北大高代课件高等代数第5章

1、第5章 二次型二次型及其矩阵表示标准形唯一性正定二次型 二次型理论起源于解析几何中化二次曲线或二次曲面方程为标准形问题.第5.1节 二次型及其矩阵表示 这里首先介绍一些基本概念.基本内容二次型的概念线性替换矩阵合同 称为数域P上的一个n元二次型，简称二次型.称为二次型的系数.1.二次型的概念(1)二次型定义(2)二次型的标准形只含有平方项的二次型，即称为标准形. 例如：一般二次型标准型(3)二次型的矩阵表示二次型f 与对称矩阵是一一对应的. 称A为二次型f 的矩阵；称A的秩为二次型f 的秩.二次型f 的标准形与对角矩阵是一一对应的.二次型的矩阵表示例1 写出二次型的矩阵解简称线性替换.2.线性

2、替换定义问题：二次型经过可逆的线性替换仍为二次型，新老二次型的矩阵之间关系如何？设有二次型经过可逆线性替换X=CY，有3.合同矩阵定义：设A、B为数域P上n阶矩阵，如果有数域P上可逆矩阵C，使 CTAC=B称A与B合同.合同是矩阵之间的一种关系，具有反身性对称性传递性结论：经过非退化的线性替换，新老二次型的矩阵是合同的. 以下考虑利用非退化的线性替换化二次型为标准形的问题配方法、初等变换法.定理 数域P上任意二次型都可经过非退化线性替换化为标准形. 先以具体例子体现该定理内容，然后给出定理证明.1.配方法例1 用配方法化二次型为标准形,并求所用的非退化线性替换.解 (1)由于f 中含有x1的平

3、方项,首先把含x1的项归并起来进行配方，得第5.2节 标准形则非退化线性替换XCY化二次型为标准形：解 (2)由于f 中不含有平方项,首先令所求非退化线性替换为XCZ，这里配方法化二次型为标准形（小结） 利用和的平方公式逐步消非平方项（交叉项）.(1)若二次型含有xi的平方项，则把含有xi的项集中,再按xi配成平方项，其余类推，直至都配成平方项； (2)若在二次型中没有平方项,但aij0(i j),则首先作非退化线性替换：化二次型为(1)的情形，再配方. 定理证明：对变量的个数n作数学归纳法.n=1时， f(x1)=a11x12为标准形.假设对n-1元二次型结论成立，再设关于x2,xn的二次型

4、 由归纳法假定，有非退化线性替换于是非退化线性替换 (2)aii=0(i=1,2,n),但有a1j0(j1), 不妨设a120.令为n-1元二次型，由归纳法假设它可以化为标准形. 综上所述，证毕. (3)a1j=0(j=1,2,n),由对称性ai1=0(i=1,2,n), 此时上述定理也可用合同关系叙述为： 数域P上任意一个对称矩阵都合同于一个对角矩阵.2.初等变换法配方法的矩阵实施过程： （自看）内容回顾:定理 数域P上任意二次型都可经过非退化线性替换化为标准形.1.配方法用合同关系叙述为： 数域P上任意一个对称矩阵都合同于一个对角矩阵.2.初等变换法对称矩阵都合同于一个对角矩阵，即有可逆矩

5、阵C使 CT AC=为对角矩阵. 由于C为可逆矩阵，因此可以写成一系列初等矩阵的乘积,即 C=P1,P2 Ps ,从而 CTAC=PsTP2TP1T AP1,P2 Ps=. 由于初等矩阵有三种类型:P(i,j) , P(i(k) , P(i,j (k) 且P(i, j)T = P(i, j) ,P(i(k)T= P(i(k) ,P(i,j (k)T= P(j,i (k)于是 P(i, j)TA P(i, j)= P(i, j)A P(i, j) P(i(k)TA P(i(k)= P(i(k)AP(i(k) P(i,j (k)TAP(i,j (k)=P(j, i(k)AP(i,j (k)定理表明

6、：对A的行每作一次初等变换的同时，也对A的列作相同的初等变换，经过若干次这样的双变换就可把A化为对角矩阵.第 i 列 的k 倍加到第 j 列初等变换化二次型为标准形的步骤： (1)构造2n n矩阵 (2) 例2 用初等变换法将二次型化为标准形,并求相应的非退化线性替换.解 二次型f 的矩阵 于是 则可逆线性变换X=CY化二次型为标准形思考练习第5.3节 唯一性（二次型的规范形）要说的话：一个二次型 f (x1,xn)=XTAX ，用不同的非退化线性替换均可将其化为标准形, 因此其标准形不惟一.但需要指出的是:尽管标准形不惟一,但标准形中非零平方项的个数唯一确定, 它等于二次型的秩r(合同矩阵有

