固体物理第二章答案

1、 第2章晶体的结合1-有一晶体,平衡时体积为V0,u(r)=原子间相互作用势为U如果相距为r的两原子互作用势为0a0+-rmrn证明(1)体积弹性模量为K=|U|Imno9V.0(2)求出体心立方结构惰性分子的体积弹性模量.解答设晶体共含有N个原子，则总能量为U(r)=Wu()2ijij由于晶体表面层的原子数目与晶体内原子数目相比小得多，因此可忽略它们之间的基异，于是上式简化为Ny()U=yuV2jijy1y1再令A=y,A=y一,得到mamnanjjjj平衡时R=R，则由已知条件U(R)0设最近邻原子间的距离为R则有r=aRoA0Am+nRmRn丿00jN(U=_0=oA+pA2IU0得0、

2、mRm0由平衡条件dU(R)dRR)n0AmnRm+1Rn+100NmoAI由(1)，(2)两式可解得2UoA=0nRm,mN(mn)02UpA=0nRn.nN(mn)0利用体积弹性模量公式参见固体物理教程19V20r2a2U、K=i9VIaR20得心(2.14)式Nm(m+)oAn(n+1)0Am+nRn0Rm0丿R0m(m+1)2UnRmn(n+1)2UmRn00+00-RmN(mn)RnN(mn)000,因此U=IU|,于是K=|UImn=U.09V0Imno莎.0(1)由固体物理教程(2.18)式可知,一对惰性气体分子的互作用能为由于U06 6 u(r)=-+.若令r6r12则N个惰性

3、气体分子的互作用势能可表示为由平衡条件dUdRR)dRRoG、12AA126iR丿=0可得Rmn代入K=|U.并取m=6,n=12,o9V016.进一步得f2A)12IA6丿V=牛3得K=竺A3J3(U二U(R)00NA24.2A12迈G312IA70.1=9.11.于是K=.G32.一维原子链，正负离子间距为a，试证:马德隆常数为卩=21n2.解答相距r的两个离子间的互作用势能可表示成ij对体心立方晶体有A二12.25,A612A)52-612丿q2bu(r)=+.ij4兀rrnijij设最近邻原子间的距离为R则有则总的离子间的互作用势能U=N工u(r)=N一2ijjv1基中y=Y土-a为离

4、子晶格的马德隆常数，式中+;-号分别对应于与参考离子相异和相同的离子.任选一正离子作为参考离子，在求和中对负离子到正号，对正离子取负号，考虑到对一维离子两边的离子是正负对称分布的，则有旦=21ajr=aR,ijj土1)24兀R0j丄工上Rnanjj1111.-+34+.利用正面的展开式ln(l+x)x一丄厶*Tx2x3x4+,234j并令x=1得1-2+1-4+=1n(1+1)=1n2.于是，一维离子链的马德常数为一21n23.计算面心立方面简单格子的A和A12612只计最近邻;计算到次近邻;计算到次近邻.解答图2.26示出了面心立方简单格子的一个晶胞.角顶0原子周围有8个这样的晶胞，标号为1

5、的原子是原子O的最近邻标号为2的原子是O原子的最近邻，标号为3的原子是O原子的次次近邻.由此得到，面心立方简单格子任一原子有12个最近邻,6个次近邻及24个次次近邻.以最近邻距离度量，其距离分别丿为:a=1,a=v2,a=耳3.由jjjL/八6=Y1-1jIaj丿,A121、12、a丿jIj丿 得612只计最近邻时A=12*6(2)计算到次近邻时6+6*=12,A(1)=12*12=12.A(2)=12*6丄=12.750,山;2丿f1)1丿(3)计算到次次近邻时f1)1丿A(2)=12*12A=12*612+6*12=12.094.+24*6=12.750+0.899=13.639,由以上可

