专题四：匀速圆周运动、万有引力定律、卫星运行

1、专题四：匀速圆周运动、万有引力定律、卫星运行匀速圆周运动、万有引力定律、卫星运行问题是新高考突出学科内及跨学科间综合创新能力考查的命题热点，也是考生备考应试的难点.课前一练CA BDV01.一个光滑的水平轨道,AB与一光滑的圆形轨道BCDS相接,其中圆轨道在竖直平面内B为最高点,D为最低点半径为R,一质量为m的小球以初速度v0,沿AB运动,恰能通过最高点则A.m越大,V0值越大 （ ）B.R.越大,V0值越大C.V0值与m,R无关D.M与R同时增大,有可能使V0不变2.用m表示地球通讯卫星（同步卫星）的质量，h表示它离地面的高度，R0表示地球的半径，g0表示地球表面处的重力加速度，0表示地球自

2、转的角速度，则通讯卫星所受地球对它的万有引力的大小A.等于0 B.等于m2C.等于m2D.以上结果都不对3.俄罗斯“和平号”空间站在人类航天史上写下了辉煌的篇章，因不能保障其继续运行，3月23日坠入太平洋.设空间站的总质量为m，在离地面高度为h的轨道上绕地球做匀速圆周运动.坠落时地面指挥系统使空间站在极短时间内向前喷出部分高速气体，使其速度瞬间变小，在万有引力作用下下坠.设喷出气体的质量为 m，喷出速度为空间站原来速度的37倍，下坠过程中外力对空间站做功为W.求：（1）空间站做圆周运动时的线速度.（2）空间站落到太平洋表面时的速度.（设地球表面的重力加速度为g，地球半径为R）3.已知物体从地球

3、上的逃逸速度（第二宇宙速度）v2=,其中G、m、R分别是引力常量、地球的质量和半径.已知G=6.6710-11Nm2/kg2,c=2.9979108 m/s.求下列问题：逃逸速度大于真空中光速的天体叫作黑洞，设某黑洞的质量等于太阳的质量m=1.981030 kg，求它的可能最大半径；在目前天文观测范围内，物质的平均密度为10-27 kg/m3，如果认为我们的宇宙是这样一个均匀大球体，其密度使得它的逃逸速度大于光在真空中的速度c，因此任何物体都不能脱离宇宙，问宇宙的半径至少多大？案例探究.aob例1.如图所示，细杆的一端与一小球可连，可绕过O点的水平轴自由转动，现给小球一初速度，使它做圆周运动，

4、中a、b分别表示小球轨道的最低点和最高点，则杆对球的作用力可能是（ ）A.a处为拉力，b处为拉力B.a处为拉力，b处为推力C.a处为推力，b处为拉力D.a处为推力，b处为推力解答：本题由于未给定初速度数值，故球在最高点b时杆对球的作用力既可能是向上的支持力，也可以是向下的拉力，具体应从圆周运动的向心力来源作为切入点来求解：小球在最低点a时，重力mg方向竖直向下，杆对球作用力Fa，必为拉力，并满足Fa-mg=mVo2/R；小球在最高点b时，杆对球的作用力Fb应满足：mg+Fa=mVo2/R0，Fb可取正值或负值，即可为向下的拉力或向上的推力.于是答案为：A、B例2.如图所示为行车的示意图，设钢丝

5、长3.0m，用它吊着质量为2.7103kg的铸件，行车以2.0m/s的速度匀速行驶，当行车突然刹车停止运动时，钢丝所受的拉力为_N.（g=10m/s2）解答：铸件与行车一起做匀速运动处于平衡状态时钢丝的拉力等于铸件的重力；当行车突然刹车而停止，铸件由于惯性要继续向前运动，但因到钢丝的拉力将以钢丝在行车上的悬点为圆心、钢丝长为半径作圆周运动，此时的最低点成为铸件从匀速运动到圆周运动的突变点，根据牛顿第二定律，铸件在最低点满足：T-mg=mV2/R，由此得T=mg+mV2/R=2.710310+2.710322 /3=3.06 104 N例3用m表示地球同步通信卫星的质量、h表示卫星离地面的高度、

6、M表示地球的质量、R0表示地球的半径、g0表示地球表面处的重力加速度、T0表示地球自转的周期、0表示地球自转的角速度，则：（1）地球同步通信卫星的环绕速度v为A.0（R0+h）B.C.D. （2）地球同步通信卫星所受的地球对它的万有引力F的大小为A.mB.m20（R0+h）C.mD.m（3）地球同步通信卫星离地面的高度h为A.因地球同步通信卫星和地球自转同步，则卫星离地面的高度就被确定B. -R0C. -R0D.地球同步通信卫星的角速度虽已确定，但卫星离地面的高度可以选择.高度增加，环绕速度增大，高度降低，环绕速度减小，仍能同步命题意图：考查推导能力及综合分析能力.B级要求.错解分析：（1）把

