圆锥曲线中的倾斜角互补问题

1、 圆锥曲线中的倾斜角互补问题【引子】4-14-1其实对于倾料角至补的问题，我们并不陌生，例如入射光线和反射光线问題:设人沟入射光线，经过斗轴反射后，厶为反射光线此时两査线倾斜角氏补一、倾斜角互补，直线过定点钢2:已知虫-L0)设不曇直于工轴的直线/与抛物线v2=S.v4nZ于不同的两点P.Q,若工轴是ZPBO的角平分线，求证直线/过定点厲易M走/PBO话总-；/後、沅jn.絞PB.0B迪讥.紆角录朴：旳注%=0(xe+1)Cy2+1)卜卜kx+bkx2-hb(kxl+)(.r24-1+(Ax.-E-i)(.Yj+1)時囂管靜曲将心=乍%吕代入上式忖免b+心3=0=b=-k，所以直媒J为y=s过

2、定点(1.0)K(X+1)(x?+1)钢1:光线沿直线x+2y-l=0射入，经过x轴反射，求反射光线所旌直线才程解：如图*设入射光线为v+2y-l=0,斛率为-斗1占斗轴的交点月L0),则反射龙线经过&L0)、斜率为故反射尤线所在直线方提为：人：玄-2丁-！=0证明；如图设宜线/的方程沟丁=賦+血，P(xj,kxx+Z?),P(.y2,fcr2+&联立直线与抛物线方程消去yk2x-lkb)x+b2=0山韦达定理伽+y響*卓7J31oABb2二、倾斛角互科，直线有定向yk例3设P（XQ.VQ）是圆x2+y2=兀上的一点，EF是圆上两动息证明：如图，设PM是圜的切线，AB.PM分别交丁轴于N.M即

3、AB的斜率和切线PM妁斜率百_为相反数，k曲x2厂例4过椭圆+=(cib0)止任-点A(xv0)做两条倾斜Mab证明：如图，设0（*1、%）,C（x2,叫），AB的中点为M（x3,也），j211-2则由点墨法易得-一，令褊=4则氐.垒=一一,5CM在直线48上,ax3a故几5得心代冷以-斤代和，得且C的中点皿族导W知了）a2k2+b2*my护x由MN/BC=xkBC=k倔*Vo22结论1:过双曲线冷-务=1（0）上任-点且（和）做两条倾斜角互补帕直线aZr更双曲线于两点，結论2:过抛物线12=2px（左0）上任一点応（%）作两条倾斜角互补的査线交则Zl=Z2,由弦切角等于其所对的圆周角可知ZP

4、AB=ZBPM,Z1二APAB+ZANM,Z2=ZBPM+Z3,所以ZANM=Z3若加和FB的倾斜角互补，则山的斜率为定值皿bx互补的直线过椭圓于RC两点，则kBC=旷Vo抛物线于两点，则饥匚=注惫到上述椭圆、双曲线、抛物线上任一点A（xg,yQ）处的切线斜率分别为-化工?显然切线的斜率和直线的斜率互为相反数/.%/兀M【定理“：过圆锥曲线上任-亠I作两条倾斜角互补的直线交圆锥曲线J-BX两Af则EC的斜率是在H处的切线斜率的相反数例5:过曲线Ax7+By2+Dx+Ey+F=0A2+B20）_h一点户氏小）作直线PE.PFZ曲线于E.F,若直线PE与FF倾斜角互补，则直线EF的斜率为定值证明：

5、直线PE与PF的倾斜角互补，故它们的斜率互为相反数不iPE:y-yQ=k(x-x,直线PF.y-yQ=-k(x-x联立直线PE:y-10=k(x-xG)和曲线且/4-By2+Dx+v+F=0消去i得(A+Bk2)x2-D-Ek-h2Bky一2RlFxJx4-Bk2x-(2BxQyQ+ExQ)k+By02-Er0+F=0因为直线过卩（丸,坯），所以心走上述方程的一个根，由韦达定理可得住二加讦叫心+心+阳2+氐*尸x0(A+Bk2)堆=Q及3叮+Er沐;+F加门斤十升）,将R换成-左可得x0（A+Bk）xG(A+Bk2)_Bk2x+(2BxQyQ+ExJk+Ryj+EyG+FXp-(25x0-0_

6、+ExQ)k-(5v024-E%+F-AxQ)k十y&)所以=J%_Ve=_乎。,讦为定值（与戸E的斜率斤无关）0222三、圆锥曲线内接四边形倾斜角互补问题例6:若P（,v0）在阿外，过F引倾斜角互补的两条直线，分刑与圜交于4C和B.D?则直线AB.CD的倾斜角也互补证法二：A(rcosq；,rsincos仇、vsin0)*C(rcos馬、rsing),D(rcos0.rsill0)所以怙十丸加=斤血+爲c=0，即川月与CD倾斜角互补，ADBC倾斜角互补22例7:过摊罔亠+爲二1内点E作两条直线分别交椭圆于川/和CD?若直线ab且B和CD的倾斜角互补，求证：直线NC和ED的倾斜角互补证明：因为

