相似三角形的应用举例

1、 相 似 三 角 形 的 应 用 举 例 孝感市孝南区朋兴学区 冷晓霞知识点：1、理解并掌握相似三角形的基本性质： 相似三角形的对应边成比例； 相似三角形的对应边之比=相似三角形的周长之比=相似三角形对应高（中线或角平分 线）之比=相似比k； 相似三角形的面积之比=相似比k的平方； 2、学会运用三角形相似证明角的相等（或求度数）、线段的相等（或求长度）、线段的比例关系等，进而分析线段之间的函数关系（包括自变量的取值范围） A方法指导：1、通过乘积式（或比例式）确定相似三角形：采用三点定型法：E 例如：如图ABC中，M、N分别为AB、AC上的点，D 要证明ADABAEAC时，可以化乘积式为比例式

2、： ： 或： CB 然后：分别观察比例式的两个前项AD、AE和后项AC、AB，看它们分别确定的三个点： A、D、E和A、C、B，是否形成两个可能相似的三角形，若可能，则证明这两个三角形 相似； 若不可能，则观察比例式的左边AD、AC和右边AE、AB，看它们分别确定的三个点：A、 D、C和A、E、B，是否形成两个可能相似的三角形，若可能，则证明这两个三角形相似； 若不可能，则可以利用与比例式中相等的线段替换之，再运用中的方法； 另外，有时也可能利用与比例式中相等的比替换之，再运用中的方法；通过乘积式（或比例式）确定相等的线段： 要确定a=b，除利用以前的全等以外，可以利用相似三角形对应边之间的比

3、例关系，设 法证明而得到；通过相似三角形确定线段长度（或角的度数、图形坐标、图形的面积或周长）之间的函 数关系（包括自变量的取值范围）。尤其是有关运动变化动点、动图问题，要善于观察。 当重合部分的形状、交点的内外位置、图形所在的坐标象限位置等，发生变化时，就要 分类考虑。三、训练题：1、下列说法错误的是（ ） A、等边三角形都相似 B、等腰直角三角形都相似 C、矩形都相似 D、正方形都相似C如图，在RtABC中，ACBC，A=30，作CDAB于D，则BCD与ABC的周长之 比为（ ）EAAC A、1:2 B、1:3 C、1:4 D、1:5D墙DAFECOBAFCBFEDCBDBEDBA（第4题

4、图）（第6题图）（第5题图）（第2题图）（第3题图）在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，BE:EC=1:2，AE交BD于F，则BFE与DFA 的面积之比为（ ） A、1:2 B、1:4 C、2:1 D、4:14、某一时刻，电线杆AB的影子落在墙DE和地面上，同时1.2m的标杆影长3m。已知墙上 的影子CD=4m，地面上的影子BD=6m，则电线杆的高度为（ ） A、6.4m B、4m C、7.6m D、19m如图，EF是ABC的的中位线，将AEF沿中线AD方向平移至AEF位置，是EF与 BC边重合。已知AEF的面积为8，则图中阴影部分的面积为（ ）OOOOOO A、8 B、16 C、24 D

5、、326、如图，AB为 O的直径，AC交 O于E，BC交 O于D，且CD=BD。则下列结论：AC=BC； AE=BE；CEAB=2BD，其中正确的是（ ）OOOO A、 B、 C、 D、如图，ABC内接于 O，ADBC于D，且AC=5，CD=3，AB=4，则 O的直径长为（ ）QDAAA A、 B、3 C、5 D、7CAEEDOMFCBCBAPCBDBFCBD（第7题图）（第11题图）（第10题图）（第9题图）（第8题图）C如图，D、E、F分别是ABC的边AB、AC、BC的中点，则下列说法错误的是（ ） A、ABCFDE B、ABC与FDE的相似比为2:1 C、ABC与FDE的周长比为2:1

6、D、FDE 与ABC的面积比为2:1如图，在正ABC中，点D、E分别为BC、Ac上的点，且BD=BC，CE=AC，连接BE、AD，交于点F，连接DE。则下列结论：AFE=60；DEAC；CE=DFDA；AFBE=AEAC。其中正确的有（ ） A、1个 B、2个 C、3个 D、4个如图，在四边形ABCD中，B=D=90，MPBC于P，MQAD于Q，则的值为（ ） A、1 B、 C、 D、A如图，在RtABC中，C=90，在斜边AB上并列相连有三个正方形，边长从左至右依次为a、b、c，且正方形的上部的顶点恰好在ABC的边上，则（ ）FEMNP A、b=a+c B、b=ac C、b=a+c D、b=

