高中数学理科选修知识点(2-2,2-3,4-1,4-4,4-5)

1、 数学选修2-2知识点总结第一章 导数及其应用一、导数概念的引入1.导数的物理意义：瞬时速率。一般的，函数在处的瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作或，即=2.导数的几何意义：曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点趋近于时，直线与曲线相切。容易知道，割线的斜率是，当点趋近于时，函数在处的导数就是切线PT的斜率k，即导函数：当x变化时，便是x的一个函数，我们称它为的导函数. 的导函数有时也记作,即二.导数的计算1.函数的导数2.函数的导数3.函数的导数4.函数的导数基本初等函数的导数公式:1若(c为常数)，则；2 若,则;3 若,则4 若,则;5 若,则6 若,则7 若,则8 若,则导数

2、的运算法则1. 2. 3. 复合函数求导和,称则可以表示成为的函数,即为一个复合函数三.导数在研究函数中的应用1.函数的单调性与导数: 一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间内，如果，那么函数在这个区间单调递增；如果，那么函数在这个区间单调递减.2.函数的极值与导数极值反映的是函数在某一点附近的大小情况.求函数的极值的方法是:如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值;如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值;4.函数的最大(小)值与导数函数极大值与最大值之间的关系.求函数在上的最大值与最小值的步骤求函数在内的极值；将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是

3、最小值.四.生活中的优化问题利用导数的知识,求函数的最大(小)值,从而解决实际问题第二章 推理与证明考点一 合情推理与类比推理根据一类事物的部分对象具有某种性质,退出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理,叫做归纳推理,归纳是从特殊到一般的过程,它属于合情推理根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性,推测其中一类事物具有与另外一类事物类似的性质的推理,叫做类比推理.类比推理的一般步骤:找出两类事物的相似性或一致性;用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想);考点二 演绎推理(俗称三段论)由一般性的命题推出特殊命题的过程,这种推理称为演绎推理.考点三 数学归纳法它是一

4、个递推的数学论证方法.步骤:A.命题在n=1（或）时成立，这是递推的基础；B.假设在n=k时命题成立 C.证明n=k+1时命题也成立,完成这两步,就可以断定对任何自然数(或n=,且)结论都成立。考点三 证明反证法:分析法:综合法:第三章数系的扩充和复数的概念考点一:复数的概念复数:形如的数叫做复数，和分别叫它的实部和虚部.分类:复数中,当,就是实数; ,叫做虚数;当时,叫做纯虚数.复数相等:如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等.共轭复数:当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数.复平面:建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x轴叫做实轴，y轴除去原点的部分叫

5、做虚轴。两个实数可以比较大小，但两个复数如果不全是实数就不能比较大小。考点二：复数的运算1.复数的加，减，乘，除按以下法则进行设则2,几个重要的结论(1) (2) (3)若为虚数,则3.运算律(1) ;(2) ;(3)4.关于虚数单位i的一些固定结论：（1） （2） （3） （2）高中数学选修2-3基础知识一基本原理1加法原理：做一件事有n类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。2乘法原理：做一件事分n步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。二排列：从n个不同元素中，任取m（mn）个元素，按照一定的顺序排成一1

6、.2.(1)(2) ；(3)三组合：从n个不同元素中任取m（mn）个元素并组成一组，叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作 Cn 。 1. 公式： 四处理排列组合应用题1.明确要完成的是一件什么事（审题） 有序还是无序 分步还是分类。2解排列、组合题的基本策略（1）两种思路：直接法；间接法：对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉。这是解决排列组合应用题时一种常用的解题方法。（2）分类处理：当问题总体不好解决时，常分成若干类，再由分类计数原理得出结论。注意：分类不重复不遗漏。即：每两类的交集为空集，所有各类的并集为全集。（3）分步处理：与分类处理类似，

7、某些问题总体不好解决时，常常分成若干步，再由分步计数原理解决。在处理排列组合问题时，常常既要分类，又要分步。其原则是先分类，后分步。（4）两种途径：元素分析法；位置分析法。3排列应用题：（1）穷举法（列举法）：将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来；(2)、特殊元素优先考虑、特殊位置优先考虑；（3）相邻问题：捆邦法：对于某些元素要求相邻的排列问题，先将相邻接的元素“捆绑”起来，看作一“大”元素与其余元素排列，然后再对相邻元素内部进行排列。 （4）全不相邻问题，插空法：某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法.即先安排好没有限制条件的元素，然后再将不相邻接元素在已排好的元素之间

8、及两端的空隙之间插入。（5）顺序一定，除法处理。先排后除或先定后插解法一：对于某几个元素按一定的顺序排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同进行全排列，然后用总的排列数除于这几个元素的全排列数。即先全排，再除以定序元素的全排列。解法二：在总位置中选出定序元素的位置不参加排列，先对其他元素进行排列，剩余的几个位置放定序的元素，若定序元素要求从左到右或从右到左排列，则只有1种排法；若不要求，则有2种排法；（6）“小团体”排列问题采用先整体后局部策略 对于某些排列问题中的某些元素要求组成“小团体”时，可先将“小团体”看作一个元素与其余元素排列，最后再进行“小团体”内部的排列。（7）分排问题用“直排法