6、以看出,由于A12f1)1丿中的幕指数较大，A收敛得很快，而A中的幕指数较小，因此A收敛得较慢，通常所采用的面心立方简单格子的1266A和A的数值分别是14.45与12.13.6124.用埃夫琴方法计算二维正方离子(正负两种)格子的马德隆常数.v1解答马德隆常数的定义式为卩=丫土，式中+、-号分别对应于与参考离子相异和相同的离子,二维正方离子a(正负两种)格子,实际是一个面心正方格子,图2.7示出了一个埃夫琴晶胞设参考离子。为正离子,位于边棱中点的离子为负离子,它们对晶胞的贡献为4*(1/2).对参考离子库仑能的贡献为A(3)=12*1212+24*1r=12.094+0.033=12.127

7、.图2.7二维正方离子晶格4*1_2T4*1顶角上的离子为正离子,它们对晶胞的贡献为4*(1/4),对参考离子库仑能的贡献为-一因此通过一个埃4*14*1夫琴晶胞算出的马德隆常数为V-誓=3.再选取22=4个埃夫琴晶胞作为考虑对象这时离子,而边棱上的离子对库仑能的贡献为O的最的邻,次近邻均在所考虑的范围内,它们对库仑能的贡献为4*18*1_2+_24*1顶角上的离子对为库仑能的贡献为-一-r=4,这时算出的马德隆常数为j.-1*1-41(*d*11p图2.84个埃夫琴晶胞同理对32=9个埃夫琴晶胞进行计算，所得结果为4*1812+厂4_11_+I482+?5_对42=16个埃夫琴晶胞进行计算，

8、所得结果为厂4_4、1.n_1nn_1nCn_1j2/12+12丿2Q22+222丁22+12丿I.，+2J(n-1)2+(n-1)2(1)1+(1)n_i,=、i(n1)2+121I；(n1)2+(n2)211+JI8.n2+n22、.；n2+(n+1)2+(_1)n12n2+12用埃夫琴方法计算CsCl型离子晶体的马德隆常数只计最近邻取八个晶胞解答图2.29是CsCl晶胸结构，即只计及最近邻的最小埃夫琴晶胞，图2.29C)是将Cs+双在体心位置的结构,图2.9(a)是将Cl-取在体心位置的结构，容易求得在只计及最近邻情况下，马德隆常数为1.图2.29(a)Cs取为体心的CsC1晶胞，(b)

9、C1取为体心的CsC1晶胞图2.10是由8个CsCl晶胞构成的埃夫琴晶胞,8个最近邻在埃夫琴晶胞内，每个离子对晶胞的贡献为1,它们与参考离子异号，所以这8个离子对马德隆常数的贡献为8埃夫琴晶胞6个面上的离子与参考离子同号,它们对埃夫琴晶胞的贡献是2，它们与参考离子的距离为2R3它6*C)31埃夫琴晶胞楞上的12个离子，与参考离子同号，它们对埃夫琴晶胞的贡献是了它们与参考离子的距离为422R12*(1/4)夫琴晶胞的贡献是1它们与参考离子的距离为2R它们对马德隆常数的贡献为-8*2,由8个CsCl晶胞82乔它们对马德隆常数的贡献为-亍23埃夫琴晶胞角顶上的8个离子，与参考离子同号，它们对埃6*(

10、1/2)12*(1/4)8*(1/8)构成的埃夫琴晶胞计算的马德隆常数卩二8-2/3-亍23-2二3.064806.为了进一步找到马德常数的规律，我们以计算了由27个CsCl晶胞构成的埃夫琴晶胞的马德隆常数，结果发现，由27个CsCl晶胞构成的埃夫琴晶胞的马德隆常数是0.439665马德隆常数的不收敛，说明CsCl晶胞的结构的马德隆常数不能用传统的埃夫琴方法计算.为了找出合理的计算方法，必须首先找出采用单个埃夫琴晶胞时马德隆常数不收敛的原因.为了便于计算，通常取参考离子处于埃夫琴晶胞的中心如果以Cs+作参考离子，由于埃夫琴晶胞是电中性的要求，则边长为2pa(p是大于或等于1的整数)的埃夫琴晶胞

