数学建模下课程为两学期独立开课

1、教学安排数学建模课程为两学期，独立开课。本学期数学建模(1)内容(优化、离散)：课本第1-4，8，11章(部分内容)。下学期数学建模(2)内容(方程、随机)：课本第5-7，9-10章(部分内容) 。考核说明（1）平时作业和出勤2030%，（2）期末闭卷考试8070%。课程网盘 /s/1qXwBikk上学期考试成绩总人数118，考试人数111，总评均分82, 90分以上37人，不及格3人。补考时间：9月9日周五下午2:40-4:30补考地点：理学院4545.1 传染病模型5.4 药物在体内的分布与排除（房室模型）5.6 人口预测和控制第五章 微分方程模型人类最大的威胁传染病 疫病名时间 死亡率

2、鼠疫6世纪 30%-100% 天花 15世纪 30% 霍乱18世纪 30%-100% 埃博拉1976年 50%90% 艾滋病毒 1980年 61% 疯牛病1985年 100% 禽流感1997年 33.3% 新埃博拉 2014年 90%中新网：新加坡寨卡感染病例升至258起 或将进一步蔓延2016年09月06日 08:52Between November 2002 and July 2003, an outbreak of SARS in Southern China caused an eventual 8,273 cases and 775 deaths reported in multip

3、le countries with the majority of cases in Hong Kong. (9.6% fatality).Within weeks, SARS spread from Hong Kong to infect individuals in 37 countries in early 2003.WikipediaSevere acute respiratory syndrome (SARS,非典型肺炎 )2003年全国大学生数学建模竞赛A题问题 描述传染病的传播过程 分析受感染人数的变化规律 预报传染病高潮到来的时刻 预防控制传染病蔓延5.1 传染病模型三类人已感

4、染者(Infective, 病人)未感染者(Susceptible，易感染者)移出者(Removed，治愈免疫，隔离，死亡等) 已感染人数 (病人) i(t) 每个病人每天有效接触(足以使人致病)人数为Malthus模型假设若有效接触的是病人，则不能使病人数增加必须区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)建模?短期预测模型Logistic模型（SI模型）区分已感染者(infective)和未感染者(易感染者susceptible)假设1）总人数N不变，病人和健康 人的 比例分别为 2）每个病人每天有效接触人数为, 且使接触的健康人致病建模 日接触率AIDS等1/2tmii010ttm新增病人高

5、潮时刻 (日接触率) tmLogistic 模型所有人被感染?t=tm, di/dt 最大感染无治愈模型Logistic模型SIS模型传染病无免疫性病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染增加假设痢疾、肺炎、淋病等3）病人每天治愈的比例为 日治愈率建模 日接触率1/ 感染期 一个感染期内每个病人的有效接触人数，称为接触数。有治愈无免疫模型Susceptible Infective SusceptibleSIS的解析解试试看：解析解怎样求？dsolve(Dy=lemda*y*(1-y)-mu*y,y(0)=i0,t)SIS模型i0i0接触数 =1 阈值感染期内有效接触感染的人数不超过病人数1-1/

6、i0思考：Logistic模型 (SI模型)如何看作SIS模型的特例？idi/dt01 10ti 11-1/i0t 1di/dt 0SIR模型传染病有免疫性病人治愈后即移出感染系统，称移出者肝炎、SARS等假设1）总人数N不变，病人、健康人和移出者的比例分别为2）病人的日接触率 , 日治愈率, 接触数 = / 建模需建立 的两个方程有治愈有免疫模型Susceptible Infective RemovedSIR模型无法求出 的解析解！在相平面 上研究解的性质思考：r(t)的方程？R0=S/=S表示平均每个病人总致病人数。R01/ i(t)先升后降至0P2: s01？P3P4P2S0SIR模型预

7、防传染病蔓延的手段 (日接触率) 卫生水平(日治愈率) 医疗水平传染病不蔓延的条件s01-1/ 提高阈值 1/ 降低 (=/) , 群体免疫疫情实证分析(Kermack-McKendrick, P145图)19041905年，孟买及西北部各省和旁遮普邦发生瘟疫，平均每周死亡1.8万人 。 r-孟买死亡人数。（新增死亡病例）SARS疫情的实证分析与Kermack同样的方法王铎,赵宵飞.SARS疫情的实证分析和预测J.北京大学学报(医学版),2003,5(S):72-74.一句话小结不同的领域可以共享相同或类似的数学模型，但所关注的问题会有所不同；不能求得解析解的方程仍可用相轨线办法分析解的性质。

8、进一步的问题考虑出生和死亡因素的传染病模型考虑潜伏期的传染病模型SEIR考虑被动免疫的传染病模型MSIR考虑随机接触率的传染病模型SSIR参考 随机SIS: 参考A. Gray , D. Greenhalgh , L. Hu , X. Mao , and J. Pan, A Stochastic Differential Equation SIS Epidemic Model, SIAM J. Appl. Math. 71 , 2011, pp. 876-902习题P180ex1.理论证明P144表下第1段“可以看出” 。在SIR 模型中考虑出生与死亡的因素。假设全体人群以相同出生率生育婴儿，

