直距离（米与飞出时间（秒的平方成正比，且时，的水平距离是米（1）求，并用表示；（2）设用表示点的横坐标和纵坐标，并求与的关系式（不写的取值范围），及时运动员

9、与正下方滑道的竖直距离；（3）若运动员甲、乙同时从处飞出，速度分别是5米秒、米秒当甲距轴1.8米，且乙位于甲右侧超过4.5米的位置时，直接写出的值及的范围2022年河北省中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共16小题，共42分，1-10小题各3分，11-16小题各2分）1（3分）（2022河北）下列图形具有稳定性的是ABCD【考点】：三角形的稳定性【专题】1：常规题型【分析】根据三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性进行判断【解答】解：三角形具有稳定性故选：【点评】此题考查了三角形的稳定性和四边形的不稳定性，正确掌握三角形的性质是解题关键2（3分）（2022河北）一个整数用科学记数法

10、表示为，则原数中“0”的个数为A4B6C7D10【考点】：科学记数法表示较大的数；：科学记数法原数【专题】1：常规题型；511：实数【分析】把写成不用科学记数法表示的原数的形式即可得【解答】解：表示的原数为81555000000，原数中“0”的个数为6，故选：【点评】本题考查了把科学记数法表示的数还原成原数，当时，是几，小数点就向后移几位3（3分）（2022河北）图中由“”和“”组成轴对称图形，该图形的对称轴是直线ABCD【考点】：轴对称图形【专题】1：常规题型【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可【解答】解：

11、该图形的对称轴是直线，故选：【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义4（3分）（2022河北）将变形正确的是ABCD【考点】：完全平方公式【专题】11：计算题【分析】根据完全平方公式进行计算，判断即可【解答】解：，故选：【点评】本题考查的是完全平方公式，完全平方公式：可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”5（3分）（2022河北）图中三视图对应的几何体是ABCD【考点】：由三视图判断几何体【专题】27：图表型【分析】首先画出各个图形的三视图，对照给出的三视图，找出正确的答案；或者用排除法【解答】解：观察图形可知选项符合三视图的要求，故选：【点评】考查三视图问题，关键是

12、由主视图和左视图、俯视图可判断确定几何体的具体形状6（3分）（2022河北）尺规作图要求：、过直线外一点作这条直线的垂线；、作线段的垂直平分线；、过直线上一点作这条直线的垂线；、作角的平分线如图是按上述要求排乱顺序的尺规作图：则正确的配对是A，B，C，D，【考点】：作图基本作图【专题】1：常规题型【分析】分别利用过直线外一点作这条直线的垂线作法以及线段垂直平分线的作法和过直线上一点作这条直线的垂线、角平分线的作法分别得出符合题意的答案【解答】解：、过直线外一点作这条直线的垂线；、作线段的垂直平分线；、过直线上一点作这条直线的垂线；、作角的平分线如图是按上述要求排乱顺序的尺规作图：则正确的配对是

13、：，故选：【点评】此题主要考查了基本作图，正确掌握基本作图方法是解题关键7（3分）（2022河北）有三种不同质量的物体“”“”“”，其中，同一种物体的质量都相等，现左右手中同样的盘子上都放着不同个数的物体，只有一组左右质量不相等，则该组是ABCD【考点】83：等式的性质【专题】1：常规题型【分析】直接利用已知盘子上的物体得出物体之间的重量关系进而得出答案【解答】解：设的质量为，的质量为，的质量为：，假设正确，则，此时，选项中都是，故选项错误，符合题意故选：【点评】此题主要考查了等式的性质，正确得出物体之间的重量关系是解题关键8（3分）（2022河北）已知：如图，点在线段外，且，求证：点在线段的

