2023届高考数学易错题专项突破-易错点15 导数中的零点问题（Word版含解析）

1、易错点15 导数中的零点问题一、单选题已知函数fx=lnx+1x+a，f(x)是fx的导函数，若关于x的方程x+1fx=fx有两个不相等的实根，则实数a的取值范围是A. ,12ln2B. 12ln2,0C. ,14ln2D. 14ln2,0设函数f(x)=lnx2x+6，则f(x)零点的个数为A. 3B. 2C. 1D. 0已知函数f(x)=xex，要使函数g(x)=kf(x)2f(x)+1的零点个数最多，则k的取值范围是A. ke2B. ke2eD. ke2已知函数fx满足fx=f3x，当x1,3,fx=lnx，若在区间1,9内，函数gx=fxax有三个不同零点，则实数a的取值范围是A. l

2、n33,1eB. ln39,13eC. ln39,12eD. ln39,ln33关于函数f(x)=2x+lnx，下列说法正确的是(1)x=2是f(x)的极小值点；(2)函数y=f(x)x有且只有1个零点；(3)f(x)12x恒成立；(4)设函数g(x)=xf(x)+x2+4，若存在区间a,b12,+)，使g(x)在a,b上的值域是k(a+2),k(b+2)，则k(1,9+2ln210A. (1)(2)B. (2)(4)C. (1)(2)(4)D. (1)(2)(3)(4)已知函数fx满足x2fx+2xfx=1+lnx，fe=1e.当x0时，下列说法：f1e=e fx只有一个零点fx有两个零点

3、fx有一个极大值其中正确的是A. B. C. D. 若函数f(x)=a(x2)ex+lnx+1x在(0,2)上存在两个极值点，则a的取值范围为A. (,14e2)B. (1e,14e2)(1,+)C. (,1e)D. (,1e)(1e,14e2)已知函数y=f(x)在R上可导且f(0)=2，其导函数f(x)满足f(x)f(x)x20，对于函数g(x)=f(x)ex，下列结论错误的是A. 函数g(x)在(2,+)上为单调递增函数B. x=2是函数g(x)的极小值点C. x0时，不等式f(x)2ex恒成立D. 函数g(x)至多有两个零点二、填空题已知函数在0,+内有且只有一个零点，则fx在1,e2

4、上的最大值与最小值的和为_已知函数f(x)=(2a)(x1)2lnx，若函数f(x)在0,12上无零点，则a的最小值为_已知f(x)=x3ax2+12(aR)在(0,+)内有且仅有一个零点，当x1,2时，函数f(x)的值域是b,c，则a+b+c=_已知函数fx=exk1+lnxx1(kR)在(0,+)上存在唯一零点x0，则下列说法中正确的是_.(请将所有正确的序号填在横格上) k=2；k2；lnx0=x0；1ex00，e是自然对数的底数)(1)当a=2时，求曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程；(2)若函数f(x)恰好有两个零点，求实数a的取值范围已知函数(1)求曲线y=f(x)在x

5、=1处的切线方程；(2)函数f(x)在区间(k,k+1)(kN)上有零点，求k的值；(3)记函数g(x)=12x2bx2f(x)，设x1,x2(x1x2)是函数g(x)的两个极值点，若b32，且g(x1)g(x2)k恒成立，求实数k的最大值已知函数f(x)=lnx+1ax(aR)在x=1处的切线与直线x2y+1=0平行(1)求实数a的值，并判断函数f(x)的单调性；(2)若函数f(x)=m有两个零点x1，x2，且x11已知函数f(x)=lnx+ax(a0)()若函数f(x)有零点，求实数a的取值范围；()证明：当a2e时，f(x)ex一、单选题已知函数fx=lnx+1x+a，f(x)是fx的导

