极限的解法与技巧-汇总

1、-. z.极限的求法与技巧极限是解决数学问题的一种有效的工具。以以下举种方法，并附有例题。1.运用极限的定义例：用极限定义证明:证: 由取 则当 时,就有由函数极限定义有:2.利用单调有界准则求极限预备知识：假设数列收敛，则为有界数列，即存在正数，使得对一切正整数，有 .此方法的解题程序为：1、直接对通项进展分析或用数学归纳验证数列单调有界；2、设的极限存在，记为代入给定的表达式中，则该式变为的代数方程，解之即得该数列的极限。例：假设序列的项满足且,试证有极限并求此极限。解 由 用数学归纳法证明 需注意.又 为单调减函数且有下界。令其极限为由 有：即 从而 .3.利用等价无穷小替换常用的等价无

2、穷小关系：等价无穷小代换法 设 都是同一极限过程中的无穷小量，且有：， 存在，则 也存在，且有= 例:求极限 解: =注： 在利用等价无穷小做代换时，一般只在以乘积形式出现时可以互换，假设以和、差出现时，不要轻易代换，因为此时经过代换后，往往改变了它的无穷小量之比的阶数4利用极限的四则运算法则 极限的四则运算法则表达如下：假设 (I)(II)(III)假设 B0 则：IV c为常数上述性质对于 总的说来，就是函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、差、积、商。例：求 解: =5、利用两个重要的极限。但我们经常使用的是它们的变形：例：求以下函数极限6.利用重要公式求极限或转化为函数的极限此方

3、法必须在牢记重要极限的形式和其值的根底上，对所求式子作适当变形，从而到达求其极限的目的，这种方法灵活，有相当的技巧性。例：求 .解 = = = = =例：求极限 .解 = = = = =7、利用无穷小量与无穷大量的关系。 I假设： 则 (II) 假设: 且 f(*)0 则 例: 求以下极限 解: 由 故 由 故 =8. 变量替换例 求极限 . 分析 当时,分子、分母都趋于,不能直接应用法则,注意到,故可作变量替换. 解 原式 = = (令,引进新的变量,将原来的关于的极限转化为的极限.) =. (型,最高次幂在分母上) 9. 分段函数的极限例 设讨论在点处的极限是否存在. 分析 所给函数是分段

4、函数,是分段点, 要知是否存在,必须从极限存在的充要条件入手. 解 因为 所以 不存在. 注1 因为从的左边趋于,则,故. 注2 因为从的右边趋于,则,故.10、利用函数的连续性适用于求函数在连续点处的极限。例：求以下函数的极限 2 11、洛必达法则适用于未定式极限定理：假设此定理是对型而言，对于函数极限的其它类型，均有类似的法则。注：运用洛必达法则求极限应注意以下几点：要注意条件，也就是说，在没有化为时不可求导。应用洛必达法则，要分别的求分子、分母的导数，而不是求整个分式的导数。要及时化简极限符号后面的分式，在化简以后检查是否仍是未定式，假设遇到不是未定式，应立即停顿使用洛必达法则，否则会引

5、起错误。4、当 不存在时，本法则失效，但并不是说极限不存在，此时求极限须用另外方法。例： 求以下函数的极限 解：令f(*)= , g(*)= l, 由于但从而运用洛必达法则两次后得到 由 故此例属于型，由洛必达法则有：=注:此法采用洛必达法则配合使用两个重要极限法。 解法二: =注：此解法利用三角和差化积法配合使用两个重要极限法。解法三:注:此解法利用了两个重要极限法配合使用无穷小代换法以及洛必达法则 解法四:注:此解法利用了无穷小代换法配合使用两个重要极限的方法。 解法五:注:此解法利用三角和差化积法配合使用无穷小代换法。 解法六：令注：此解法利用变量代换法配合使用洛必达法则。 解法七:注:

6、此解法利用了洛必达法则配合使用两个重要极限。12、 利用函数极限的存在性定理夹逼准则定理: 设在的*空心邻域恒有 g(*)f(*)h(*) 且有: 则极限 存在, 且有例: 求 (a1,n0)解: 当 *1 时,存在唯一的正整数k,使 k *k+1于是当 n0 时有:及 又 当*时,k 有及 =013、用左右极限与极限关系(适用于分段函数求分段点处的极限，以及用定义求极限等情形)。定理：函数极限存在且等于A的充分必要条件是左极限及右极限都存在且都等于A。即有：=A例：设= 求及由14、约去零因式此法适用于例: 求解:原式= =15、利用化简来求极限(分子有理化、分母有理化、分解、恒等变形)比方

7、 求此题要用到两个知识点将分子有理化分母分解因式解：=通分法适用于型16、利用泰勒公式对于求*些不定式的极限来说，应用泰勒公式比使用洛必达法则更为方便，以下为常用的展开式：1、2、3、4、5、6、上述展开式中的符号都有:例:求解:利用泰勒公式，当 有于是 =17、利用拉格朗日中值定理定理:假设函数f满足如下条件： (I) f 在闭区间上连续 (II)f 在(a ,b)可导则在(a ,b)至少存在一点,使得此式变形可为:例: 求 解:令 对它应用中值定理得即: 连续从而有: 18.利用定积分和积分中值定理求极限比方设=，求解因为所以=19、求代数函数的极限方法(1)有理式的情况，即假设:(I)当

8、时，有 (II)当 时有:假设 则 假设 而 则假设,则分别考虑假设为的s重根,即: 也为的r重根,即: 可得结论如下：例：求以下函数的极限 解: 分子，分母的最高次方一样，故= 必含有*-1之因子，即有1的重根 故有:(2)无理式的情况。虽然无理式情况不同于有理式，但求极限方法完全类同，这里就不再一一详述.在这里我主要举例说明有理化的方法求极限。 例：求解: 20. 利用拆项法技巧例6：分析：由于=原式=21.分段函数的极限例8 设讨论在点处的极限是否存在. 分析 所给函数是分段函数,是分段点, 要知是否存在,必须从极限存在的充要条件入手. 解 因为 所以 不存在. 注1 因为从的左边趋于,则,故. 注2 因为从的右边趋于,则,故. 22.利用数列极限与函数的极限等值关系来求极限此方法把数列极限化成函数