14、垂直平分线上，在证明该结论时，需添加辅助线，则作法不正确的是A作的平分线交于点B过点作于点且C取中点，连接D过点作，垂足为【考点】：全等三角形的判定与性质；：线段垂直平分线的性质【专题】14：证明题【分析】利用判断三角形全等的方法判断即可得出结论【解答】解：、利用判断出，点在线段的垂直平分线上，符合题意；、利用判断出，点在线段的垂直平分线上，符合题意；、利用判断出，点在线段的垂直平分线上，符合题意；、过线段外一点作已知线段的垂线，不能保证也平分此条线段，不符合题意；故选：【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，线段垂直平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判断方法是解本题的关键9（3分）（2022

15、河北）为考察甲、乙、丙、丁四种小麦的长势，在同一时期分别从中随机抽取部分麦苗，获得苗高（单位：的平均数与方差为：，则麦苗又高又整齐的是A甲B乙C丙D丁【考点】：算术平均数；：方差【专题】1：常规题型；542：统计的应用【分析】方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，数据越不稳定；方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，数据越稳定，据此判断出小麦长势比较整齐的是哪种小麦即可【解答】解：，乙、丁的麦苗比甲、丙要高，甲、丁麦苗的长势比乙、丙的长势整齐，综上，麦苗又高又整齐的是丁，故选：【点评】此题主要考查了方差的意义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：方差越大，表明这组数据偏

16、离平均数越大，数据越不稳定；方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，数据越稳定10（3分）（2022河北）图中的手机截屏内容是某同学完成的作业，他做对的题数是A2个B3个C4个D5个【考点】15：绝对值；17：倒数；：整式的除法；：零指数幂；：众数【专题】11：计算题；51：数与式【分析】根据倒数的定义、绝对值的性质、众数的定义、零指数幂的定义及单项式除以单项式的法则逐一判断可得【解答】解：的倒数是，原题错误，该同学判断正确；，原题计算正确，该同学判断错误；1、2、3、3的众数为3，原题错误，该同学判断错误；，原题正确，该同学判断正确；，原题正确，该同学判断正确；故选：【点评

17、】本题主要考查倒数、绝对值、众数、零指数幂及整式的运算，解题的关键是掌握倒数的定义、绝对值的性质、众数的定义、零指数幂的定义及单项式除以单项式的法则11（2分）（2022河北）如图，快艇从处向正北航行到处时，向左转航行到处，再向右转继续航行，此时的航行方向为A北偏东B北偏东C北偏西D北偏西【考点】：方向角【专题】551：线段、角、相交线与平行线【分析】根据平行线的性质，可得，根据角的和差，可得答案【解答】解：如图，此时的航行方向为北偏东，故选：【点评】本题考查了方向角，利用平行线的性质得出是解题关键12（2分）（2022河北）用一根长为（单位：的铁丝，首尾相接围成一个正方形，要将它按如图的方式

18、向外等距扩1（单位：得到新的正方形，则这根铁丝需增加ABCD【考点】32：列代数式【专题】1：常规题型；512：整式【分析】根据题意得出原正方形的边长，再得出新正方形的边长，继而得出答案【解答】解：原正方形的周长为，原正方形的边长为，将它按如图的方式向外等距扩，新正方形的边长为，则新正方形的周长为，因此需要增加的长度为故选：【点评】本题主要考查列代数式，解题的关键是根据题意表示出新正方形的边长及代数式的书写规范13（2分）（2022河北）若，则ABC0D【考点】46：同底数幂的乘法【专题】11：计算题【分析】利用乘法的意义得到，则，根据同底数幂的乘法得到，然后根据零指数幂的意义得到，从而解关于

19、的方程即可【解答】解：，故选：【点评】本题考查了同底数幂的乘法：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即，是正整数）14（2分）（2022河北）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简过程如图所示：接力中，自己负责的一步出现错误的是A只有乙B甲和丁C乙和丙D乙和丁【考点】66：约分；：分式的乘除法【专题】11：计算题；513：分式【分析】根据分式的乘除运算步骤和运算法则逐一计算即可判断【解答】解：，出现错误是在乙和丁，故选：【点评】本题主要考查分式的乘除法，解题的关键是掌握分式乘除运算法则15（2分）（20