7、2a+c（第12题图）CB如图，在等边ABC中，点P为中位线MN上任意一点，BP、CP的延长线分别交AC、AB于点E、F。若（a0）， 则ABC的边长为（ ） A、 B、 C、 D、填空题：ODAyA13、如图，ABC中ABBC，AB=4cm，BC=3cm，过C 作CDAB，连接AD，当CD= cm 时，以A、C、D为顶点的三角形与ABC相似。CADAFMECPOOOxBDDGKCBDABDCBCBBAEC（第18题图）（第17题图）（第16题图）（第15题图）（第13题图）（第14题图）如图，直线y=kx-2（k0）分别与y轴、x轴、以及双曲线y=（x0）交于点A、B、 C，作CDx轴于D。

8、若OAB与DCB的面积之比为4:1，则k= 。OOOO如图，梯形ABCD中，ADBC，且AD:BC=2:3，连接AC、BD交于点O，则COD与AOD 的面积之比为 。如图，ABC内接于 O，AD平分BAC，交BC于D、交 O于E。若AD=3，DE=1，则 BE= 。如图，ABC中，CDAB于D。给出下列条件：B=ACD；AB=AC+BC；CD=ADBD；AC=ADAB。其中能证明ABC是直角三角形的有 （只填序号）。OO18、如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E、F、O分别为边AB、CD、AD的中点，以O为圆心、OE为半径的EF分别交AB、CD于点E、F。点P是EF上的动点，连接OP，交线

9、段BC于K，过P作 O的切线，分别交射线AB于M、交直线BC于G。若=3，则BK= 。解答题：A如图，在ABC和ADE中，BAD=CAE，ABC=ADE。E写出图中两对相似三角形（不添加任何字母和辅助线）；请分别说明两对三角形相似的理由。DCB（第19题图）20、如图，在平行四边形ABCD中，AEBC于E，连接DE，点F在线段DE上，且AFE=B。DA 求证：ADFDEC；F 若AB=4，AD=3，AE=3，求AF之长。EBC（第20题图）AOOOO21、如图， O是ABC的外接圆，FH切 O于F，FHBC ,连接AF交BC于E，ABC的平分线BD交AF于D，连接BF。 证明：AF平分BAC；

10、DO 判断BF与DF的大小关系，并说明理由；CB 若EF=4，DE=3，求AD之长。HFE（第21题图）如图，已知抛物线y=x+bx+c与x轴交于点A（-4，0）和B（1，0），交y轴于点C。y求此抛物线的解析式；设E是线段AB上的动点，作EFAC，交BC于F，连接CE，当CEF的面积是BEF面积的2倍时，求E的坐标；OBE若P为抛物线上A、C两点之间的一个动点，过P作y轴的xFA平行线，交AC于Q，当P点运动到什么位置时，线段PQ的值C最大？并求此时P点的坐标。【参考答案：训练题：1、C； 2、C； 3、B； 4、A；（提示：太阳光是平行光，墙上的影子长度，等于其实际长度。） 5、C； 6、

11、B； 7、A； 8、D； 9、D； 10、A； 11、A；（提示：两个小正方形上面的直角三角形相似可得：） 12、B；（提示：A过P作PGAB、PHAC，则四边形MBGP、四边形NCHP均为平行四边形。 设ABC的边长为x，MP=BG=m，NP=HC=n，FEMNP MN=m+n，BC=x=2（m+n），等边PGH的边长为x=m+nnm PGAB PHAC （第12题图）GHCB = = 而PH=PG=x，CG=BC-BG=x-m，BH=BC-CH=x-n， +=+ 即 +=+ （）= 即（）= a= 即x=填空题：13、或； 14、；提示：A坐标（）0，-2），即OA=2；B坐标（，0），即

12、OB=，由DCBOAB，相似比为1:2得：BD=OB=，那么OC=；CD=OA=1，即D坐标（，1）C15、2:3； 16、2； 17、；18、或；提示：当点P在左边时，BGMATO，则AT:AO=3，由AO=1知，AT=3；DADOAO AB=2，AT=AB+BT=3EDA BT=1PMFPMFBBAADE 由BKAO知：BK:AO=BT:AT，即BK=KCGCGBKxOCOBECDDDCB（第16题图） 当点P在右边时，BGMDOT，TTA 同样可得CT=1，（第18-2题图）（第18-1题图）（第15题图）（第17题图） 由CKDO知：CK:DO=CT:BT，即CK=, 那么BK=BC-

13、CK=2-=M解答题：19、ABCADE；BADCAE；（略）； 20、 （略）；AF=（提示：在RtADE中，由勾股定理得：DE=3； 由ADFDEC得：=，则AF=。） 21、提示：连接OF，则OFFH，即OFBC，由垂径定理得：BF=CF，那么BAF=CAF； BF=FD（提示：BDF中：FBD=BFC+CBD=FAC+ABC=BAC+ABC； BDF=BAF+ABD=BAC+ABC，所以：FBD=BDF，可得BF=FD；） AD=（提示：FBEFAB，得BF=EFFA，即FD=EFFA，（EF+DE）=EFFA， 所以：（4+3）=4FA，得FA=，那么AD=FA-FD=-7=）。y=x+x-2；由S=2S知：=，则=； 由EFAC得，BEFBAC，则=