7、直线貝*和CD的倾斜角互补，所以它们的斜率互为相反敎设直线AB:y=!q+E十E十E=2k.keZtan13tan丄122y因为ZCAB=ZEDB=ZC+Zl+Z2,ZCDB=ZPAB=ZC+Z3+Z4ZCXB+ZCZ)5=180aZC+Zl+Z2+ZC+Z3+Z4=180a又Zl+ZC+Z4=ZPFE=90AE.D比较（1）,（2）两式，.卩项系教为0，故4為+九$=0=（寻）+（寻）=0即直线且和的斜率芝和为0,即直线ACBD倾斜角互补【定理2:在圆锥曲线的内接四边形中，如果有一组对边的斜率互为相反数,则它的另一组对边的斜率也互为相反数四、圆锥曲线上存在定点使得倾斜角总是互补例8已知楠圓匕

8、$+荒=1,在椭圖上是否存在一点P,使得对所有不过点P且斜率为斤的直线匚当/与C交于丘B时，直线煦与戸丧倾斜角总是互补的?解：设A（xy1）.B（x2.y2P（x0.yQ）7直r+.r7二严号.x.x2=?,-?广+矿/广-严+旷十（%耳）（心一冷）,匚_y-y,儿-旳（儿貽）（-乃）+（%儿）（-逅）PA十人円上式分式中的分子（,r0-ViX-x2）+（v0-旳）（-耳）=2心坯一（屯+E）耳一（站+y2K+%叫+=2xQyQ-（工14-兀2）尹。_斥（鬲+*2）+2川龙+x（kx2+m）+x2（kx+川）=2gj%-（工i+x2）x?0-什（百+x2）址-2川工。+2kxxx2+川（X+口

9、）严；y輕善bmlr+ak显然直线ACBD也包舍在上述二次曲线方程中由（4玄专方1尹+G）（&x+5-,y+C-,）=07艇.化简得:I殳査线AC:Bry+1=0，直纟戋BD:A2x+B2y+C2=0Ax2+耳耳，+（昌尽+出J-fA2C1）x+（B1C2+艮GH+GG=0（2）或22aB,20b2b1kci223（矶f）_矶=0=与.皿由于也+忌側无关，所以宀用将方程纽的解代入得也+kPB=2兀坯站=0,b2+a2k2结论1：椭圆上存在定点刊需州必2如曙+丿或卅荷宀円需”十/便-ka2-b2得对所有不过点P且斜率为斤的直线匚当/与C交于/仏吋也+kPB=0jT2玖启蒂斫所有不过山附讪欣线人当

10、/与C交于A.B时，kPA+kp3=0结论弓：抛物线C：v2=2px(p0)上存在定点P吕得对所有不过点PII2kk斜率为斤的直线匚当/与C交于吋，也+%=0五、鳳锥曲线中的相交弦定理则PA.PB=PC.PD的克要条件是两条直线.PA.PC的倾斜角互补A例9:已知血CD是椭圆二十缶=1(0)的两条相交拓【圆锥曲线中的相交弦定理】：过戸作两条直线分别与圆锥曲线交于九E与CDQtrR交点为尸且它们的倾斜角互补，求证：PA.PB=PC.PD(即4BCD四点共圓)”-辰2v_b2I冷2结论2:双曲线C:各aV2z“計上存在定5萨帚萨乔)或证明：设P(x0,v0),直线妞B的倾斜角为B,则AB的参救方程

11、为x=xn-i-fcos0.，代入椭圆方程整理得V=V04-/Sill0 (Lrcos2+f72sm2+2(b2x0cos&+a2yQsui6)t+(b2x+a2y-ct2b2)=0所以出!.尸=b2cos26+a2sill20以&代9得PGPD=以4b1cos2+(72sin26所以PA.PB=PC.PD由圆琴定理的逆定理可知4BCD四点共圖例10已知抛物线y2=2pxp的两条AB.CD所在直线的交点为尸，且它们的倾斜角互补，求证：PA.PB=PC.PD（即H,D四点共圜）证明：设川刃的参数方程为+九5,代入抛物线方程整理得y=y0+tsm3sin201+2（%sin0pcos0）t+（r0

12、2-2pxQ）=0?所以PA.PB=花二”“sill0以B代臼得PC.PD=|站|=-管,所以PAPB=PC.PD由圆棘定理的逆定理可知A.B.CD四点共圆例11:已知点4（A+f占一右）二h2,3、4）是平面上的四个不间的点，若此四点共圆，求U怡应满足的条件解：四点.绻&4在同一个圆上询充要条件是直线&绻心4的倾斜角互补(t1)&11即心禺+人入也=o,口-右%_花十1代加丄F爲廿1*2同理心去=7TT7?将上两式代入g+G=0化简得铠切=1Xc0Ld设直线AB方程为y=k（x+c）,代入椭囲方程整理得六、圆锥曲线中切割线定理1.过圆锥曲线外一点迟仗曲儿）（儿老約作两条直线，其冲一条与曲线相

