大学高等数学经典课件7-3

1、第三节 曲面及其方程一 曲面方程的概念1 曲面方程是平面解析几何中曲线方程概念的推广:(1) 就叫做曲面S的方程.而曲面S叫做方程(1)的图形.不在曲面S上的点的坐标都不满足方程(1). 那么,方程有如下对应关系:.曲面S上任一点的坐标都满足方程(1).定义:给定空间曲面S及三元方程F(x,y,z)=0 (1) 如果它们下面,我们举例说明.2 建立空间曲面方程的思想方法:空间曲面看成流动点的轨迹. 而方程看成相应的流动坐标所满足的等式.以此思想来建立曲面方程的方法如下:在所求的曲面上任找一动点M(x,y,z)以动点所满足的条件得到等式.把坐标代入,转化为方程.xyzsF(x,y,z)=0例1

2、建立球心在点M0(x0,y0,z0), 半径为R的球面方程.把坐标代入,转化为方程.以动点所满足的条件得到等式.在所求的曲面上任找一动点M(x,y,z)1.设M(x,y,z)是球面上的任一点.xyzM0(x0,y0,z0)M(x,y,z)点所满足的条件得到等式)2.那么M点到球心M0(x0,y0,z0)的距离为半径R(这就是以动3.把坐标代入,转化为方程.半径为R的球面方程为x2+y2+z2=R2因为球面上任一点都适合等式(*),其坐标满足(*).从而 满足方程 (2).反之,不在球面上的点必不满足(*),其坐标不满足(*),从而不满足方程(2). 故(2)为以M0(x0,y0,z0)为球心,

3、R为半径的方程.如果球心为(0,0,0), 则以球心为坐标原点(0,0,0),形状.例2. 方程x2+y2+z2-2x+4y+2z=0.表示怎样的曲面的形状?曲面代表圆心为(1,-2,-1),半径为的球面.3. 空间解析几何研究的两个基本问题:(1). 已知一空间曲面,建立其方程.(2). 已知坐标x,y,z 的一个方程,研究该方程所代表的曲面一般二次方程Ax2+Ay2+Az2+Bx+cy+Dz+E=0表示球面.特点是平方项系数相等.不含交叉项.推广到空间中,所以球心的坐标为:由两点的距离公式可得到,球半径为例3 球的一条直径的两端为(1,-2,3)和(-3,4,1),求此球面方程.解:首先,

4、平面几何中关于定比点及线段中点坐标的公式可所以球面方程为: (x+1)2+(y-1)2+(z-2)2=14二 旋转曲面旋转一周,得到一个以z轴为轴的旋转曲面.定义:一条平面曲线C,绕该曲线C所在的平面内一直线L旋转一周所成的曲面,叫做旋转曲面,这条直线L叫做旋转曲面的轴.曲线C称为旋转曲面的母线.垂直于旋转轴的平面,如果与旋转面相交,它们的交线是中心在轴上的圆周. 在坐标系下建立旋转曲面的方程.设yoz平面内有一已知曲线C,方程为f(y,z)=0.将其绕z轴CLxyzof(y1,z)=0 (1)现在我们利用已知曲线方程f(y,z)=0建立 旋转曲面方程.在曲面上找一点M.它是曲线C上对应 点(

5、同一圆上的点)M1旋转得到的.M1(0, y1,z).因为M1在C上,它满足曲线C的方程因为M,M1到z轴的距离相等,有代入方程(1),得到这就是旋转曲面方程. 特点: yoz平面曲线C:f(y,z)=0,绕z轴旋转.得到的旋转曲面.如果yoz平面曲线C:f(y,z)=0,绕y轴旋转.得到的旋转曲面方代入代入方程z不变.而y用方程z不变.而y用旋转得到的曲面方程是x不变,把y变成成的旋转曲面的方程.解: 绕x轴旋转一周,x不变,y用这曲面叫做旋转椭球面.同理,我们可以得到xoy,xoz平面上的曲线,它们绕轴旋转得到旋转曲面的方程.例如在xoy平面上的曲线f(x,y)绕x轴例3:把xoy坐标面上