9、且婴儿为易感人群。死亡率与出生率相等，从而人群总数不变。试建立数学模型描述疾病的流行特征，并分析传染病不蔓延的条件。房室系统的概念二房室模型的建立模型求解不同给药方式分析参数估计技巧进一步推广5.4 药物在体内的分布与排除（药物动力学之房室模型）第一章： 如何施救药物中毒转移率dx/dt正比于x排除率dy/dt正比于y胃肠道血液系统口服药物体外药量x(t)药量y(t)y(0)=0单房室(血液系统)模型 药物进入机体形成血药浓度(单位体积血液的药物量) 血药浓度需保持在一定范围内给药方案设计 药物在体内吸收、分布和排除过程 药物动力学 建立房室模型(Compartmental Models) 房

10、室机体的一部分，药物在一个房室内均匀分布(血药浓度为常数)，在房室间按一定规律转移 本节讨论二室模型中心室(心、肺、肾等)和周边室(四肢、肌肉等)药物动力学之房室系统 中心室周边室给药排除模型假设 中心室(1)和周边室(2),容积不变 药物在房室间转移速率及向体外排除速率，与该室血药浓度成正比 药物从体外进入中心室，在二室间相互转移,从中心室排出体外模型建立复习：常系数齐次线性方程组通解(n=2)(1)两个不等的实数特征根, , (2)两个相等的实数特征根=, (3)两个共轭复数特征根i, 线性常系数非齐次方程对应齐次方程通解模型建立可证明：特征方程有两个不相等负根(习题5)几种常见的给药方式

11、1.快速静脉注射t=0 瞬时注射剂量D0的药物进入中心室,血药浓度立即为D0/V1给药速率 f0(t) 和初始条件详解因f0(t)=0, 为齐次方程，通解为代入方程第一式（第二式也可）比较两边e-t, e-t系数得到由初始条件得求解得2.恒速静脉滴注t T, c1(t)和 c2(t)按指数规律趋于零(解的公式？)药物以速率k0进入中心室0TttT以后，静脉注射停止吸收室中心室3.口服或肌肉注射相当于药物( 剂量D0)先进入吸收室，吸收后进入中心室吸收室药量x0(t)错！思考题：怎样确定A, B, E? C2(t)的公式？ 参数估计技巧各种给药方式下的 c1(t), c2(t) 取决于参数k12

12、, k21, k13, V1,V2t=0快速静脉注射D0 ,在ti(i=1,2,n)测得c1(ti)由较大的 用最小二乘法定A,由较小的 用最小二乘法定B,为什么不4个参数一起拟合？拟合:尽可能低维、线性很难测定进入中心室的药物全部排除参数估计技巧思考题: V2怎么估计呢？参数估计顺序：A, B, V1 k13 k21 k12房室模型建模小结分析各房室的关联；建立线性微分方程组模型；写出微分方程组的通解；用初始条件和代入方程求得特解；用观测数据估计模型参数参数估计可用分解技巧，简化计算，使结果更可靠。进一步的问题多房室系统模型（ partment model）非线性房室模型随机房室模型（更实际

13、）房室模型在其他领域的推广与应用其他注射方式下的参数估计问题(思考题：恒速静脉滴注情形的参数估计技巧？)参考阅读 周晓芳,陈小全,周鲁,生理房室模型药物动力学的研究进展 , 预防医学情报杂志 2002年06期 陈增敬, 关于血浆中放射性钙C47浓度的计算公式, 数理统计与应用概率，1995年 10卷 3期习题P180ex5。P180ex6。在北美的五大湖中，安大略湖处于伊利湖的下游，安大略湖不仅接受伊利湖来的水，还要接受非伊利湖流入的水，已知流入安大略的水有 5/6 是伊利湖流出的。试建模描述这两个湖的污染情况。进一步，假设除去控制不了由伊利湖自安大略湖的流动外， 流入伊利湖和安大略湖的所有污

14、染都 暂时被停止了。试计算把安大略净化到 50%以及 5%所需要的时间。人口模型介绍ODE建模PDE建模人口预测人口控制与计划生育几个人口发展指数参考文献5.6 人口预测和控制(常、偏微分方程模型)研究人口模型的意义人口控制人口系统工程社会保障寿险精算种群生态学中国人口数量增长情况人口模型概述宏观模型: 总人口, 不考虑年龄， Malthus模型, Logistic模型（本节ODE）微观模型：考虑年龄结构1940s, Leslie差分方程模型(第6章)1960s, Verhulst偏微分方程模型（本节PDE）1970s, Pollard随机方程模型 (第9章)连续时间马尔萨斯指数增长模型离散时