6、函数，若关于x的方程x+1fx=fx有两个不相等的实根，则实数a的取值范围是A. ,12ln2B. 12ln2,0C. ,14ln2D. 14ln2,0【答案】C【解析】解：由fx=lnx+1x+a，所以函数fx的定义域为0,+，fx=1x1x2，则方程x+1fx=fx，即为x+11x1x2=lnx+1x+a，化简可得a=11x2lnx1x，由关于x的方程x+1fx=fx有两个不相等的实根，所以可知方程a=11x2lnx1x有两个不相等的实根，故令g(x)=11x2lnx1x，g(x)=2x31x+1x2=x2x+1x3当0 x0，所以函数g(x)单调递增，当x2时，g(x)0，所以函数g(x

7、)单调递减所以g(x)max=g(2)=14ln2，又14ln2=ln4eln2=ln4eln4160，所以g(x)max=g(2)=14ln20，故可知a14ln2故选C设函数f(x)=lnx2x+6，则f(x)零点的个数为A. 3B. 2C. 1D. 0【答案】B【解析】解：函数f(x)=lnx2x+6的定义域为(0,+)f(x)=1x2=12xx.令f(x)=0，解得x=12当0 x0，函数f(x)单调递增；当x12时，f(x)0当x0且x0时，f(x)；当x+时，f(x)故函数f(x)有且只有两个零点故选：B已知函数f(x)=xex，要使函数g(x)=kf(x)2f(x)+1的零点个数

8、最多，则k的取值范围是A. ke2B. ke2eD. ke2【答案】B【解析】因为f(x)=xex，所以f(x)=(x+1)ex，当x1时，f(x)1时，f(x)0，可得f(x)在,1上递减，在1,+递增，所以f(x)=xex有最小值f1=1e，且x0时，fx0，当x趋向于负无穷时，f(x)趋向于0，但始终小于0，所以，当t(,1e)时，关于x的方程f(x)=t无解；当时，关于x的方程f(x)=t有一个实根；当t(1e,0)时，关于x的方程f(x)=t有两个实根；因为函数(t)=kt2t+1的图象过点(0,1)，所以关于t的方程kt2t+1=0不可能在区间(1e,0)内有两个不等实根，要使函数

9、g(x)=kf(x)2f(x)+1的零点个数最多，需使关于t的方程kt2t+1=0在区间(1e,0)和(0,+)各有一个实根，即需使k0,k(1e)2(1e)+10,解得ke2e，故选B已知函数fx满足fx=f3x，当x1,3,fx=lnx，若在区间1,9内，函数gx=fxax有三个不同零点，则实数a的取值范围是A. ln33,1eB. ln39,13eC. ln39,12eD. ln39,ln33【答案】B【解析】解：设x3,9)，则x31,3),x1,3)，f(x)=lnx，f(x3)=lnx3，函数f(x)满足f(x)=f(3x)，f(x3)=f(x)=lnx3，f(x)=lnx,1x3

10、lnx3,3x0，当x(e,3)时，(x)0，当x(3e,9)时，(x)12x恒成立；(4)设函数g(x)=xf(x)+x2+4，若存在区间a,b12,+)，使g(x)在a,b上的值域是k(a+2),k(b+2)，则k(1,9+2ln210A. (1)(2)B. (2)(4)C. (1)(2)(4)D. (1)(2)(3)(4)【答案】C【解析】(1)函数f(x)的定义域为(0,+)，函数fx=2x+lnx的导数f(x)=2x2+1x=x2x2，x(0,2)上，f(x)0，函数单调递增，x=2是f(x)的极小值点，即(1)正确；(2)y=f(x)x=2x+lnxx，y=2x2+1x1=x2+x

11、2x20，当x=2时，y=ln210，函数y=f(x)x有且只有1个零点，即(2)正确；(3)令x=f(x)12x=2x+lnx12x，则8=ln8154lne315412x不恒成立，即(3)错误；(4)函数g(x)=xf(x)+x2+4=x2xlnx+2令F(x)=g(x)=2xlnx1，F(x)=21x，当x12时，F(x)0，F(x)在12,+)上单调递增，g(x)=F(x)F(12)=ln12=ln20，g(x)在12,+)上单调递增，a,b12,+,g(x)在a,b上单调递增，g(x)在a,b上的值域为k(a+2),k(b+2)，g(a)=k(a+2)g(b)=k(b+2),方程g(

