集合的基本概念及其应用

1、集合的基本概念及其应用目标认知：知识要点：集合的概念及表示法、集合与集合之间的关系、集合的运算。学习要点：集合中元素的三要素、集合之间的四大关系及运算。学习重点、难点：对集合中元素的三要素的应用.运用集合的两种常用表示方法：列举法与描述法，正确表示一些简单的集合；(3 )弄清元素与子集、属于与包含之间的区别；集合的交集与并集、补集的概念；集合的交集与并集、补集“是什么”，“为什么”，“怎样做”。学习内容：集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础，一方面，许 多重要的数学分支，都建立在集合理论的基础上。另一方面，集合论及其所反映的数学思想， 在越来越广泛的领域中得到应用。

2、集合的有关概念：集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这 些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。一般地，研究对象统称为元素(element)，一些元素组成的总体叫集合(set)，也简称 集。关于集合的元素的特征确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者 不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体(对象)，因此， 同一集合中不应重复出现同一元素。集合相等：构成两个集合的元素完全一样元素与集合的关系：如果a是集合A的元素，就说a属于(belong to)A，记作

3、aA如果a不是集合A的元素，就说a不属于(not belong to)A，记作a您A常用数集及其记法非负整数集(或自然数集)，记作N正整数集，记作或+.整数集，记作Z有理数集，记作Q实数集，记作R（二）集合的表示方法:我们可以用自然语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列 举法和描述法来表示集合。（1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内。如：1，2, 3, 4, 5，/，3x+2，5己工? +/ .，（2）描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在人括号 内。具体方法：在大 括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线

4、后写出 这个集合中元素所具有的共同特征。（三）集合与集合之间的“包含”关系：集合A是集合B的部分元素构成的集合，我们说集合B包含集合A；如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集 合A是集合B的子集（subset）。记作：AB（或BA），当集合A不包含于集合B时，记作 AB，用Venn图表示两个集合间的“包含”关系：AB（或BA）（四）集合与集合之间的“相等”关系：AB且BA，则A与B中的元素是一样的，因此A=B结论：任何一个集合是它本身的子集.（五）真子集的概念：若集合B，存在元素xB且x您A，则称集合A是集合B的真子集（proper subset）。C D记

5、作：AB（或BA）（六）空集的概念：不含有任何元素的集合称为空集（empty set），记作：曰规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。（七）并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并 集，记作：AUB 读作：A 并 B”，即：AUB=x!xA，或 xBVenn图表示:说明：两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有元素组成的集合（重 复元素只看成一个元素）。（八）交集:一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集;即 AHB=xlxeA，且 xEB；交集的 Venn图表示:记作：AHB，读作：“A交B”

6、，说明：两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B的公共元素组成的集合。（九）补集：全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个 集合为全集，通常记作U。补集：对于全集U的一个子集A，由全集U中所有不属于集合A的所有元素组成的集 合称为集合A相对于全集U的补集（complementary set），简称为集合A的补集，记作：排& ； 即 CuA=x|xeU_axA；补集的 Venn图表示：说明：补集的概念必须要有全集的限制.（十）求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的 关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时

7、，常常从这两个字眼出发去揭示， 挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。（十）集合基本运算的一些结论：ACbUa, AfUB, ACA=A, AC 曰=曰，ACB=BCAaUa=b, bWab, aa=a, ad =a, ADB=BDA(%A)Da=U, (&A)Ca=9若acb=a，贝0 ab，反之也成立若AUB=B,则A匚B，反之也成立若 XE(ACB),则 xEA 且 xEB若 xE(AUB),则 XEA, 或 XEB本周相关例题：O1.已知全集U=R，集合H*kT|M), 3 = 小-6工+ 8履，则集合Mn=aUI-l&MB冒工圣:A.B .工

8、|2c 芸DX|-1EH = k 3 或二x 3 B = x2 x 4)，JZ 解析：C；容易解得于是Mn = ui2xl)2= x|?-，a. p=qB FUQ=RB.x0，则下列结论正确的是C P郭 D白解析：C；予=(LE,3.设合集1 = 列3药，工普，S1，昼-2,-1，则仙(邙)等于A. 1 B. 1, 2C. 2D. 0, 1, 24.设集合应=1，2,4,6解析：D；im，邙=5,故纳(邙)=。,顷 = 2,3,5，则韦恩图中阴影部分表示的集合A.2 B.3,5 C. 1,4,6D.3, 5,7,8解析：B；阴影部分表示&H=3,5.5 .若集合 = (0,1,2)则Q中元素的

9、个数是A. 3B. 5 C. 7D. 9解析：B；R = (E|1 c y ） N=yy= x + R） = yyeR， 说明：实际上，从函数角度看，本题中的M，N分别是二次函数和一次函数的值域。通过求函数值域化简集合。此集合与集合.（.乩） =普+1/巴投）是有本质差异的，后者是点集，表示抛物线 =上的所有点，属于图形范畴。集合中元素特征与代表元素的字母无关，例刃，R|=UBi）。C10.已知集合应=小一而+2=0， = 小-弘+2 = 0），且acb=B， 求实数m范围。解题思路分析：化简条件得 A=1，2），ACBuBObA根据集合中元素个数集合B分类讨论，B=，B=1或2，B=l，2当B=时，=必一8罚 -22 m 22A = 0或2时，1- + 2 = 04-2m+ 2 = 0 蹄十”，状无解当 B=1，2时，1 + 2 =刑1x2 = 2综上所述说明：分类讨论是中学数学的重要思想，全面地挖掘题中隐藏条件是解题素质的一个重 要方面，如本题当B=1或2时，不能遗漏=0。11.设=一尸，葬，求证：（i）(2)分析：如果集合月=U 具有性质卢），那么判断对象a是否是集合A的元素的基本方法就