13、切（切点倾奈卜角互补则直线AB.且C的倾斜角也互补2.过圆锥曲线外一点P（%“）（.儿工0）作两条直线，其中一条与曲线相切，切点y证明：先看椭圆，如图，戸才=PB.PC二APAEsAPC4,即PAB=TPCA沟A,另一头与曲线相交于U若这两条直线的倾斜角互补厶一过理作直线AD直于工轴，且交直线FC于点D,过点尸作直线PF垂直于丁轴,七、与焦点有关的倾斜角互补问题例12过圆锥曲线的焦点的两条孩AR、CD的倾斜角互补，延长AD.BC,则它们相交于一足点P（对应准线与对称轴的萸点）2,2证明：対于榊國，如图，过椭圆冷+fy=l的左焦点耳（-的两条倾斜角/D则有尬+忌=亠+亠=山+5疋3+一0,8为/

14、),另条与曲线相交于*,c,则PA2=PB.PC的充要条件是直线尸且的则廿=昙2心厂25护，设PgZAFE=ZCPE-i-ZACP,所以ZBAD=ACADt分别萸直线AB.AC于罷E.F,所以XAEF=ZAPE4-APAB，!即直线AB.且C的倾制角互补，双曲线与抛物线的情况同理可证(k2+b1)x2+2ci1k2cx-ct1(k1c2-Z2)=0T设川(屯.fJ,月此书)互补的弦AB.CD,另两条直线AD.CB的倾斜角也互补，貝DCB炙于F (1ATNcb4点，交芒轴于F虽,且FM.FN=e2AB.AC,则F必为椭圖的焦二2证明：不妨设该准线为椭圆的右准线，则X=0）,丘=ca整理得2兀禹一

15、（耳（?）（西+工J-2cxq=0,2将代入解得XQ=-,即尸为左准线与工轴的焦点对于抛物线如图，过抛物线/=2py的焦点尸彳）的两条倾斜角互补的弦整理得g-2P）Q=二儿=-号则宀仝十鼻耳一土二丄J-贰宀2煦2pxB代入兀2=2py中得x22pkp=0;1V韦达定理得兀“q=p1j设P(O丿。)ty八、与准线有关的倾斜角互补问题2例X椭吟+沪4。）的-条准线与对称轴的交几过I作椭圆的一条割线更椭圆于E.C两点T作倾斜角与月C互补的割线交椭M于血N两代入椭同方程得(t?2sill23+b2cos20)t2+2卜wt+=QAB.AC-tJ2-_；7；=2.,rr麒co$粉siir+cos0代入椭

16、圆方程整理得(b1cos20+a1sin20)t22rxQb2cos0+b1(.r02-a2)=0AB.CD则另两条直线AD.CB倾斜角也互补，交于尸，设直线畀月设川C倾斜角为0,则直线宜匚参攒方程为设直线MN与x轴更点为F（x0,O）,则直线抱小参数方程为x=x0-tcos6y=rsin6A=+rcos?AC(7力参数)j；=tsine线交抛物线于两点，作倾斜角与互补的割线交抛物线则直线MN倾斜角为7T-0,AC参數方程为设直线A例的参数方程涌x=x0+tcos(-3)=x0-tcos3y=tsin-6=tsin0由参如的几何意5啓r=miFM.FN=e2AB.AC?4-门?asnr04-Z

17、rcos0easnr0+bcos0所以/和=b2xQ=c,即F必为橢圆的焦点用同样的方法可以证明对于或曲线也有和椭圆一样的结论例14若抛物线y2=2pxp0）的一条准线与对称轴的交点为/,过川作抛物线的一条割于-N两点且FM.FN=e2AB.AC,则F必为抛物线的焦点证明：昇（-，设尸（勺0）,设直线AC倾轩角为白代入拋物线方程得产sill26-2cos6)+p7=0AB.AC=trt2=代入抛物线方程得t2sin20+2ptcos-2pxG=0=FM.FN=q由FM.FN=e2AB.AC=聲厘二=心=左，故F为抛物线的焦点snr0snr62结论：若圆锥曲线的一条准线与对称轴钓交点为月，过点/作尉锥曲线的一条剧线交圆锥曲线于EC两点，作倾斜角BCA补的割线交圆锥曲线于九TN两点,交芒轴于F点，且FM.FN=e2AB.AC.则F必为圆锥曲线的焦点【拓展】；若两直线倾斜互补改为两直线垂直，则又如何？例15:过曲线Ax2+By2=1（才+B2（j）上一点P（xQ,%）作直线PE.PF交曲线于E,F,若FE1PF,求证：直线EF恒过定点解得x=ABkB+A证明：假设直线PE和尸F都不与斗轴垂直，设直线PE:y-y.=kx-x0)则JL线PF-.v-v(A+Rf疋+(2Bh