15、间模型x(t) 时刻t的人口基本假设 : 人口(相对)增长率 r 是常数(r很小)今年人口 x0, 年增长率 rk年后人口随着时间增加，人口按指数规律无限增长美国人口参数x0, r的估计数据(课本P167，美国人口1790-2000)线性化拟合(课本P167)变换lnx=lnx0+rt，解线性方程组得lnx0和r。短期拟合（1790-1900)r = 0.2743/10年，x1790=4.2百万, x1900 = 85.6百万长期拟合（1790-2000)r = 0.2022 /10年，x1790 =6.0百万，x2000 = 442.1百万（4.421亿）短期数据拟合(1790-1900)程

16、序jye4p67r = 0.2743，x1790 =4.1884，x1900 =85.6179误差不大长期数据拟合(1790-2000)r = 0.2022，x1790 =6.045，x2000 = 442.1程序jye4p67误差很大指数增长模型的局限性 可用于短期人口增长预测 不能预测较长期的人口增长过程怎样改进？仔细分析发现：人口增长率r不是常数(逐渐下降)x(t)r(t)阻滞增长模型(Logistic模型)人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用且阻滞作用随人口数量增加而变大假设r固有增长率(x很小时)xm人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）r是x

17、的减函数dx/dtx0 xmxm/2xmtx0 x(t)S形曲线, x增加先快后慢x0 xm/2阻滞增长模型(Logistic模型)？ 利用统计数据用最小二乘法作拟合（中期）例：美国人口数据（单位百万） 1860 1870 1880 1960 1970 1980 1990 31.4 38.6 50.2 179.3 204.0 226.5 251.4阻滞增长模型(Logistic模型)注意: 课本P168方法值得商榷(1)去掉异常数据无根据；(2) 计算结果都比实际数据小，显然不合理。修改方法：直接做非线性拟合阻滞增长模型非线性拟合x1860 =35.99， r = 0.1996，xm=481.

18、98程序jye4p168模型检验全局预测方法：直接用拟合函数 x2000 = 274.18局部方法（一步预测）：在90年数据上修正x(2000)=275.4实际为281.4 (百万)加入2000年人口数据后重新估计模型参数(程序jye4p168b.m)模型应用预报美国2010年的人口x0=37, r=0.192, xm=537x(2010)=304.5参考阅读：美国2010年人口普查结果是308.7(百万）模型比较比较不同方法预测精度，选定最佳组合模型：Malthus或Logistic拟合：长期、中期、短期等预测：全局或局部方法一句话小结用理论建立模型，再用数据估计参数数据并不是越多越好 考虑

19、年龄分布 只考虑自然出生与死亡，不计迁移人口发展方程人口PDE建模和预测人口发展方程一阶偏微分方程为什么没有考虑出生率？人口预测已知函数（人口调查）出生率（控制人口手段）0tr解释：从现在t=0看， 10年以后年龄r小于t= 10岁的人的密度由将来的出生率决定；年龄大于10岁的人的密度由现在的人口分布决定证明作为习题出生率f(t)的进一步建模总和生育率（平均每个育龄妇女生育胎数）h生育模式015,49人口预测：发展方程+出生率模型人口指数1）人口总数2）平均年龄3）期望寿命t时刻出生的人，死亡率按 (r,t) 计算的平均存活时间4）老龄化指数控制生育率控制 N(t)不过大控制 (t)不过高时刻

20、存活的比例知识：期望(平均)寿命世界卫生组织WHO报告: 2013年世界期望(平均)寿命71岁。其中女性73岁、男性68岁。 1日本83.4， 2香港82.8，3瑞士82.3，4澳大利亚81.9，5意大利81.9，, 35美国78.5，, 83中国73.5, , 最低塞拉利昂46。1.上海80.26，2.北京80.18，3.天津78.89，4.浙江77.73，5.江苏76.63，, 30.云南69.54，31.西藏68.17 影响寿命的主要因素：医疗条件，生活方式，性别，遗传，环境等。习题1. 尝试下列方法，用Malthus指数增长模型拟合1790-2000美国人口数据，并与书上拟合方法作比较。非线性最小二乘拟合？lsqcurvefit直接利用x0真实数据， 仅拟合一个参数r。收集中国1980年以来的总人口数据，拟合Logistic阻滞增长模型，并预测2016-2017年中国人口。验证P170(16)式为方程(14)的解 。中国人口问题人口红利制造中国30年经济奇迹人口问题造成中国70年的贫穷30年计划生育政策的副作用少子化. 妇女总和生育率的过快下降，明显低于正常的人口生育更替水平。在1995年前后我国0至14岁少儿人口绝对数达到了最高峰，大约为3.34亿人，2010年的时候减少到2.2亿人。 老龄化。根据联合国人口署的预测，到2020年我国6