3裂纹尖端的能量释放率

1、y第三章裂纹尖端的能量释放率本章介绍裂纹扩展的能量平衡理论。利用裂纹尖端的能量平衡研究裂纹的扩展规律，是由Griffith(格里菲斯)在1921年提出的。能量平衡理论认为：当裂纹体扩展时所释放的弹性应变能等于或超过维持裂纹扩展所吸收的表面能时，无需另加载荷，裂纹就会发生失稳扩展。3-1Griffith能量平衡理论1921年，Griffith!由研究玻璃的实际强度出发，利用能量理论分析了物体内的细小裂纹对脆性断裂的作用。Griffith研究了图3-1所示的厚度为t的平板模型：首先在板的上下两端施加均匀的拉应力，处于平衡状态后把上下端固定，构成能量封闭系统，如图3-1(a)所示；然后，设想在板内沿

2、与x方向开一长为2a的贯穿裂纹，2a的长度远远小于板的长、宽尺寸，因此可视为“无限大”板，如图3-1(b)所示。yAoBXIHIIIHII(a)(b)图3-1Griffith研究能量理论模型裂纹切开前，AB连线上下两表面处具有均匀的拉应力=；沿AB连线切开后，AB上下两表面成为裂纹的自由表面，原来作用在此表面上的拉应力=消失为零，同时此y两表面发生相对张开位移,v=v-v，如图3-l（b）所示。在此过程中，由于张开位移与shangxia拉应力方向相反，则消失掉的拉应力对此张开位移做负功，使板内储存的应变能减少，此即为裂纹扩展所释放出的能量。记此减少的应变能为U（其下角标一表示此应变能为减少），

3、则有3-l)U=4a-vtdx02yshang由式（2-13），并参照图2-2，取9=0=0，0=兀、r=a-x、r=a+x、r=x，考2ll2虑平面应力状态，有裂纹上表面位于x坐标处的位移3-2)2a2x2v=shangE将=和式（3-2）代入到式（3-1）,积分得y4t2fa兀ta22a2x2dx=EoE兀2A24Et3-3)yy式中，A=2at为裂纹的单侧自由表面的面积。另一方面，由于在裂纹处新形成了两个自由表面而吸收能量，即有表面能的增加，设Y为表面能密度，则两个自由表面总的表面能为T=2Ay（3-4）由于外载荷未做功，所以，图3-1（b）的开裂纹状态相对于图3-1（a）的无裂纹初始状

4、态的系统总势能为3-5)兀2A2口=-U+T=F+2Ay势能极值原理指出：总势能取极大值时使系统处于不稳定平衡状态，即当总势能满足如下的极大值条件时A=0竺0A23-6)裂纹处于不稳定平衡状态。2口兀2口兀2A将式（3-5）代入式（3-6）有-r0自然成立，再令鲁=-帶+2丫=0有C2A2Et2,3-7)式（3-7）表明：由于外载荷不做功，当裂纹扩展单位面积所释放的应变能恰好等于形成新自由表面所需之表面能时，裂纹正处于不稳定平衡状态，即裂纹处于临界状态；若需2,，即裂纹扩展单位面积所释放的应变能大于形成新自由表面所需之表面能时,裂纹就会失稳扩展而形成新的自由表面；若窪2,，即裂纹扩展单位面积所

5、释放的应变能小于形成新自由表面所需之表面能时，裂纹就不会扩展而处于静止状态。4,EtA若给定裂纹长度2a,由式（3-7）有裂纹处于不稳定平衡状态的临界应力3-8)若给定应力O，由式（3-7）有裂纹处于不稳定平衡状态的临界长度3-9)2,Ea=cO23-2Orowan理论对Griffith能量平衡理论实验证实，Griffith理论只适用完全脆性材料的断裂问题，实际上绝大多数金属材料在裂纹扩展前后裂尖处总是存在塑性区，裂纹尖端也因塑性变形而钝化，使Griffith理论失效。在Griffith理论提出二十多年之后,Orowan3.2和Irwin3.3通过对金属材料裂纹扩展过程的研究指出：裂纹扩展时在

6、其尖端附近要产生一个塑性区，该区域的塑性变形对裂纹的扩展将产生很大的影响，即当裂纹扩展时，系统释放的能量不仅要供给裂纹形成新自由表面所需的表面能，还要提供裂纹尖端产生塑性区所需的塑性形变能（通常称为：塑性功）。所以，“塑性功”有阻止裂纹扩展的作用。裂纹扩展单位面积时，内力对塑性变形所作的塑性功称为“塑性功率”用r表示。则对金属材料应用Griffith理论时，式（3-7）、（3-8）和（3-9）应修正为=2,+2r（3-10）2Etoc2E(,+r)a2E(,+r)3-11)3-12)O2y对金属材料，通常比丫达三个数量级，因而丫可以忽略不计。则上述三式可改写为,c2A2Etoc2EaC,o23

