《高等数学》(经管类专业适用)教案第五章5.1.1教学设计

1、课题线性规划问题的图解法教学目标知识目标(1)理解线性规划的相关概念， 学会对实际问题的复杂数据通过表格的形式整理数据；(2)掌握对实际问题建立线性规划数学模型；(3)掌握用图解法求解简单的线性规划问题.能力目标通过图解法求解实际问题，培养学生数形结合以及建模思想，从而提 高学生对实际问题的分析能力和解决问题的能力.教学重点回可行域；在口行域内用图解法求得 线性规划问题的最优解教学难点对实际问题如何建立线性规划数学 模型，并给出解答教法学法讲授法、模仿学习法教学反思图解法解题是比较直观的，其重点也是在直角坐标系卜回可行域，演示讲解时强调可行域的角点，这些点往往是目标函数取得最大值和最小值的点教

2、学过程设计意图一、知识回顾在平面直角坐标系申表小出不等式所代表的平面区域.二、情境引入(新课引入)在经济学中，并不是所有变量之间的关系都是由等式表示的，考虑不 等式约束问题，假定目标函数是线性的，不等式也是线性的，这种问题就 称为线性规划问题.求解线性规划问题分两个独立阶段；A阶段把实际问题用数学符号 或公式予以表述；第二个阶段是关于这种问题的实际求解.通常发现阶段更为困难.基于这个原因，我们先从仅含有两个未知量的问题出发，从 不等式组的解集入手，并给出一种绘图求解法.四、合作探究(讲授新课)(一)、可行域回顾平囿直角坐标系下 不等式所代表的区域的 描绘，更好过渡新知识x yW 6【例1 在斗

3、面直角坐标系中回出不等式组x 2y w 8所代表的点x 0, y 0集.解：在平面直角坐标系中依次回出直线x 2y = 8和x y = 6 ,则满足上述不等式组的点集如图 5-1阴影部分所示：V图5- 1在平面直角坐标系中描绘不等式组所代表点集【例2】求解下列数学模型：约束条件：(s.t.)目标函数： max z 3x 4yx y w 6 x 2y 0, y 0 上述数学模型中 x,y的限制条件称为变量x,y的约束条件；求最值的式子称为 目标函数，由于都是一次的，又称该目标函数为线性目用例题讲解法引入线性 规划问题的相关概念， 使学生在例子更好理解 概念标函数.求解具体步骤如下：(1)画可行域

4、：满足所有不等式的点称为可行点，所有可行点的集合，称为 可行域.本题的可行域由例 1中的图5-1阴影部分所示.(2)画等值线：对于直线 z 3x 4y ( z为参数)，当 z取定值 时，z 3x 4y表示坐标平面上一簇平行线，称为目标函数的 等值线，且直线上的每一个点都有相同的目标函数值z.如当z取“0”时，称为目标函数的0等值线，此时3x 4y=0过坐标原点的直线(如图5-2虚线部分所示)，其中箭头表示目标函数值增大的方向.(3)求最值：由于是求最大值问题，目标函数的等值线按箭头方向移 动，到临界状态，即可行域的顶点 A处，目标函数取得最大值，继续往此 方向移动，目标函数值会更大，但与可行域

5、无交点可行域中的每一点代表该数学模型的一个可行方案，称为一个 可行解，使目标函数达到最优值(最大值或最小值，并且有界)的可行解称最优解.因此，该问题的最优解为临界等值线与可行域的交点：A (4, 2),最优值为20.x 0【例3】设x,y满足约束条件x y ，求z 4x 3y的最大值和最用图解法求解巩固所学内容2x y 1小值.解：作出可行域，如图 5-3阴影部分所示，可知 y 4x *过点B时 33纵截距最大， z 4x 3y取得最小值， min z 4x 3y 4 0 3 1 3, 过点 A 时纵截距最小，z在 A 处取得最大值，max z 4x图5- 3（二）、线性规划的图解法【例4】一

6、家小型出版公司决定出版两本教科书：经济学和运筹实例引入，首先对复杂 的数据通过表格形式整 理降低问题的难度，在 此基础上建模，然后用 图解法求解模型学，其中经济学的每本利润为 12元，运筹学的每本利润为 18元， 每本经济学打印12分钟，装订18分钟。每本运筹学分别需要 15 分钟和9分钟，共有10个小时可可用来装订. 问每种教材应该出版多少以 使利润最大？解：先通过列表对复杂的条件和数据进行整理，从而找出约束条件和 目标函数.解题过程如下：经济学运筹学资源限量打印（分钟/本）1215600装订（分钟/本）189630利润（元/本）1218表5-1（1）根据题目条件和数据设计如表5-1的结构并

7、填充数据（2）建立数学模型设出版公司出版经济学x本，运筹学为y本,利润为z元.目标函数：max z 12x 18y12x 15y 600约束条件（st）：18x 9y 630 x, y 0（3）图解法求解模型的解注意求解步骤（4）根据题意进行作答:如图5-4所示：当0等值线12X+18y 0平移到可行域的边界点 M点时，等值线中的k取得最大值.容易计算 M点的坐标为（0, 40）.故当 x=0 , y=40 时，maXz =720运筹学为0本，利润为720元.即设出版公司出版经济学40本,（三）、线性规划问题数学模型例4的一般形式为：目标函数：maX（min）z GX1c2x2约束条件s.t.

8、a11x12X2ainXna21X1a22X2a2nXnIII(, (,CnXn 由 )b2ami X1am2X2Xi,X2,a mn Xn2m强调线性规划问题的数学模型形式III,Xn根据实际问题建立形如上述具有目标函数和约束条件的数学模型称为线性规划问题数学模型（简称线性规划模型），其中x （i 1,2,., n）称为模型的决策变量.【例5】某工厂生产情侣装，其中男服需要机工 6小时，手工3小时； 生产女服需要机工 5小时，手工4小时，生产一件男服可得利润 90元，生 产一件女服可得利润 75元.该工厂的生产能力上机工最多280小时，手工最多140小时，男服产量不能超过 40件，求男女服各

9、生产多少件时所获得 利润最大？解:把实际数据转化为表的形式，如表5-2所示：男服女服资源限量机工（小时/件）65280手工（小时/件）340 140产1（件）& 40表5-2该例题是典型的资源分配问题高踞砌版赛利润（元/件）9075目标函数maxz 90 +75x2设男服生产为X1件，女服生产为X2件，利润为在z,建立数学模型如下:约束条件为：6x1 5x2 2803% 4x2 140 x 1 40 x20图解如图5-5所示:易求得交点 A的坐标为（40, 5）,当0等值线：90 x1 75x2 0移至过A点时，z取得最大值为90 40+75 5=3975 （元）. 四、课堂练习1.用图解法求

10、解线性划问题.目标函数：min z 2x y TOC o 1-5 h z x 2y12约束条件（St） :乂、/3xyox,y 0目标函数：maxzxy通过适时的课堂练习及 时巩固所学知识，学会 积极地参与数学学习活 动约束条件（S.t.） :2x y 10 x, y 02.央视为改版后的 非常6+1栏目播放两套宣传片. 其中宣传片甲播 映时间为3分30秒，广告时间为30秒，收视观众为60万，宣传片乙播映 时间为1分钟，广告时间为1分钟，收视观众为20万.广告公司规定每周 至少有3.5分钟广告，而电视台每周只能为该栏目宣传片提供不多于16分钟的节目时间.电视台每周应播映两套宣传片各多少次，才能使得收视观 众最多？