2022年一阶微分方程在经济中的综合应用

1、1某商品的需求函数与供应函数分别为 Qd a bP , Qs c dP （其中 a,b, c, d 均为正常数） ； 假设商品价格 P 是时间 t 的函数,已知初始价格 P0 P0 ,且在任一时刻 t ,价格 Pt 的 变化率与这一时刻的超额需求 Qd Qs 成正比（比例常数为 k 0）； 求供需相等时的价格 Pe （均衡价格） ； 求价格 Pt 的表达式； 分析价格 Pt 随时间的变化情形； 【解】供需相等时的价格,即为中意 Qd Qs 的 P 值, ac ； 即由已知得 a bP c dP ,解出 P 得： Pe bd求价格 Pt 的表达式； 由题设得关系式 dP k Q dt 整理得一阶

2、线性微分方程 dP dt Q ,即为 dP k a bP c dP , dt kb d P ka c , P Ce 其 齐 次 部 份 dP kb d P 0的 解 为 ln P kb dt C 1, 整 理 得 dt k b d t , 即设方程 dP b d P ac 的解为 P C t e k b d t , dt 将 P C t e kb d t 代入方程 dP k b d P k a c , dt 得 C t e k b d t k b d Ct e kb d t kb d Ct e k b d t ka c , 即为 C t k b d t k a ce ,积分得 Ct ac kb

3、 d t eC , bda bc e dk b d t 即得通解 P Ce k b d t a c Ce k b d t , bd由于初始价格 P0 P0 , 即有 P 0ac Ce0 ,即 CP 0ac P P , bdbd即知价格 Pt 的表达式为 Pt P P P e k b d t ； 分析价格 Pt 随时间的变化情形： 第 1 页,共 3 页由于 Pt Pe P0 Pe e kb d t , 0 恒成立, 得 P t k P0 Pe b d e k b d t 知当供求平稳时,价格不变,否就随着时间的增长,价格会不断下降； 2已知某种商品的需求价格弹性为 p ep 1 ,其中 p 为

4、价格, Q 为需求量, 且当 p 1Q 时,需求量 Q 1 ,试求需求函数关系； 【解】设需求函数关系为 Q Q p ,于是由已知得 Q pQ pp e1 , 1Q 0 的解为 Q 整理得 Q 1Q ep ,这是一阶线性微分方程,其齐次部分 Q ppln Q ln p ln c 整理得 Q c , p即设方程 Q 1 Q pep的解为 Q c p , p代入方程得 c p c p 1 c p p e ,即为 c p p pe , p22 之和,反 pp p 积分得 c p p e p 1 c , 知方程 Q 1Q ep 的解为 Q e p 1 c , pp代入 p1, Q 1 ,得 10c ,

5、即有 1c 1, 可知所求需求函数关系为 Q e p 1 1； p3设某厂生产某种产品,随产量的增加,其总成本的增长率正比于产量与常数 比于总成本,当产量为 0 时,成本为 1,求总成本函数； 【解】 设产量为 x,总成本为 C,比例系数为 1,就依题意有 dy 0 x 2dx y y |x 1解此微分方程,得 第 2 页,共 3 页把初始条件 y |x 01 代入解得 C y2 2 x 2 C3 , 于是总成本函数为 y2 2 x 2 3 ； 说明： 其中建模方法关系到规律斯蒂方程,是经济数学建模中的应用； 规律斯谛方程是一种非线性的微分方程,它的数学模型属于一条连续的,单调递增的,单参数

6、k 为上渐 近线的 S 型曲线；众所周知,经济学上存在着大量的 S 型变化的现象,而规律斯谛方程是可以描述这种变 化的数学模型；其特点是一开头增长较慢,中间段增长速度较快,以后的增长速度下降并趋于稳固；在经 济学中,假如问题的基本特点是：在时间 t 很小时,呈指数型增长；而当 t 不断增大,增长速度却随之下 降,且越来越接近一个确定的值时,可以考虑运用规律斯谛方程加以解决； 利用规律斯谛方程的思想可以很好地分析一些经济问题,例如新产品在市场中的进展；依据规律斯谛 方程, 建立数学模型, 我们可以建立一个新产品的推广模型； 例如： 某种新产品问世, t 时刻的销量为 xt , 由于产品属于新型产

7、品,没有可替代的产品,因此 t 时刻产品销售量的增长率与 xt 成正比；同时,产品 的销售量存在着确定的市场容量 N ,统计说明与尚未购买的此新产品的潜在客户数量 N-xt 也呈正比,于 是有 =kxN-x 符合规律斯谛方程的模型,于是有通解 =kx （ N-x）； 其中 k 为比例系数 . 4在宏观经济争论中,发觉某地区的国民收入 y ,国民储蓄 S 和投资 I 均是时间 t 的函数, 且储蓄额 S 是国民收入的 1,投资额为国民收入增长率的 1 ,如当 t 0 时,国民收入为 510 3亿元,试求国民收入函数（假定在时间 t 的储蓄额全部用于投资） ； 在时间 t 的储蓄额全部用于投资 1 1【解】由题设得： S y , I y , 10 3题目假定在时间 t 的储蓄额全部用于投资,即 S I , 于是得 1y 1