9、”把元素排成几排的问题，可归纳为一排考虑，再分段处理。（8）数字问题（组成无重复数字的整数） 能被2整除的数的特征：末位数是偶数；不能被2整除的数的特征：末位数是奇数。能被3整除的数的特征：各位数字之和是3的倍数；能被9整除的数的特征：各位数字之和是9的倍数。能被4整除的数的特征：末两位是4的倍数。能被5整除的数的特征：末位数是0或5。能被25整除的数的特征：末两位数是25，50，75。能被6整除的数的特征：各位数字之和是3的倍数的偶数。4组合应用题：（1）“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法:1.从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则共有？不同的取法解

10、析1：逆向思考，至少各一台的反面就是分别只取一种型号，不取另一种型号的电视机，故不同的取法共有种解析2：至少要甲型和乙 型电视机各一台可分两种情况：甲型1台乙型2台；甲型2台乙型1台；故不同的取法有台（2）“含”与“不含” 用间接排除法或分类法: 2从5名男生和4名女生中选出4人去参加辩论比赛（1）如果4人中男生和女生各选2人，有？种选法； （2）如果男生中的甲与女生中的乙必须在内，有？种选法； （3）如果男生中的甲与女生中的乙至少要有1人在内，有？种选法； （4）如果4人中必须既有男生又有女生，有？种选法分析：本题考查利用种数公式解答与组合相关的问题.由于选出的人没有地位的差异，所以是组合问

11、题.解：（1）先从男生中选2人，有种选法，再从女生中选2人，有种选法，所以共有=60（种）；（2）除去甲、乙之外，其余2人可以从剩下的7人中任意选择，所以共有=21（种）；（3）在9人选4人的选法中，把甲和乙都不在内的去掉，得到符合条件的选法数：=91（种）；直接法，则可分为3类：只含甲；只含乙；同时含甲和乙，得到符合条件的方法数=91（种）.（4）在9人选4人的选法中，把只有男生和只有女生的情况排除掉，得到选法总数=120（种）.直接法：分别按照含男生1、2、3人分类，得到符合条件的选法为=120（种）.3分组问题：均匀分组：分步取，得组合数相乘，再除以组数的阶乘。即除法处理。非均匀分组：分

12、步取，得组合数相乘。即组合处理。混合分组：分步取，得组合数相乘，再除以均匀分组的组数的阶乘。4分配问题：定额分配：（指定到具体位置）即固定位置固定人数，分步取，得组合数相乘。随机分配：（不指定到具体位置）即不固定位置但固定人数，先分组再排列，先组合分堆后排，注意平均分堆除以均匀分组组数的阶乘。5隔板法： 不可分辨的球即相同元素分组问题，每组至少一个元素五二项式定理1.它是(a+b)n的二项展开式的第r+1项，而不是第r项； （r=0的情形不要忽视）2二项式定理的应用求二项展开式中的任何一项，特别是常数项：变量的指数为0、有理项：指数为整数；证明整除或求余数；利用赋值法证明某些组合恒等式；近似计

13、算。3.二项式系数的性质： （3）（4）最值：n为偶数时，n1为奇数，中间一项的二项式系数最大且为第4区分（1）某一项的二项式系数与系数项的系数与二项式系数是不同的两个概念，但当二项式的两个项的系数都为1时，系数就是二项式系数。如在的展开式中，第项的二项式系数为，第项的系数为；而的展开式中的系数就是二项式系数；（2）二项式系数最大项与系数最大项二项式系数最大项是中间项系数最大项求法：设第k+1项的系数最大，由不等式组求k。再求第k+1项值。系数的绝对值最大的项二项展开式的系数绝对值最大项的求法，设第r+1项系数的绝对值最大,则此项系数的绝对值必不小于它左、右相邻两项系数的绝对值，即由求r注意：

14、二项展开式中系数最大的项及系数最小的项的求法:先求系数的绝对值最大项第r+1项，然后再求第r+1项的符号，若这一项的系数符号为正，则它为展开式中系数最大的项；若这一项的系数符号为负，则它为展开式中系数最小的项（3）二项展开式中，二项式系数和与各项系数和应用“赋值法”可求得二项展开式中各项系数和即令式子中变量为1。注意：注意：（1）二项展开式的各项系数绝对值的和相当于的各项系数的和。即令原式中的x=-1即可。（2）审题时要注意区分所求的是项还是第几项？求的是系数还是二项式系数？六事件分类（3）互斥事件（互不相容事件）：“A与B不能同时发生”叫做A、B互斥。的和（并）。（6）对立事件（互逆事件）：

15、（7）独立事件：A发生与否对B发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相 互独立事件。七对某一事件概率的求法：（1）等可能事件的概率（常采用排列组合的方法，即 即分类相加 即分步相乘（5）如果在一次试验中A发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中A恰好发生k次的概率。即当XB(n,p)时，八.离散型随机变量 1.在的射击、产品检验等例子中，对于随机变量X可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量2.离散型随机变量的分布列一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2, ,xi , ,xn X取每一个值xi(i=1,2,）的概率 P(X=xi）Pi，则称表为离散型随