11、是由(2p)3个CsCl晶胞所构成，埃夫琴晶胞最外层的离子与参考离子同号，而边长为(2p+1)的埃夫琴晶胞是由(2p+1)3个CsCl晶胞所构成，但埃夫琴晶胞的最外层离子与参考离子异号,如果以C1-作参考离子也有同样的规律，设参考离子处于坐标原点0，沿与晶胞垂直的方向(分别取为x,y,z图2.11示出了z轴)看去，与参考郭同号的离子都分布在距O点ia的层面上,其中i是大于等于1的整数，与O点离子异号的离子都分布在距O点(i-0.5)a的层面上，图2.11(a)示出了同号离子层，图2.11(b)示出了异号离子层.图2.11离子层示意图表示同号离子层，0离子所在层与0离子所在层相距ia表示异号离子

12、层，0离子所在层和0离子所在层相距(i-0.5)a当CsCl埃夫琴晶胞边长很大时，晶胞最外层的任一个离子对参考离子的库仑能都变得很小，但它们对参考离子总的库仑能不能忽略对于由(2p)3个CsC晶胞所构成的埃夫琴晶胞来说，最外层有6*(2p)2个与参考离子同号的离子,它们与参考离子的距离为(1/2)pa.;3/2)pa，它们与参考离子的库仑能为pe2/4脫a量级,这是一个相对大的正值对于由(2p+1)3个CsCl晶胞所构成的埃夫琴晶胞来说，离外层有6*(2p+1)2个与参考离子异号的离子，它们与参考离子的库仑能为-pe2隔a量级，这是一个绝对值相对大的负值,因此，由(2p)3个CsCl晶胞构成的

13、埃夫琴晶胞所计算的库仑能，与由(2p+1)3个CsCl晶胞构成的埃夫琴晶胞所计算的库仑能会有较大的差异.即每一情况计算的库仑能都不能代表CsCl晶体离子间相互作用的库仑能.因此这两种情况所计算的马德隆常数也必定有较大的差异,由1个CsCl晶胞、8个CsCl晶胞和27个CsCl晶胞构成的埃夫琴晶胞的计算可知，CsCl埃夫琴晶胞体积不大时，这种现象已经存在.为了克服埃夫琴方法在计算马德隆常数时的局限性，可采取以下方法，令由(2p)3个CsCl晶胞构成的埃夫琴晶胞计算的库仑能为U，由(2p+1)3个CsCl晶胞构成的埃夫琴晶胞所计算的库仑能为U，则CsCl晶体离子间相互作用的11库仑能可近似取作U=

14、1(U+U)(1)212因子1/2的引入是考虑除了(2p+1)3个CsCl晶胞构成的埃夫琴晶胞最外层离子外，其他离子间的库仑能都累计了两偏，计算U和U时要选取体积足够大的埃夫琴晶胞，此时埃夫琴晶胞最外层离子数与晶胞内的离子数相比是个很小121的数，相应的马德隆常数应为卩=2(卩+卩)(2)212LI由(2p+1)3个CsC1iIaJji其中：卩=工(土丄是由(2p)3个CsC1晶胞构成的埃夫琴晶胞计算的值1jIji晶胞构成的埃夫琴晶胞所计算成本的值._为简化计算，特选取晶胞边长a为计算单位，由于2R二v3a,所以a丿I(3)其中a是某一离子到参点的距离与a的比值.i考虑到对称性，对选定的埃夫琴

15、晶胞，把晶胞的离子看成分布在一个个以参考离子为对称心的正六面体的六个面上，体积不同的正六面六个面上的离子分别计算.由(2p)3个CsC1晶胞构成埃夫琴晶胞时，由分析整理可得卩=1!(迟A+1LB+C12(iipi=1i=1由(2p+1)3个CsC1晶胸构成埃夫琴晶胞时,卩卫EA+2LB+D:22(iip丿i=1i=1(4)(5)iikA=EXxy(1ip)其中：i;(p)xyJx2+y2+12A表示与O点距离为ia的6个面上所有的离子对马德隆常数的面贡献，因为这些离子与参考离子同号,故到负i号.x、y是离子在平面oxy上的坐标，k代表6个面上等价离子的个数，其取值规则为：xy在角上(如E点)，