7、-13)3-14)3-15)yy此即为Orowan把Griffith理论推广到金属材料情况的修正公式。以上是针对平面应力状态讨论的，当平板很厚时，应视为平面应变状态，根据弹性力学理论，只要把上述公式中的E用E/1-V2）代替即得平面应变状态下的解答。3-3能量释放率与脆性断裂的能量准则能量释放率是断裂力学的重要概念之一，它是基于能量分析而提出来的，正如Griffith所指出的，裂纹扩展时所释放出来能量，提供了形成新裂纹表面的表面能。虽然对于一般金属，重要的不是表面能，而是塑性形变功，因为后者比前者大三个数量级，但无论如何，驱动裂纹扩展的力仍是扩展所释放出来的能量。由于它是由能量分析所得出的概念

8、，所以具有普遍适用的优点。以下从更广义的角度功能转换关系来研究裂纹扩展过程中的能量关系。设一裂纹体的裂纹面积为A，若其裂纹面积扩展了5A，在这个过程中，外载荷所作的功为5W，系统的弹性应变能增量为5U，塑性功增量为5A，裂纹表面能增量为5T。不考虑能量损失，根据能量守恒和转换定律有：系统内能的增加等于外力所作的功，即5W5UG时，裂纹将失去平衡而失稳扩展；当GG时，裂纹将不会扩展；当G，G时，ccc裂纹处于临界状态。能量释放率断裂准则也称为Griffith断裂准则。G和G的单位相同，c其国际单位为N-mi（牛顿/米）。在实际中，有两种特殊情况下的能量释放率G具有重要的作用，即恒定位移和恒定载荷

9、的情况。一、恒定位移情况如图3-2所示，含裂纹板受力P作用，产生变形A后两端固定，构成一个恒定位移的能量封闭系统。设裂纹体的裂纹面积为A，若其裂纹面积扩展了dA，此时，裂纹扩展过程中,施力点的位移无变化，即dA，0，故外力功的增量dW，0。则由式（3-17）有：(a)yy图3-2恒定位移情况G，IanA3-20)yy式（3-20）说明：系统释放的应变能用于推动裂纹扩展，裂纹扩展的能量释放率就是弹性y体的应变能释放率。中括号外下标表示恒定位移，即在保持不变时对裂纹表面积A求微商。在线弹性情况下，弹性体的变形能等于外力所作的功，即=CP式中，C为裂纹体的柔度，C=C(A)为裂纹面积A的函数。由d=

10、0和式(3-22)有d=PdC,CdP=0即CdP=PdC再由式(3-21)，并考虑式(3-22)、(3-23)和d=0有3-2-)3-22)dU=-dP,-Pd=-dP=-(CP)()=-P2dC2222C2将式(3-24)代入到式(3-20)有口A3-23)3-24)3-25)、恒定载荷情况如图3-3所示，含裂纹板受恒定不变的力P作用。若其裂纹面积扩展了dA，有施力点的位移变化dz0，且因dP=0有3-26)则其应变能的增量为dU=2Pd=2P(PdC,CdP)=2P2dC外力功的改变量为3-27)dW=Pd=P(PdC,CdP)=P2dC=2dU3-28)将式(3-27)、(3-28)代

11、入到式(3-7)有：WUU)AA(A丿P3-29)式(3-29)表明：在恒载荷条件下，用于推动裂纹扩展的能量是外力功扣除弹性应变能的“余能”。在线弹性条件下应变能与余能相等，即式(3-25)与式(3-29)有相同的结果是线弹性条件下的必然结论。y合写式（3-25）与式（3-29）有能量释放率的统一表达式,n,A=1P2竺2,A3-30)yy式（3-30）反映了裂纹扩展能量释放率与弹性体柔度之间的关系，称为IrwinKies关系。IrwinKies关系可用于柔度法实验标定试件的能量释放率G。注意，在一般情况下，能量释放率G应由式（3-17）计算。yy图3-3恒定载荷情况例题3.1如图所示，无限长

12、板条高为2h，当y=h产生位移v=v时上下两侧予以固0定。设x方向位移u不受约束，平面应变状态，试求能量释放率G。yjJhihxvo图3-4例题3.1图解：根据本题的约束条件，在裂纹尖端前方足够远的地方，可以略去裂纹对应力场的影响，即在该区域有均匀的应力、应变场，且=T=0和8=，对平面应变状态xxyyh18=QvQ+c）=0zEzxy12v=QvQ+)=*Eyzx2h考虑二0，综合以上两式有xEv=,=0zyy1V2h则在裂纹尖端前方足够远的地方有均匀的应变能密度1=2yy1W=2ijij裂纹扩展时，在裂纹尖端后方足够远的地方，可认为应力为零。因此，随着裂纹向前扩展面积A，应力场就相应的向前