16、机变量X 的概率分布，简称分布列性质： 0pi1, i =1，2， p1 + p2 +pn= 1 一般地，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和。3.公式：期望或平均数、均值 E(X)x1p1x2p2xnpn方差:DX=（x1-E(X)2P1+ （x2-E(X)2P2 + + （xn-E(X)2Pn 说明（1）数学期望的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平 (2) D X的算术平方根为随机变量X的标准差， (3)、随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动，集中与分散的程度。 (4)性质： 4二项分布：在n次独立重复试验中，一次试验中某事

17、件A发生的概率是p, 某事件A发生的次数为X，则在n次独立重复试验中，这个事件恰好发生k次的概率为p(X=k)=, X的分布列为X01xiNp此时称服从二项分布，记作XB(n,p).若XB(n,p)，则EX=np ,DX=np（1-P）5、二点分布：如果随机变量X的分布列为：其中0p3.841时，X与Y有95%可能性有关；K26.635时X与Y有99%可能性有关回归分析回归直线方程其中, 高中数学 选修4-5知识点1、不等式的基本性质（对称性）（传递性）（可加性）（同向可加性）（异向可减性）（可积性）（同向正数可乘性）（异向正数可除性）（平方法则）（开方法则）（倒数法则）2、几个重要不等式,（

18、当且仅当时取号）. 变形公式：（基本不等式）,（当且仅当时取到等号）.变形公式： 用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.（三个正数的算术几何平均不等式）（当且仅当时取到等号）.（当且仅当时取到等号）.（当且仅当时取到等号）.（当仅当a=b时取等号）（当仅当a=b时取等号），（其中规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小.绝对值三角不等式3、几个著名不等式平均不等式：，当且仅当时取号）.（即调和平均几何平均算术平均平方平均）.变形公式：幂平均不等式：二维形式的三角不等式：二维形式的柯西不等式：当且仅当时，等号成立.三维形式的柯西不等式：一般形式

19、的柯西不等式：向量形式的柯西不等式：设是两个向量，则当且仅当是零向量，或存在实数，使时，等号成立.排序不等式（排序原理）：设为两组实数.是的任一排列，则（反序和乱序和顺序和），当且仅当或时，反序和等于顺序和.琴生不等式:（特例:凸函数、凹函数）若定义在某区间上的函数,对于定义域中任意两点有则称f(x)为凸（或凹）函数.4、不等式证明的几种常用方法 常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等.常见不等式的放缩方法：= 1 * GB3舍去或加上一些项，如= 2 * GB3将分子或分母放大（缩小），如等.5、一元二次不等

20、式的解法求一元二次不等式解集的步骤：一化：化二次项前的系数为正数.二判：判断对应方程的根.三求：求对应方程的根.四画：画出对应函数的图象.五解集：根据图象写出不等式的解集.规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边.6、高次不等式的解法：穿根法.分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（奇穿偶切），结合原式不等号的方向，写出不等式的解集.7、分式不等式的解法：先移项通分标准化，则 （时同理）规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解.8、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解.9、指数不等式的解法：当时,当时,规律

21、：根据指数函数的性质转化.10、对数不等式的解法当时,当时,规律：根据对数函数的性质转化.11、含绝对值不等式的解法：定义法：平方法：同解变形法，其同解定理有：规律：关键是去掉绝对值的符号.12、含有两个（或两个以上）绝对值的不等式的解法：规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集.13、含参数的不等式的解法解形如且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有：讨论与0的大小；讨论与0的大小；讨论两根的大小.14、恒成立问题不等式的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：当时当时不等式的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：当时当时恒成立恒成立恒成立恒成立数学

22、选修4-4极坐标1伸缩变换：设点是平面直角坐标系中的任意一点，在变换的作用下，点对应到点，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。2.极坐标系的概念：在平面内取一个定点，叫做极点；自极点引一条射线叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。3点的极坐标：设是平面内一点，极点与点的距离叫做点的极径，记为；以极轴为始边，射线为终边的叫做点的极角，记为。有序数对叫做点的极坐标，记为. 极坐标与表示同一个点。极点的坐标为.4.若,则,规定点与点关于极点对称，即与表示同一点。如果规定，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标

23、表示；同时，极坐标表示的点也是唯一确定的。5极坐标与直角坐标的互化：6。圆的极坐标方程：在极坐标系中，以极点为圆心，为半径的圆的极坐标方程是 ； 在极坐标系中，以 为圆心， 为半径的圆的极坐标方程是 ；在极坐标系中，以 为圆心，为半径的圆的极坐标方程是；7.在极坐标系中，表示以极点为起点的一条射线；表示过极点的一条直线.在极坐标系中，过点，且垂直于极轴的直线l的极坐标方程是.参数方程1参数方程的概念：在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数 并且对于的每一个允许值，由这个方程所确定的点都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数的变数叫做参变数，简称参数。相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。2圆的参数方程可表示为. 椭圆的参数方程可表示为. 抛物线的参数方程可表示为. 经过点，倾斜角为的直线的参数方程可