7、握不住解题的基本依据：地球对其表面物体的万有引力约等于物体所受重力，卫星圆周运动的向心力由万有引力提供，使问题难以切入.（2）思维缺乏开放性造成漏解.（3）推理缺乏严密性导致错解.解题方法与技巧：（1）设地球同步卫星离地心的高度为r,则r=R0+h则环绕速度v=0r=0（R0+h）.同步卫星圆周运动由万有引力提供向心力：即G得v=又有G=m02,所以r=则v=0r=0=故选项A、B、C、D均正确.（2）地球同步卫星的重力加速度为g=（）2g0，地球对它的万有引力大小可认为等于同步卫星的重力mg0来提供向心力：即mg0=m02（R0+h）所以h=-R0F向=m02（R0+h）=m故选项A、B、C

8、、D均正确.（3）因为h=-R0，式中R0、g0、0都是确定的，故h被确定.但0=，所以h=-R0故选项A，B，C正确.例41986年2月20日发射升空的“和平号”空间站，在服役15年后于2001年3月23日坠落在南太平洋.“和平号”风风雨雨15年铸就了辉煌业绩，已成为航天史上的永恒篇章.“和平号”空间站总质量137 t，工作容积超过400 m3，是迄今为止人类探索太空规模最大的航天器，有“人造天宫”之称.在太空运行的这一“庞然大物”按照地面指令准确坠落在预定海域，这在人类历史上还是第一次.“和平号”空间站正常运行时，距离地面的平均高度大约为350 km.为保证空间站最终安全坠毁，俄罗斯航天局

9、地面控制中心对空间站的运行做了精心安排和控制.在坠毁前空间站已经顺利进入指定的低空轨道，此时“和平号”距离地面的高度大约为240 km.设“和平号”沿指定的低空轨道运行时，其轨道高度平均每昼夜降低2.7 km.设“和平号”空间站正常运转时沿高度为350 km圆形轨道运行，在坠落前沿高度为240km的指定圆形低空轨道运行，而且沿指定的低空轨道运行时，每运行一周空间站高度变化很小，因此计算时对空间站的每一周的运动都可以作为匀速圆周运动处理.（1）简要说明，为什么空间站在沿圆轨道正常运行过程中，其运动速率是不变的.（2）空间站沿正常轨道运行时的加速度与沿指定的低空轨道运行时加速度大小的比值多大？计算

10、结果保留2位有效数字.（3）空间站沿指定的低空轨道运行时，每运行一周过程中空间站高度平均变化多大？计算中取地球半径R=6.4103 km，计算结果保留1位有效数字.命题意图：考查阅读摄取信息并结合原有知识解决新情景问题的创新能力，B级要求.解题方法与技巧：（1）空间站沿圆轨道运行过程中，仅受万有引力作用，所受到的万有引力与空间站运行方向垂直，引力对空间站不做功，因此空间站沿圆轨道运行过程中，其运动速率是不变的.（2）不论空间站沿正常轨道运行，还是沿指定的低空轨道运行时，都是万有引力恰好提供空间站运行时所需要的向心力，根据万有引力定律和牛顿第二定律有G=ma空间站运行时向心加速度是a=G空间站沿

11、正常轨道运行时的加速度与在沿指定的低空轨道运动时加速度大小的比值是 =0.9842=0.97（3）万有引力提供空间站运行时的向心力，有G=mr不计地球自转的影响，根据G =mg，有GM=R2g则指定的低空轨道空间站运行的周期为T=2r=2r=5.3103s设一昼夜的时间t，则每昼夜空间站在指定的低空轨道绕地球运行圈数为n=空间站沿指定的低空轨道运行时，每运行一周过程中空间站高度平均减小 h=2.7 km/n=2.7 km/17=0.2 km锦囊妙计卫星问题贴近科技前沿，且蕴含丰富的中学物理知识，以此为背景的高考命题立意高、情景新、综合性强，对考生的理解能力、综合分析能力、信息提炼处理能力及空间