12、x)=k(x+2)在12,+)上有两解a，b即k=gxx+2=x2xlnx+2x+2在12,+)上有两解，令Gx=x2xlnx+2x+2，x12,+),所以Gx=x2+3x42lnxx+22，令m(x)=x2+3x42lnx，则mx=2x+32x=x+22x1x0，即m(x)在x12,+)上单调递增，又m(1)=0，所以当x12,1)时，m(x)0，即Gx0，即Gx0，即G(x)在x12,1)内单调递减，在x1,+内单调递增，又G(1)=1，G12=9+2ln210，若要k=gxx+2=x2xlnx+2x+2在12,+)上有两解，故(4)正确，故正确的为(1)(2)(4)，故选C已知函数fx满

13、足x2fx+2xfx=1+lnx，fe=1e.当x0时，下列说法：f1e=e fx只有一个零点fx有两个零点 fx有一个极大值其中正确的是A. B. C. D. 【答案】D【解析】解：由题意可知，函数fx的定义域为0,+，令gx=x2fx，则gx=x2f(x)+2xfx=1+lnx，则gx=xlnx+C(C为常数)，又ge=e2fe=e，则elne+C=e，解得C=0，故fx=gxx2=lnxx，fx=1lnxx2，当x0,e，f(x)0，fx单调递增；当xe,+，f(x)0，函数t(x)是单调增函数，a=1exx2至多有一解；t(x)(0,e)(e,4e2)，a(,1e)(1e,14e2)，

14、故选D已知函数y=f(x)在R上可导且f(0)=2，其导函数f(x)满足f(x)f(x)x20，对于函数g(x)=f(x)ex，下列结论错误的是A. 函数g(x)在(2,+)上为单调递增函数B. x=2是函数g(x)的极小值点C. x0时，不等式f(x)2ex恒成立D. 函数g(x)至多有两个零点【答案】C【解析】解：因为g(x)=f(x)f(x)ex 所以当x2时，g(x)0，g(x)在(2,+)上单调递增，A选项正确当x2时，g(x)0，g(x)在(,2)上单调递减，g(x)极小=g(2)，B选项正确； 若g(2)0，则y=g(x)有一个或两个零点， 若g(2)=0，则y=g(x)有1个零

15、点 若g(2)0，则y=g(x)有没有零点 所以D选项正确；g(x)在(,2)上单调递减，g(x)在(,0上单调递减，g(x)g(0)=f(0)e0=2，f(x)ex2，f(x)2ex，C选项错误，故选C二、填空题已知函数在0,+内有且只有一个零点，则fx在1,e2上的最大值与最小值的和为_【答案】e23【解析】解：因为f(x)=xax且f(1)=0，当a0时，f(x)在(0,a)递减，在(a,+)递增，由题意，得，此时a=1故a=1，则f(x)=x1lnx，故函数f(x)在1,e2递增，所以f(x)min+f(x)max=f(1)+f(e2)=e23，故答案为e23已知函数f(x)=(2a)

16、(x1)2lnx，若函数f(x)在0,12上无零点，则a的最小值为_【答案】24ln2【解析】解：因为fx0恒成立，即对任意x0,12，a22lnxx1恒成立，令lx=22lnxx1，x0,12，则lx=2lnx+2x2x12，令mx=2lnx+2x2，x0,12，则mx=2x2+2x=21xx2m12=22ln20，从而lx0，于是lx=22lnxx1在在0,12上为增函数，所以lx22lnxx1在0,12上恒成立，只要a24ln2,+),综上，若函数fx在0,12上无零点，则a的最小值为24ln2故答案为24ln2已知f(x)=x3ax2+12(aR)在(0,+)内有且仅有一个零点，当x1

17、,2时，函数f(x)的值域是b,c，则a+b+c=_【答案】2【解析】解：f0=12，f(x)=3x22ax=x(3x2a)，令f(x)=0，得x=0或x=23a；若23a0，即a0，则x(,0)时，f(x)0，x(0,23a)时，f(x)0，f(x)在(0,23a)单调递减，在(23a,+)单调递增，若f(x)在(0,+)内有且仅有一个零点，则f(23a)=(23a)3a(23a)2+12=0，解得a=32，f(x)=x332x2+12，故f(x)在1,0)单调递增，在(0,1)单调递减，在(1,2单调递增，f(1)=2，f(0)=12，f(1)=0，f(2)=52，f(x)max=f(2)

18、=52，f(x)min=f(1)=2；b=2，c=52a+b+c=322+52=2；当23a0，即a0，则x(0,+)时，f(x)0，f(x)单调递增，又f(x)f(0)=12，f(x)在(0,+)内没有零点；综上，a+b+c=2故答案为2已知函数fx=exk1+lnxx1(kR)在(0,+)上存在唯一零点x0，则下列说法中正确的是_.(请将所有正确的序号填在横格上) k=2；k2；lnx0=x0；1ex00时，ex=1x有唯一解t，满足tet=1，故g(x)在(0,t)上单调递减，(t,+)上单调递增又因为x0，g(x)+;x+，g(x)+，因此t=x0，即g(x0)=0，故k=2，lnx0

19、+x0=0，故正确，错误另外，令(x)=lnx+x，(x)=1x+10，故(x)在(0,+)上单调递增，(1e)=1+1e0，(12)=ln2+12=12lne40，e是自然对数的底数)(1)当a=2时，求曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程；(2)若函数f(x)恰好有两个零点，求实数a的取值范围【答案】解：(1)当a=2时，f(x)=2exxex1，f(x)=2ex1xexf(0)=21=1，又f(0)=21=1，曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程为y1=x，即xy+1=0；(2)问题等价于g(x)=1ex(xex+1)的图象和直线y=a恰好有2个交点，求a的取值范围，

20、令g(x)=1ex(xex+1)，则g(x)=12xexe2x，令(x)=12xex，则(x)=2ex0，g(x)0，g(x)在(,0)上单调递增，当x(0,+)时，(x)0，g(x)0，g(x)在(0,+)上单调递减，g(x)的极大值即最大值为g(0)=1，当x(,0时，g(x)(,1；当x(0,+)时，g(x)(0,1)，当a(0,1)时，g(x)=1ex(xex+1)的图象和直线y=a恰好有2个交点，即函数f(x)恰好有两个零点故a的范围为(0,1)已知函数(1)求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程；(2)函数f(x)在区间(k,k+1)(kN)上有零点，求k的值；(3)记函数g(x)

21、=12x2bx2f(x)，设x1,x2(x1x2)是函数g(x)的两个极值点，若b32，且g(x1)g(x2)k恒成立，求实数k的最大值【答案】解：(1)f(x)=11x，所以切线斜率为f(1)=0，又f(1)=1，切点为(1,1)，所以切线方程为y=1(2)令f(x)=11x=0，得x=1，当0 x1时，f(x)1时，f(x)0，函数f(x)单调递增，所以f(x)的极小值为f(1)=10恒成立，x1+x2=b+1，x1x2=1， 0 x1x2，设t=x1x2，则0t1，令，0t1，则G(t)=1t12(1+1t2)=(t1)22t20，G(t)在(0,1)上单调递减；b32，(b+1)225

22、4，(b+1)2=(x1+x2)2=x12+2x1x2+x22x1x2=x1x2+2+x2x1=t+1t+2，t+1t+2254，4t217t+40，0t14，当t=14时，即实数k的最大值为已知函数f(x)=lnx+1ax(aR)在x=1处的切线与直线x2y+1=0平行(1)求实数a的值，并判断函数f(x)的单调性；(2)若函数f(x)=m有两个零点x1，x2，且x11【答案】解：(1)函数fx的定义域：0,+，f1=11a=12，解得a=2，fx=lnx+12x，fx=1x12x2=2x12x2令fx0，解得0 x0，解得x12，故fx在12,+上是单调递增(2)由x1,x2为函数fx=m的两个零点，得lnx1+12x1=m,lnx2+12x2=m两式相减，可得lnx1lnx2+12x112x2=0即lnx1x2=x1x22x1x2，x1x2=x1x22lnx1x2，因此