7、相同的秩), 这与所作的非退化线性替换无关. 至于标准形中正、负系数的平方项的项数, 则随着数域的变化而变化. 以下在复数域和实数域上讨论唯一性问题.且规范形是唯一的，其中r =r(A).证明：复系数的二次型 f (x1,xn)=XTAX 经过适当的非退化线性替换化XCY可化为标准形1.复数域情形定理：任意一个复系数的二次型 f(x1,xn)=XTAX 均可经过适当的非退化线性替换化为规范形推论2 两个n阶复对称矩阵A合同r(A)=r(B).推论1 任意一个n阶复对称矩阵A均合同于矩阵且规范形是唯一的，其中r =r(A).证明 实系数的二次型 f (x1,xn)=XTAX 经过适当的非退化线性

8、替换化XCY可化为标准形2.实数域情形定理（惯性定理）任意一个实系数的二次型 f(x1,xn)=XTAX 均可经过适当的非退化线性替换化为规范形下证唯一性. 设实二次型f(x1,xn)=XTAX 经非退化线性替换XBY和XCZ分别把它化为规范形则有p=q.事实上，若pq,由于其中ZC-1BY=GY，即考虑齐次线性方程组由于方程个数=q+n-p=n-(p-q)0,代到(*)式右端， 其值0,因此，应有pq.同理可证qp,从而p=q.定义 实二次型 f (x1,xn)=XTAX 的规范形中，正平方项的个数p 称为f (x1,xn)的正惯性指数,负平方项的个数r-p称为f (x1,xn)的负惯性指数

9、,它们的差p-( r-p)= 2p - r称为f (x1,xn) 的符号差.推论1 两个n阶实对称矩阵A合同r(A)=r(B)，且正惯性指数相等.推论2 任意一个n阶实对称矩阵A均合同于矩阵例如 因为秩都是3，而A和C正惯性指数相同，则 A与C合同,A与B不合同.第5.4节 正定二次型 对不同二次型进行分类，在理论上和应用上都有重要意义,本节介绍一种重要的实二次型 正定二次型.基本内容基本概念正定二次型判定定理负定、半正定、半负定二次型1.基本概念定义：设有实二次型f(x1,xn)=XTAX,如果对任意的X0，都有 f(x1,xn)=XTAX0称f 为正定二次型;相应的矩阵A称为正定矩阵，记为

10、A0; ；若对任意X0都有f)的充分必要条件是标准形的n个系数均为正.证明 若可逆线性替换X=CY使f =XTAX=YT(CTAC)Y=YTY =由于C可逆，所以X0与Y0等价.而X0时，即标准形的n个系数均为正.推论1 f=XTAX正定（或A）的充分必要条件是正惯性指数等于n.推论2 f=XTAX正定（或A）的充分必要条件是存在可逆阵C，使A=CTC.推论3 f=XTAX正定（或A）则A0.例1解该二次型正定.问题：对一般的二次型，将其化为标准形非易事，能否直接利用二次型的矩阵A判别它是否正定？A的顺序主子式定义1阶顺序主子式2阶顺序主子式n阶顺序主子式定理3 二次型f(x1,xn) = X

11、TAX正定(或A)的充分必要条件是A的各阶顺序主子式都大于零,即证明 ()设二次型对每一个k (1k n),令从而二次型fk(x1,xk) 正定，故其矩阵的行列式() 对n作数学归纳法.当n=1时，由条件a110, 显然有f(x1)正定. 假设对n-1元二次型结论成立，下证n元的情形也成立.即A的各级顺序主子式都大于零.由于A1的所有顺序主子式即为A的1,2,n-1阶顺序主子式,从而A1的所有顺序主子式均大于零，由归纳法假设知A1是正定矩阵.故存在n-1级可逆矩阵G，使 GTA1G=En-1令对称矩阵与对角矩阵合同两端取行列式，C2A=a.依据条件A0,得a0.因此，A与单位矩阵合同，故A为正定矩阵，即二次型f(x1,xn) = XTAX为正定二次型. 解各级顺序主子式所以，f是正定二次型.例2 判断二次型是否正定. 解各级顺序主子式故f不是正定二次型.例3 判断二次型是否正定. 解f 正定，应有例43.负定、半正定、半负定二次型判定定理(1)负定二次型 若f 负定，则 -f 正定;因此有如下结论定理 (i)n元二次型f=xTAx负定的充分必要条件是标准形的n个系数均为负；(ii)n元二次型f=xTAx负定的充分必要条件是负惯性指数等于n；(iii)n元二次型f=xTAx负