12、想象能力提出了极高的要求，亦是考生备考应试的难点.考生应试失误的原因主要表现在：（1）对卫星运行的过程及遵循的规律认识不清，理解不透，难以建立清晰的物理情景.（2）对卫星运行中力与运动量间，能量转化间的关系难以明晰，对诸多公式含义模糊不清.一、卫星的运行及规律一般情况下运行的卫星，其所受万有引力不刚好提供向心力，此时，卫星的运行速率及轨道半径就要发生变化，万有引力做功，我们将其称为不稳定运行即变轨运动；而当它所受万有引力刚好提供向心力时，它的运行速率就不再发生变化，轨道半径确定不变从而做匀速圆周运动，我们称为稳定运行.对于稳定运行状态的卫星，运行速率不变；轨道半径不变；万有引力提供向心力，即G

13、Mm/r2=mv2/r成立.其运行速度与其运行轨道处于一一对应关系，即每一轨道都有一确定速度相对应.而不稳定运行的卫星则不具备上述关系，其运行速率和轨道半径都在发生着变化.二、同步卫星的四定地球同步卫星是相对地球表面静止的稳定运行卫星.1.地球同步卫星的轨道平面，非同步人造地球卫星其轨道平面可与地轴有任意夹角，而同步卫星一定位于赤道的正上方，不可能在与赤道平行的其他平面上.2.地球同步卫星的周期：地球同步卫星的运转周期与地球自转周期相同.3.地球同步卫星的轨道半径：据牛顿第二定律有GMm/r2=m02r，得r=，0与地球自转角速度相同，所以地球同步卫星的轨道半径为r=4.24104 km.其离

14、地面高度也是一定的.4.地球同步卫星的线速度：地球同步卫星的线速度大小为v=0r=3.08103 m/s，为定值，绕行方向与地球自转方向相同. 歼灭难点训练选择题 O raA B如图所示，为A、B两质点做匀速圆周运动的向心加速度随半径变化的图象，其中A为双曲线的一个分支，由图可知 ( )A物体运动的线速度大小不变A物体运动的角速度大小不变B物体运动的角速度大小不变B物体运动的线速度大小不变2甲、乙两个行星质量之比为P，半径之比为q，将两个完全相同的单摆置于它的表面，则两单摆作简谐振动的周期之比T甲T乙为 ( ) APq-2 B. C. D. 3.小球被细绳拴着作匀速圆周运动的半径为R,向心加速

15、度大小为a对小球来说A.运动的角速度为 B.在t时间内通过路程为C.圆周运动的周期 D.球相对圆心的位移不变 ( ) 4.有两颗人造地球卫星质量之比为12,绕地球运动的轨道半径之比为31,下述正确的说法是 ( )A.它们的周期之比1 B.环绕速度之比为C.角速度之比为1 D.所受向心力之比19 5.对人造地球卫星,以下说法正确的是 ( )根据公式环绕速度随R的增大而增大根据公式环绕速度随R的增大而减小根据公式F=，当R增大到原来的4倍时，卫星需要的向心力为原来的1/16根据公式F=，当R增大到原来的2倍时，卫星需要的向心力减为原来的1/2 6关于人造地球卫星的说法中正确的是 同步通讯卫星的高度

16、和速率是可变的，高度增加速率增大，仍然同步所有的同步卫星的高度和速率都是一定的，且它们都在赤道上空的同一轨道上运行欲使某颗卫星的周期比预计的周期增大2倍，可使原来预算的轨道半径r变为欲使卫星的周期比预计的周期增大到原来的2倍，可使原来的轨道半径不变，使速率增大到原来预计的2倍 （ ）B CA7质量为m的小球用轻质的细线悬挂如图，绳BC水平，绳子AB与竖直方向成角，剪断绳BC前后瞬间，AB绳上张力之比为 （ ）A1cos2 B.11C.cos21 D.无法确定8.如图一个箱子放在水平地面上,质量为M,箱内用一长为L的细线拴一小球,绳的另一端拴在箱子的顶板上,小球质量为m现把细绳拉到与竖直方向成角

17、自由释放,当球摆到最低点时,地面受到的压力为 （ ）A.Mg(2-cos) B.Mg+mg(1-cos)C.(M+m)g D.Mg+mg(3-2cos)9. 如图所示,一个小球沿竖直放置的光滑圆环形轨道做圆周运动,圆环的半径为R,关于小球的运动情况,下列说法中正确的是 ( )小球的线速度方向时刻在变化,但总在圆周切线方向上R小球的加速度方向时刻在变化,但总是指向圆心的小球的线速度的大小总大于或等于小球通过轨道最低点的加速度的大小一定大于g10.土星外层上有一个环，为了判断它是土星的一部分还是土星的卫星群，可以根据环中各层的线速度V与该层到土星中心的距离R之间的关系来判断 （ ） A若VR，则该