16、即x=i且y=i.时，k=8；k=6xyk=12xyxy在棱与坐标轴的交点(如F点)，x=i且y=0或x=0且y=0时，在棱上的其他点(如H、I点)即不满足上述条件，且x=i或y=i.时,在O点，即x=0且y=0时，k=6xyk(5)在除O点外的面上的点(如J点)，即不满足上述条件时，k=24.xyB=旁另$=(1ip),(7)x=0.5y=0.5寸x2+y2+(i-0.5)2B代表距0点距离为(i-0.5)a的6个面上的离子对马德隆常数的贡献，因为这种些离子与参考离子异号，故取i正号.x,y是离子在平面oxy上的坐标，k代表这6个面上等价离子的个数，其取值规则为：xy在角上(如K点)，即x=

17、i且y=i.时，k=8;xy在棱下(如L、M点)，即不满足不述条件，且x=i或y=i时，k=12；xy在面上(如N点)好不满足上述条件时，k=24.xykC=左(i=p),x=0y=0Jx2+y2+i2kxyD=送送直(i=p),x=0.5y=0.5十x2+y2+(i-0.5)2D表示在边长为2(p+1)a的晶胞最外层，即与参考离子相距(p+0.5)a的离子层对马德隆常数的贡献，应取正号，与iB的不同在于k的取值：i(1)在角上，C表示在边长为2pa的晶胞最外层，即与参考离子相距pa的6个面上的离子对马德隆常数的贡献，应取负号，与Aii的不同在于k的取值：(1)在角上，xyk=k/8;xyxy

18、(2)在棱上，k=k/4;xyxy(3)在面上，k=kxy/2.xyxyk=k/8;TOC o 1-5 h zxyxy(2)在棱上,k=k/4;xyxy(3)在面上,k=k/2.xyxy表2.1给出了计算结果,给出的卩是由分别对应2p和2p+1的卩和卩求得的，实际上，卩和卩只需对应边长相近的1212埃夫琴晶胞即可，如取对应2p和2p-1的埃夫琴晶胞也可得到一样的收敛结果,由以上数据可见，马德隆常数卩随晶胞边长的增大而迅速收敛.该方法适用于NaCl结构以外离子晶体马德隆常数的计算.表2.21CsCl晶体结构马德隆常数2pu12p+1u2u23.06480630.4396651.752235543

19、.10240150.4155941.7589975103.119695110.4050771.7623860503.122891510.4024531.76267201003.1229911010.4023581.76267452003.1230162010.4023341.76267503003.1230213010.4023291.76267504003.1230224010.4023271.76267455003.1230235010.4023271.75267506003.1230236010.4023261.76267457003.1230247010.4023261.7626750

20、8003.1230248010.4023261.7626750只计及最近邻间的排斥作用时,一离子晶体离子间的互作用势为“/e2九e一Rp,(1)R(1)最近邻(2)最近邻以外+空，r式中九P是常数,R是最近邻距离，求晶体平衡时，原子间总的互作用势.解答设离子数目为+U=N2N,以r=aR表示第j个离子到参考离子i的距离，忽略表面效应，则总的相互作用能可表示为ijj+九e-rpaRIj丿(工表示最近邻)=N号+ZXeRP，其中土丄a丿i为马德隆常数，+号对应于异号离子，-号对应于同号离子；Z为任一离子的最近邻数目，设平衡时R=R0，由平衡条件dUdRue2Z九+R0R20e-Rp=0,得P平衡时

21、的总相互作用为ue2p=Zke-Rop.R20U(Ro)=Nue2+Z九e-R0PNue2fp1R0R0IR0丿设离子晶体中,离子间的互作用势为-e2+，最近邻u(r)彳RRm土e2，最近邻以外Ir求晶体平衡时，离子间总的相互作用势能U(R)0证明：U(Ro)-m-1其中卩是马德隆常数，Z是晶体配位数解答(1)设离子数目为2N，U=N、e2+aRj以r二aR表示第j个离子到参考离子i的距离，忽略表面效应，则总的相互作用能可表示ijj(工表示最近邻)Rm=NRmv1其中卩=丫土一，为马德隆常数,+号对应于异号离子，-号对应于同号离子.z为任Ia丿ijR=R由平衡条件0离子的最近邻数目，设平衡时d