13、平移A。也就是说，在裂纹尖端前方足够远的地方，均匀应力场区域减少了2h-A；而在裂纹尖端后方足够远的地方，零应力场区域则增加了2hA。因此，弹性体释放的应变能为“ZA八h(A)EvU=2h(A)w=1,2(h丿所以，欲求之能量释放率为UEv2G=lim=e1ATeA(1V2)h3-4能量释放率与应力强度因子的关系既然G是裂纹扩展的推动力，而K作为裂纹尖端附近应力场的唯一表征量自然也是裂纹扩展的一种推动力。他们之间的区别只是出发点不同，因此，G与K之间一定存在某种等价的联系。现以I型裂纹为例推导这种关系，并且这种推导过程也是计算能量强度因子的一般方法，具有一般性。考虑恒定位移(固定外边界)的情况

14、，如图3-4(a)所示，在裂纹长度为2a时ox轴上各点的应力(x,0)可由式(2-17)的第二式确定，即yKyy当裂纹尺寸从a扩展到a+da时，如图3-4(b)所示，原来oo,的拉应力(x,0)松弛到零，而1y位移从零变到v(r,兀)。由式(2-18)的第二式和=兀、r=da-x，有上表面位移为v=v（r,兀）=应力（x,0）在松弛过程中，同时在位移v（r,兀）上做负功，此即为裂纹扩展过程中弹性体释y放的应变能。设线弹性裂纹体的厚度为B则有AU-2-fda1vBdx-K空+1）BJda吓dx（3-31）I02y丿4卩兀0 x式中的2倍是考虑裂纹体有上下两个表面。对于恒定位移（固定外边界）的情况

15、，裂纹扩展的能量释放率就是弹性体的应变能释放率。所以G-lim-AU-da-oB(da)-limKK(，+1)Jdada04卩兀(da)0da-x,dxx3-32)da-xi(da)兀dx-，得x2IA丿*注意：limK-K和Jdadat000yy3-33)图3-4计算q与KI的关系模型(,+1)K2a8卩yy由式（2-10），式（3-33）可以被写成yGK2(3-34)式中E=a就发生失稳断裂，aVa则裂纹不扩展。11如果给定的应力为，且，V,，其G与a的关系由射线oC表示，则当初始裂纹半221长为a时，在G-a坐标系中对应于B点，此时的GVG，裂纹不扩展。只有当裂纹半长1c达到aa时，对应

16、图3-5中的C点，才满足G二G条件，这时裂纹处于失稳扩展的临界21c状态。总之，只有当裂纹扩展力大于常数值的扩展阻力R二G时，裂纹才会发生失稳断裂。C图3-5可以表示为更一般的形式，如图3-6所示。水平轴右侧为裂纹扩展增量a，左侧为裂纹初始长度a。对给定n和裂纹半长为a时，恰好对应K点有G=G，裂纹达到失11c稳扩展的临界条件。若给定应力，且，V,，裂纹半长仍为a，则对应图中的F点，2211表明裂纹扩展力小于裂纹扩展阻力，故裂纹不会扩展。但当裂纹半长达到aa时，对应21于K点，才满足裂纹扩展条件。以上讨论的是理想线弹性裂纹体情况。对于金属材料，通常在裂纹尖端附近存在着一个塑性区，由于材料的硬化

17、效应，裂纹扩展的阻力R随裂纹扩展而提高。也就是说，裂纹开始扩展，并不会立即导致失稳扩展而断裂。裂纹扩展的阻力R是裂纹扩展量a的函数,随a增加而增加，在R-a坐标系中，它不是一条水平线，而是一条曲线，被称为裂纹扩展阻力曲线或R曲线。如图3-7、3-8所示。图3-7金属材料平面应变条件下R、a曲线图3-8金属材料平面应力条件下R、a曲线在平面应变情况下，裂尖塑性区很小，裂纹尖端的三向应力状态使裂纹经少许扩展，R曲线就趋于平坦，见图3-7。当,=,，初始裂纹半长为a时，裂纹扩展力（推动裂纹扩展11的力）射线与R曲线的交点为K。在K处，满足条件G二R，裂纹开始扩展，当G沿着HKGR线增加时，由于，HK

18、线低于R曲线，故在该应力水平下裂纹不可能向前扩展。aa只有增大应力，例如从，增大到，当裂纹扩展a，G射线与R曲线在F点相切时，满12足条件G二R，竺三退（3-39）aa裂纹即发生失稳扩展。由于从F点开始，沿HF线的G一直大于R，故式（3-39）所表示的条件称为裂纹扩展失稳条件。当R等于常数时，即对应图3-5所示的情况，式（3-39）也退化为G二R。实验表明，在小范围屈服平面应变条件下，用Aaa2%的点作为裂纹失稳扩展的临界点，与用式（3-39）所确定的临界点相差不多，因此工程上常用Aaa=2%条件而不从R曲线的切点来确定裂纹失稳扩展的临界点。在平面应力条件下，由于裂尖存在较大的塑性区，裂纹在达到失稳扩展的临界点之前，有显著的亚临界扩展。裂纹扩展阻力R随裂纹扩展量Aa的变化如图3-8所示。这时