18、层是土星的一部分B若V2R，则该层是土星的卫星群C若V1/R，则该层是土星的一部分D若V21/R，则该层是土星的卫星群O A B C11.在光滑的水平面上有三个完全相同的小球A、B、C用细绳连接起来,绳子OA=AB=BC,它们以O为圆心在水平面上以共同的角速度作匀速圆周运动,在运动中若绳子OA、AB、BC上的张力分别是T1、T2、T3那么T1T2T3是A123 B。136 C753 D。653 （ ）12长为L的轻杆AB固定于A点，在B点固定一质量为m的小球C，C可绕A在竖直面内做圆周运动，另一质量为m的摆球D也固定于A点，摆长也为L，开始时拉直AD使AD处于水平位置，然后使D以初速度V0摆向

19、C，A、C、D在一个竖直平面内，在最低点D与C发生弹性碰撞，碰后，C在竖直面内做圆周运动，为使C能够到最高点，D的初速度V0大小至少应为 （ ）ABV0A B. C. D.13.已知地球质量为M,半径为R,地球表面的重力加速度为g,引力常数为G,有一颗人造地球卫星在离地面上高h处(该处重力加速度为g)绕地球做匀速圆周运动,那么这个卫星的运行速率为 （ ）A. B. C. D.14.设想人类开发月球，不断把月球上的矿藏搬运到地球上，假定经过长时间开采后，地球仍可看作是均匀的球体，月球仍沿开采前的圆周轨道运动，则与开采前相比A.地球与月球间的万有引力将变大B.地球与月球间的万有引力将变小C.月球绕

20、地球运动的周期将变长D.月球绕地球运动的周期将变短15.地球同步卫星到地心的距离r可由r3=求出.已知式中a的单位是m,b的单位是s,c的单位是m/s2，则A.a是地球半径，b是地球自转的周期，c是地球表面处的重力加速度B.a是地球半径，b是同步卫星绕地心运动的周期，c是同步卫星的加速度C.a是赤道周长，b是地球自转的周期，c是同步卫星的加速度D.a是地球半径，b是同步卫星绕地心运动的周期，c是地球表面处的重力加速度16.（2000年全国，3）某人造地球卫星因受高空稀薄空气的阻力作用，绕地球运转的轨道会慢慢改变.每次测量中卫星的运动可近似看作圆周运动.某次测量卫星的轨道半径为r1，后来变为r2

21、,r2r1.以Ek1、Ek2表示卫星在这两个轨道上的动能，T1、T2表示卫星在这两个轨道上绕地球运动的周期，则A.Ek2Ek1，T2T1B.Ek2Ek1，T2T1C.Ek2Ek1，T2T1D.Ek2Ek1，T2T1二.填空题17.在质量为M的电动机飞轮上固定着一个质量为m的重物,它到转轴的距离为r,如图,为使电动机不从地面跳起,则电动机的飞轮角速度不得超过 ,若以上述角速度匀速转动,它对地面的最大压力为 18.一均匀球以角速度绕自己的对称轴转动,若维持球体不被瓦解的唯一作用力是万有引力,则球的最小密度为 hBm19.一内壁光滑的细圆管,形状如图,放在竖直面内,一小钢球自A口的正上方距A口h米处

22、,无初速度自由释放,第一次小球恰能抵达B点,第二次落入A口后从B口射出恰能再进入A口,两小球下落的高度之比h1h2= 20.如图,一个半径为R质量为M的半圆形光滑小碗,在它的边上1/4圆弧处让一质量为m的小滑块自由滑下,碗下是一台秤,当滑块在运动时,台秤的最大读数是 21.中子星是由密集的中子组成的星体，具有极大的密度.通过观察已知某中子星的自转速度=60rad/s，该中子星并没有因为自转而解体，根据这些事实人们可以推知中子星的密度.试写出中子星的密度最小值的表达式为=_，计算出该中子星的密度至少为_kg/m3.（假设中子通过万有引力结合成球状星体，保留2位有效数字）22.假设站在赤道某地的人，恰能在日落后4小时的时候，观察到一颗自己头顶上空被阳光照亮的人造地球卫星，若该卫星是在赤道所在平面内做匀速圆周运动，又已知地球的同步卫星绕地球运行的轨道半径约为地球半径的6.6倍，试估算此人造地球卫星绕地球运行的周期为_s.三.计算题21光滑斜面上,有一用长20厘米的细绳拴着一个质量为0.1千克的小球,小球绕绳的另一 端在斜面上作圆周运动,若小球通过最高点时绳子拉力恰好为零,已知斜面倾角为300,求最低点时绳子对小球的拉力(g=10米/秒2)30022.内壁光滑的环形细圆管,位于竖直平面内,环的半径为R,(比细管的半径大得多)在圆管中有两个直径与细管内径相同的小球(可