22、UZmbdrR2Rm+1=0,得ZmbRm-1R0Zmb于是，晶体平衡时离子间总的相互作用势能U=N0ZmbRm0+Z工Rm0NZb(m-1).Rm0(2)晶体平衡时离子间的相互作用势能可进一步化为m-1U=-(m-1)Nb一王一0m_Zmbm-1Pe2丿-(m1)Nb(卩me2m)m1Zm-1(mb)mm-1由上式可知Uoloc、亠m-1&一维离子链，其上等间距载有正负2N个离子，设离子间的泡利排斥只出现在最近邻离子之间，且为b/Rn,b,n是常R是两最近邻离子的间距,设离子电荷为q,厂、2Nq21n2(1)试证明平衡间距下U(R)=-厂1-；04脫R(n丿00(2)令晶体被压缩，使R0TR

23、0(1-5)，试证明在晶体被压缩单位长度的过程中外力作功的主项为c舟2其中(n-1)q21n2c=；R0求原子链被压缩了2NR5(512(、o12o6A=0得4812+6Idr丿(r13r7丿r=r0.于是有r=216o=1.12o0再代入u的表示式得由于|u(i)|是两分子间的结合能，所以8即是两分子处于平衡时的结合能,o具有长度的量纲，它的物理意义是，o是互作用势能为0时两分子间的间距.13.如果离子晶体中离子总的相互作用势能为U(r)=NZ九e-/p4兀8r0求晶体的压缩系数，其中九,P为常数,Z为配位数.解答压缩系数k等于体积弹性模量K的倒数，即k=丄.KR0NR2Im2Z九eR0P9

24、VI2兀8R3p2000式中R0为平衡时相邻原子间的距离，由平衡条件0，得Uq2ZXe-R0P2兀8R3p200即e-R0P=ppq22兀8ZKR00由以诸式得k=NR209V：0uq2ZXe-R0p2兀8R3p20018U8V00NUq212pR0个对称矩阵.14取一AxAyAz立方体积元，以相对两面中点连线为转轴,列出转动方程，证明应力矩阵是解答如图2.21所示,在弹性体内取一立方体积元，体积元边长分别为Ax,Ay,Az,C点的坐标是x,y,z.对于以前后两面中心AB为转轴的转动，上下表面上的应力T形成了力偶,左右两表面上的应力T也形成了力偶，体积元绕AB轴转动的转动yxxyQTAzAzT

25、AzAy(T+yzAy)AxAy+TAxAy-(T+存Ay)AxAz-TAxAzyzQy2yz2zyQy2zy2Q20AB基中0是体积元绕AB轴转动的转动角，I是体积元绕AB轴转动的转动惯量,其值为ABABI=pAxAyAzf(Ay)2+ABI1212由上式可知，当Ax,Ay,Az趋于0时，转动惯量IAB更快地趋于0,于是转动方程化为(QT)(QT)T+yzAy+T-T+zyAy(yzQy丿yz(zyQy丿因为应力的梯度不能突变,所以当趋于时,由上式可得+T=0zyyzzy同理可得二T,Txzzxxyyx由此可知,应力矩阵tTT_TTT_xxxyxzxxxyxzTTT=TTTyxyyyzxyyyyzTTTTTTzxzyzzxzyzzz是一个对称矩阵15.六角晶体有5个独立的弹性劲度常数c=c,c=c,c=c,c=2(c-c),c其他常数为零，取a轴与x112223135544662112233,轴重合,取c轴为z轴,弹性波在xy平面内(任意方向)传播,试求三个波速;对应三种模式的质点的位移方向解答按照已知条件,六角晶体的弹性劲度常数矩阵为 ccc000-111213c12c11c13000c13c13c33000,c=(c一c)000c44006611120000c44000000c66c12+c12一c11x66y