20、22河北）如图，点为的内心，将平移使其顶点与重合，则图中阴影部分的周长为A4.5B4C3D2【考点】：三角形的内切圆与内心；：平移的性质【专题】11：计算题【分析】连接、，因为三角形的内心是角平分线的交点，所以是的平分线，由平行的性质和等角对等边可得：，同理，所以图中阴影部分的周长就是边的长【解答】解：连接、，点为的内心，平分，由平移得：，同理可得：，的周长，即图中阴影部分的周长为4，故选：【点评】本题考查了三角形内心的定义、平移的性质及角平分线的定义等知识，熟练掌握三角形的内心是角平分线的交点是关键16（2分）（2022河北）对于题目“一段抛物线与直线有唯一公共点，若为整数，确定所有的值，”

21、甲的结果是，乙的结果是或4，则A甲的结果正确B乙的结果正确C甲、乙的结果合在一起才正确D甲、乙的结果合在一起也不正确【考点】：一次函数图象上点的坐标特征；：二次函数图象上点的坐标特征【专题】65：数据分析观念；533：一次函数及其应用【分析】分两种情况进行讨论，当抛物线与直线相切，求得，当抛物线与直线不相切，但在上只有一个交点时，找到两个临界值点，可得，4，5，故，4，5【解答】解：抛物线与直线有唯一公共点如图1，抛物线与直线相切，联立解析式得解得：，当时，相切时只有一个交点，和题目相符 所以不用舍去；如图2，抛物线与直线不相切，但在上只有一个交点此时两个临界值分别为和在抛物线上的最小值，但取

22、不到，的最大值，能取到又为整数，4，5综上，3，4，5，所以甲乙合在一起也不正确，故选：【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和一次函数图象上点的坐标特征和一元二次方程的根的判别式等知识点，数形结合是解此题的关键二、填空题（本大题有3个小题，共12分.1718小题各3分：19小题有2个空，每空3分，把答案写在题中横线上）17（3分）（2022河北）计算：2【考点】22：算术平方根【专题】11：计算题；511：实数【分析】先计算被开方数，再根据算术平方根的定义计算可得【解答】解：，故答案为：2【点评】本题主要考查算术平方根，解题的关键是熟练掌握算术平方根的定义18（3分）（2022河北）若

23、，互为相反数，则0【考点】14：相反数；54：因式分解运用公式法【专题】1：常规题型【分析】直接利用平方差公式分解因式进而结合相反数的定义分析得出答案【解答】解：，互为相反数，故答案为：0【点评】此题主要考查了公式法分解因式以及相反数的定义，正确分解因式是解题关键19（6分）（2022河北）如图1，作平分线的反向延长线，现要分别以，为内角作正多边形，且边长均为1，将作出的三个正多边形填充不同花纹后成为一个图案例如，若以为内角，可作出一个边长为1的正方形，此时，而是（多边形外角和）的，这样就恰好可作出两个边长均为1的正八边形，填充花纹后得到一个符合要求的图案，如图2所示图2中的图案外轮廓周长是1

24、4；在所有符合要求的图案中选一个外轮廓周长最大的定为会标，则会标的外轮廓周长是【考点】：正多边形和圆【专题】31：数形结合【分析】根据图2将外围长相加可得图案外轮廓周长；设，先表示中间正多边形的边数：外角为，根据外角和可得边数，同理可得两边正多边形的外角为，可得边数为，计算其周长可得结论【解答】解：图2中的图案外轮廓周长是：；设，以为内角的正多边形的边数为：，以为内角的正多边形的边数为：，图案外轮廓周长是，根据题意可知：的值只能为，当越小时，周长越大，当时，周长最大，此时图案定为会标，则会标的外轮廓周长是，故答案为：14，21【点评】本题考查了阅读理解问题和正多边形的边数与内角、外角的关系，明