6、的椭圆绕x轴旋转一周,求所代入,就得到所求的方程例4 将xoy平面上的双曲线解:绕x轴一周的曲面方程为这两种曲面都叫做旋转双曲面.三 柱 面下面我们研究柱面方程.考虑母线平行于坐标轴的柱面.定义:动直线L始终平行于一固定直线B沿另一条曲线C移动而生成的曲面叫做柱面. 动直线L称为母线.曲线C称为柱面的准线. 当母线与准线相互垂直时,这个柱面称为直立柱面,简称柱面.绕x,y轴旋转一周,求其方程曲面方程为绕y轴一周的LCB则它一定不在这空间曲面上.例:方程表示怎样的曲面. 方程表示在xoy平面上圆心在坐标原点,半径为R的一个圆.在空间表示一曲面.该曲面的形状是:它不含有z坐标,因此不论空间点的z坐

7、标,只要其横坐标和纵坐标满足方程该点必定在这空间曲面上.反之如果点不满足方程二次曲线, 则这种柱面叫做二次柱面.此曲面可以看成由平行于z轴的直线沿xoy平面上的圆周移动而成的,它是一个柱面,它的母线一定平行z轴.即垂直于xoy平面.准线是圆的周长.类似地,在空间直角坐标系中,方程G(x,z)=0和方程H(y,z)=0分别表示母线平行于y轴和x轴的柱面.在母线平行于坐标轴的柱面中,如果准线是坐标面上的yxzzxy椭圆柱面双曲柱面zxy抛物柱面：四. 二 次 曲 面 便于图形和方程之间的关系空间解析几何中,把三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面.前面我们讲过的球面,二次柱面就属于二次曲面.现在再介

8、绍几个常见的二次曲面方程,并用平行截面法来讨论这些方程所表示的图形.研究本节的目的是: 重积分一般在空间图形上积分,为了由方程(4)可知这说明椭球面(4)完全包含在为x=a,y=b,z=c.a,b,c叫做椭球面的半轴.xyzabc所表示的曲面叫做椭球面.1.椭球面 方程一个以原点为中心的长方体内.这长方体的六个面的方程(1)椭球面与三个坐标面的交线为xyzabc这些交线都是椭圆.(2)椭球面与平行于xoy平面的z=z1的交线(|z|c)到c,椭圆截面由大到小,最后缩小为一点.是平面z=z1内的椭圆.中心在z轴上. 当z1变动时,|z1|由0增大结果. 特例:(10)(20)a=b=c,变成球面

9、方程 x2 + y2 + z 2 = a2以平面y=y1,(y1b)或x=x1,(x10)截这曲面所得到截痕为中心在z两它的个半轴分别为和当z1变动时,这种椭圆的中心都在z轴上.原点叫做这椭圆抛物面的顶点.它的轴与z轴相重合.用平面y=y1截这曲面所得到截痕为抛物线截面椭圆随z1的增大而增大.平面z=z2(z20,q0时,它的形状如图示.它的两个半轴分别为a及b.用平行于平面z=0平面z=z1截所得截痕是中心在z轴上的椭圆.它的两个半轴分别为a及b.用平行于平面z=0的平面z=z1截曲面,曲面,所得截痕是中心在z轴上的椭圆.和它的两个半轴分别为(2) )用坐标面xoz截曲面,所得截痕为中心在原

10、点O的双曲线y=y1(y10)截曲面,所得截痕是中心在y轴上的双曲线.它的两个半轴的平方为和它的实轴与x轴相重合,虚轴与z轴相重合.用平面于点(0,b,0)的直线,它们的方程为.(0,b,0)的直线,它们的方程为.如果如果轴. 如果y1=b那么平面y=b截曲面,所得截痕为一对相交如果y1=b那么平面y=b截曲面,所得截痕为一对相交于点那么双曲线的实轴平行于x轴,虚轴平行于z轴.那么双曲线的实轴平行于z轴,虚轴平行于 x(0,-b,0)的直线,它们的方程为.综上所述,可知单叶双曲面(6)的形状如图示如果y1=-b那么平面y=-b截曲面,所得截痕为一对相交于点 (3)类似地,用坐标面yoz和平行于坐标面yoz的平面截曲面,得到的截痕也是双曲线,两平面x=a截曲面,得到的截痕是两对相交的直线.xyzoyxz方程它进行讨论.它的形状如右图所示.所表示的曲面叫做双叶双曲面.同学可用平行截面法对4. 二次锥面方程所表示的曲面称为二次锥面.有时称为锥面.形状(见图)xyz若a=b,则方程(8)变为也叫做圆锥面.我们可以利用它和坐标面及其平行平面的截痕来考察其这方程表示一个以z轴为旋转轴的旋转曲面xyzc1c例3 有一立体,由z=x2+y2 和所围成,求它在xoy面上的投影.分析: