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1、2 二次型化为标准型的三种方法(2)如果存在，如何求C?定理 任何一个二次型都可以通过非退化线性替换 化为标准形。(1)若aii不全为零,设a110则上式可写成配方它是非退化的,代入后对y2,y3,yn的二次型.当aii不全为零时,继续上述方法.否则用下述(2)(2)若a ii=0 (i=1,2,n),但至少有一个aij0,设a120,则它是非退化线性的替换,代入后反复使用(1)与(2),可以在有限步内将二次型化为标准形.因为 x=Cy, |C|0y=Dz,|D|0则 x=(CD)z, |CD|=|C|D|0也是非退化线性替换.以上做法中,每一步都是非退化线性替换.因此可以找到一个非退化线性替

2、换化为二次型为标准形.定理 对任意对称阵A,存在可逆阵C使得CTAC为对角阵. 即任何对称矩阵合同于一个对角阵.上述定理的证明实绩上给出了一种化二次型为标准型的方法：配方法.1.若二次型含有 的平方项，则先把含有 的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线性变换，就得到标准形 . 拉格朗日配方法的步骤例1解含有平方项去掉配方后多出来的项所用变换矩阵为解:配方化简代入可得标准形为非退化线性替换矩阵为2.若二次型中不含有平方项，但是 则先作可逆线性变换化二次型为含有平方项的二次型，然后再按 1 中方法配方.解例3由于所给二次型中无平方项，所以再配方，得所用变换矩阵为用正交变换化二次型为标准形的具体步骤解step1写出对应的二次型矩阵，并求其特征值例()()9182-=ll从而得特征值step2求特征向量得正交向量组step3将特

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