25、确正多边形的各内角相等，各外角相等，且外角和为是关键，并利用数形结合的思想解决问题三、解答题（本大题共7小题，共计66分）20（8分）（2022河北）嘉淇准备完成题目：发现系数“”印刷不清楚（1）他把“”猜成3，请你化简：；（2）他妈妈说：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果是常数”通过计算说明原题中“”是几？【考点】44：整式的加减【专题】11：计算题；512：整式【分析】（1）原式去括号、合并同类项即可得；（2）设“”是，将看做常数，去括号、合并同类项后根据结果为常数知二次项系数为0，据此得出的值【解答】解：（1）；（2）设“”是，则原式，标准答案的结果是常数，解得：【点评】本题主要考查整

26、式的加减，解题的关键是掌握去括号、合并同类项法则21（9分）（2022河北）老师随机抽查了本学期学生读课外书册数的情况，绘制成条形图（图和不完整的扇形图（图，其中条形图被墨迹遮盖了一部分（1）求条形图中被遮盖的数，并写出册数的中位数；（2）在所抽查的学生中随机选一人谈读书感想，求选中读书超过5册的学生的概率；（3）随后又补查了另外几人，得知最少的读了6册，将其与之前的数据合并后，发现册数的中位数没改变，则最多补查了3人【考点】：扇形统计图；：条形统计图；：中位数；：概率公式【专题】11：计算题【分析】（1）用读书为6册的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再用总人数分别减去读书为4册、6册

27、和7册的人数得到读书5册的人数，然后根据中位数的定义求册数的中位数；（2）用读书为6册和7册的人数和除以总人数得到选中读书超过5册的学生的概率；（3）根据中位数的定义可判断总人数不能超过27，从而得到最多补查的人数【解答】解：（1）抽查的学生总数为（人，读书为5册的学生数为（人，所以条形图中被遮盖的数为9，册数的中位数为5；（2）选中读书超过5册的学生的概率；（3）因为4册和5册的人数和为14，中位数没改变，所以总人数不能超过27，即最多补查了3人故答案为3【点评】本题考查了概率公式：随机事件的概率（A）事件可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数也考查了统计图和中位数22（9分）（2022河

28、北）如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数，从下到上的第1个至第4个台阶上依次标着，1，9，且任意相邻四个台阶上数的和都相等尝试 （1）求前4个台阶上数的和是多少？（2）求第5个台阶上的数是多少？应用 求从下到上前31个台阶上数的和发现 试用含为正整数）的式子表示出数“1”所在的台阶数【考点】38：规律型：图形的变化类【专题】：规律型；51：数与式【分析】尝试：（1）将前4个数字相加可得；（2）根据“相邻四个台阶上数的和都相等”列出方程求解可得；应用：根据“台阶上的数字是每4个一循环”求解可得；发现：由循环规律即可知“1”所在的台阶数为【解答】解：尝试：（1）由题意得前4个台阶上数的和是；（2）

29、由题意得，解得：，则第5个台阶上的数是；应用：由题意知台阶上的数字是每4个一循环，即从下到上前31个台阶上数的和为15；发现：数“1”所在的台阶数为【点评】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是根据相邻四个台阶上数的和都相等得出台阶上的数字是每4个一循环23（9分）（2022河北）如图，为中点，点为射线上（不与点重合）的任意一点，连接，并使的延长线交射线于点，设（1）求证：；（2）当时，求的度数；（3）若的外心在该三角形的内部，直接写出的取值范围【考点】：圆的综合题【专题】152：几何综合题【分析】（1）根据证明：；（2）由（1）中的全等得：，所以，由等边对等角可得结论；（3）三角形的外心是

30、外接圆的圆心，三边垂直平分线的交点，直角三角形的外心在直角顶点上，钝角三角形的外心在三角形的外部，只有锐角三角形的外心在三角形的内部，所以根据题中的要求可知：是锐角三角形，由三角形的内角和可得结论【解答】（1）证明：是的中点，在和中，；（2）解：由（1）得：，；（3）解：的外心在该三角形的内部，是锐角三角形，即【点评】本题是三角形和圆的综合题，主要考查了三角形全等的判定，利用其性质求角的度数，结合三角形外接圆的知识确定三角形的形状，进而求出角度，此题难度适中，但是第三问学生可能考虑不到三角形的形状问题，而出错24（10分）（2022河北）如图，直角坐标系中，一次函数的图象分别与，轴交于，两点，

31、正比例函数的图象与交于点（1）求的值及的解析式；（2）求的值；（3）一次函数的图象为，且，不能围成三角形，直接写出的值【考点】：两条直线相交或平行问题【专题】533：一次函数及其应用【分析】（1）先求得点的坐标，再运用待定系数法即可得到的解析式；（2）过作于，于，则，再根据，可得，进而得出的值；（3）分三种情况：当经过点时，；当，平行时，；当，平行时，；故的值为或2或【解答】解：（1）把代入一次函数，可得，解得，设的解析式为，则，解得，的解析式为；（2）如图，过作于，于，则，令，则；令，则，；（3）一次函数的图象为，且，不能围成三角形，当经过点时，；当，平行时，；当，平行时，；故的值为或2或【

32、点评】本题主要考查一次函数的综合应用，解决问题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、等腰直角三形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理及分类讨论思想等25（10分）（2022河北）如图，点在数轴上对应的数为26，以原点为圆心，为半径作优弧，使点在右下方，且，在优弧上任取一点，且能过作直线交数轴于点，设在数轴上对应的数为，连接（1）若优弧上一段的长为，求的度数及的值；（2）求的最小值，并指出此时直线与所在圆的位置关系；（3）若线段的长为12.5，直接写出这时的值【考点】：圆的综合题【专题】152：几何综合题【分析】（1）利用弧长公式求出圆心角即可解决问题；（2）如图当直线与相切时时，的值最小（3

33、）由于是优弧上的任意一点，所以点的位置分三种情形，分别求解即可解决问题【解答】解：（1）如图1中，由，解得，（2）如图当直线与相切时时，的值最小在中，此时的值为（3）分三种情况：如图2中，作于，设，在中，整理得：，解得或（舍弃），此时的值为31.5如图3中，作交的延长线于设，在在中，整理得：，解得（舍弃）或3.3，此时的值为如图4中，作于，设，在中，整理得：，解得或（舍弃），不合题意舍弃此时的值为综上所述，满足条件的的值为或31.5或【点评】本题考查圆综合题、平行线的性质、弧长公式、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中

34、考压轴题26（11分）（2022河北）如图是轮滑场地的截面示意图，平台距轴（水平）18米，与轴交于点，与滑道交于点，且米运动员（看成点）在方向获得速度米秒后，从处向右下飞向滑道，点是下落路线的某位置忽略空气阻力，实验表明：，的竖直距离（米与飞出时间（秒的平方成正比，且时，的水平距离是米（1）求，并用表示；（2）设用表示点的横坐标和纵坐标，并求与的关系式（不写的取值范围），及时运动员与正下方滑道的竖直距离；（3）若运动员甲、乙同时从处飞出，速度分别是5米秒、米秒当甲距轴1.8米，且乙位于甲右侧超过4.5米的位置时，直接写出的值及的范围【考点】：反比例函数的应用；：二次函数的应用【专题】151：代

35、数综合题；31：数形结合【分析】（1）用待定系数法解题即可；（2）根据题意，分别用表示、，再用代入消元法得出与之间的关系式；（3）求出甲距轴1.8米时的横坐标，根据题意求出乙位于甲右侧超过4.5米的【解答】解：（1）由题意，点带入得：设，把，代入（2），由则当时，解得或把代入运动员在与正下方滑道的竖直距离是（米（3）把代入得解得或（负值舍去）甲坐标为恰好落在滑道上此时，乙的坐标为，由题意：【点评】本题以考查二次函数和反比例函数的待定系数法以及函数图象上的临界点问题考点卡片1相反数（1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数（2）相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数

36、轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等（3）多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“”号结果为负，有偶数个“”号，结果为正（4）规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“”，如a的相反数是a，m+n的相反数是（m+n），这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号2绝对值（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值互为相反数的两个数绝对值相等；绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数有理数的绝对值都是非负数 （2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：当a是正

37、有理数时，a的绝对值是它本身a；当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数a；当a是零时，a的绝对值是零即|a|a（a0）0（a0）a（a0）3倒数（1）倒数：乘积是1的两数互为倒数 一般地，a1 （a0），就说a（a0）的倒数是 （2）方法指引：倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”正像减法转化为加法及相反数一样，非常重要倒数是伴随着除法运算而产生的 正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0 没有倒数，这与相反数不同【规律方法】求相反数、倒数的方法 求一个数的相反数求一个数的相反数时，只需在这个数前面加上“”即可求一个数的倒数求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一求一个分数的倒数，

38、就是调换分子和分母的位置注意：0没有倒数4科学记数法表示较大的数（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法【科学记数法形式：a10n，其中1a10，n为正整数】（2）规律方法总结：科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n 记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号5科学记数法原数（1）科学记数法a10n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点

39、向右移动n位所得到的数若科学记数法表示较小的数a10n，还原为原来的数，需要把a的小数点向左移动n位得到原数（2）把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法还原是两个互逆的过程，这也可以作为检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法6算术平方根（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2a，那么这个正数x叫做a的算术平方根记为a（2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：被开方数a是非负数；算术平方根a本身是非负数（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找7列代数式（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含

40、有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式 （2）列代数式五点注意：仔细辨别词义 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分 分清数量关系要正确列代数式，只有分清数量之间的关系 注意运算顺序列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来规范书写格式列代数时要按要求规范地书写像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，

41、什么时要加括号注意代数式括号的适当运用 正确进行代换列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换【规律方法】列代数式应该注意的四个问题1在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量2要注意书写的规范性用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“”简写作“”或者省略不写3在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数4含有字母的除法，一般不用“”（除号），而是写成分数的形式8规律型：图形的变化类图形的变化类的规律题首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解探寻规律要认真观

42、察、仔细思考，善用联想来解决这类问题9整式的加减（1）几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接；然后去括号、合并同类项（2）整式的加减实质上就是合并同类项（3）整式加减的应用：认真审题，弄清已知和未知的关系；根据题意列出算式；计算结果，根据结果解答实际问题【规律方法】整式的加减步骤及注意问题1整式的加减的实质就是去括号、合并同类项一般步骤是：先去括号，然后合并同类项2去括号时，要注意两个方面：一是括号外的数字因数要乘括号内的每一项；二是当括号外是“”时，去括号后括号内的各项都要改变符号10同底数幂的乘法（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加amanam+

43、n（m，n是正整数）（2）推广：amanapam+n+p（m，n，p都是正整数）在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（xy）2与（xy）3等；a可以是单项式，也可以是多项式；按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加（3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂11完全平方公式（1）完全平方公式：（ab）2a22ab+b2可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”（2）完全平方公式有以下几个特征：左边是两

44、个数的和的平方；右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同（3）应用完全平方公式时，要注意：公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式12整式的除法整式的除法：（1）单项式除以单项式，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式关注：从法则可以看出，单项式除以单项式分为三个步骤：系数相除；同底数幂相除；对被除式里含有的字母直接作为商的一个因式（2）多项式除以单项式

45、，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加说明：多项式除以单项式实质就是转化为单项式除以单项式多项式除以单项式的结果仍是一个多项式13因式分解-运用公式法1、如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法平方差公式：a2b2（a+b）（ab）；完全平方公式：a22ab+b2（ab）2；2、概括整合：能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍3、要注意公式的综合应用，分解到每一个因式都不能再分解为

46、止14约分（1）约分的定义：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分（2）确定公因式要分为系数、字母、字母的指数来分别确定分式约分的结果可能是最简分式，也可能是整式当分子与分母含有负号时，一般把负号提到分式本身的前面约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先分解因式（3）规律方法总结：由约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分15分式的乘除法（1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母（2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位

47、置后，与被除式相乘（3）分式的乘方法则：把分子、分母分别乘方（4）分式的乘、除、乘方混合运算运算顺序应先把各个分式进行乘方运算，再进行分式的乘除运算，即“先乘方，再乘除”（5）规律方法总结：分式乘除法的运算，归根到底是乘法的运算，当分子和分母是多项式时，一般应先进行因式分解，再约分整式和分式进行运算时，可以把整式看成分母为1的分式做分式乘除混合运算时，要注意运算顺序，乘除法是同级运算，要严格按照由左到右的顺序进行运算，切不可打乱这个运算顺序16零指数幂零指数幂：a01（a0）由amam1，amamamma0可推出a01（a0）注意：00117等式的性质（1）等式的性质 性质1、等式两边加同一个

48、数（或式子）结果仍得等式；性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式（2）利用等式的性质解方程利用等式的性质对方程进行变形，使方程的形式向xa的形式转化应用时要注意把握两关：怎样变形；依据哪一条，变形时只有做到步步有据，才能保证是正确的18一次函数图象上点的坐标特征一次函数ykx+b，（k0，且k，b为常数）的图象是一条直线它与x轴的交点坐标是（，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）直线上任意一点的坐标都满足函数关系式ykx+b19两条直线相交或平行问题直线ykx+b，（k0，且k，b为常数），当k相同，且b不相等，图象平行；当k不同，且b相等，图象相交；当k，b都相同时，两条

49、线段重合（1）两条直线的交点问题两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解（2）两条直线的平行问题若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同例如：若直线y1k1x+b1与直线y2k2x+b2平行，那么k1k220反比例函数的应用（1）利用反比例函数解决实际问题能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型注意在自变量和函数值的取值上的实际意义问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明（2）跨学科的反比例函数应用题要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式同时体会数学中的转化思想（3）反比例函数中的

50、图表信息题正确的认识图象，找到关键的点，运用好数形结合的思想21二次函数图象上点的坐标特征二次函数yax2+bx+c（a0）的图象是抛物线，顶点坐标是（，）抛物线是关于对称轴x成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式顶点是抛物线的最高点或最低点抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x22二次函数的应用（1）利用二次函数解决利润问题在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值

51、要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围（2）几何图形中的最值问题几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论（3）构建二次函数模型解决实际问题利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题23方向角方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于90的角（1）方向角是表示方向的角；以正北，正南方向为基准，来描述物体所处的方向（2）用方向角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的

52、始边，以对象所处的射线为终边，故描述方向角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西（注意几个方向的角平分线按日常习惯，即东北，东南，西北，西南）（3）画方向角以正南或正北方向作方向角的始边，另一边则表示对象所处的方向的射线24三角形的稳定性当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性这一特性主要应用在实际生活中25全等三角形的判定与性质（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形26线段垂直平分线的

53、性质（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”（2）性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等27三角形的内切圆与内心（1）内切圆的有关概念：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点（2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形（3）三角形内心的性质： 三角形的内心到三角

54、形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角28正多边形和圆（1）正多边形与圆的关系 把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆（2）正多边形的有关概念中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距29圆的综合题圆的综合题30作图基本作图基本作图有：（1）作一条线段等于已知线段（2）作一个角等于已知角（3）作已知线段的垂直平分线（4）作已知角的角平分线（5）过一点作已知直线的垂线31轴对称图形（1）轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