自动控制原理：期末总复习

1、 第二章 控制系统的数学模型 线性系统的数学模型时域（微分方程）复域（传递函数的定义和性质） 结构图的等效变换与简化（变换的原则） 梅森公式及其应用 梅森(逊)公式 式中： 从源节点到任何节点的传递函数； 前向通路的总数； 第k条前向通路的总增益； 信号流图的特征式； 所有不同回路的增益之和； 所有互不接触的回路中，每次取其中两个回路的 回路增益的乘积之和； 所有互不接触的回路中，每次取其中三个回路的 回路增益的乘积之和； 所有互不接触的回路中，每次取其中m个回路的 回路增益的乘积之和； 第 条前向通道的余因子，等于 中除去与第 条前向通道相接触的回路增益项(包括回路增益乘 积项)以后的余项式

2、 。 梅逊公式的应用例2-20：试用梅逊公式求下图所示系统的传递函数 。回路3回路2回路1前向通道解： 动态性能和稳态性能 二阶系统的时域分析（欠阻尼） 线性系统的稳定性分析（劳斯判据） 第三章 线性系统的时域分析法 线性系统的稳态误差计算二阶系统的数学模型可表示为:其中： 是时间常数， 是阻尼比（相对阻尼系数）， 是自然频率（无阻尼振荡频率）。标准形式(单位负反馈)的二阶系统结构图如下：二阶系统的特征方程：特征根(二阶系统闭环极点)为： 完全取决于 两个参数。 阻尼振荡频率 衰减系数 欠阻尼例3-2：如图，要求系统具有性能指标：试确定系统参数 和 ，并计算单位阶跃响应的特征量 和 。解：由图

3、可求得系统的闭环传递函数为：式中： 由 得：由 得：劳斯判据 (代数稳定判据) 对于高阶系统，我们一般难以求得其全部闭环极点，因而不能直接利用稳定性的充要条件来判别系统的稳定性。于是人们就探索能否不求出极点，利用间接方法来判断系统的稳定性呢？ 为避开对特征方程的直接求解，1877年，由E.J.Routh提出了劳斯稳定性判据，1895年，A.Hurwitz 提出了赫尔维茨稳定性判据。 劳斯判据 把系统的特征方程写成标准形式： 列出劳斯表：其中：系数 的计算一直进行到其余的 值全部等于零为止。 劳斯列表每一列最后一个非零元素相等。 劳斯列表最后两行都只有一个元素。 每个偶数行的最后元素都是常数项。

4、 计算劳斯列表时，为了简化其后的数值计算，可用一 正整数去除或乘某一整行，这时，并不改变稳定性结论。几点说明 判断。根据劳斯判据，线性系统稳定的充分且必要条件是： 特征方程的各项系数全部为正值(必要条件)，并且劳斯表 中第一列所有项均严格为正。若劳斯表第一列中出现小于 或等于零的数值，系统就不稳定，且第一列各系数符号的 改变次数，代表特征方程的正实部根的数目。例3-5：已知系统的闭环特征方程为： ，试用劳斯判据 判别系统的稳定性。 解：(同行各元素乘以2)(同行各元素乘以9)结论：第一列各数值的符号改变两次 ， 因此，系统有两个正实部的极点，系统不稳定。劳斯稳定判据的应用例3-9：已知系统的特

5、征方程： ，试判断该系统有几个特征根位于与虚轴平行的直线 的右侧。解：令 ，代入特征方程，整理得以 为变量的 系统特征方程： 结论：第一列各数值的符号改变两 次，该系统有两个极点具有 正实部，即原系统有两个特 征根位于与虚轴平行的直线 的右侧。系统型别静态误差系数阶跃输入斜坡输入加速度输入位置误差速度误差加速度误差系统型别、误差系数、稳态误差与输入间的关系稳态误差计算解：利用叠加原理，可得系统的稳态误差为：例3-14：已知系统输入为 ，求0 型、 型、型系统的稳态误差。0 型系统型系统型系统 绘制根轨迹的基本条件和基本规则 参数根轨迹 正反馈回路和零度根轨迹 第四章 线性系统的根轨迹法 小结：

6、绘制根轨迹的步骤 标出零极点； 确定实轴上的根轨迹； 确定根轨迹的渐近线； 确定分离点和分离角； 确定出射角； 确定根轨迹与虚轴的交点； 绘制根轨迹。例4-5：设单位反馈系统的开环传递函数为 ， 试绘制闭环系统的根轨迹。 确定实轴上的根轨迹； 标出零极点；解：实轴上， 区域为根轨迹。 确定根轨迹的渐近线； 确定分离点和分离角； 确定出射角；由 可得：即：(舍去！) 确定根轨迹与虚轴的交点； 绘制根轨迹。系统的特征方程为：故根轨迹与虚轴不相交。参数根轨迹 前面讨论的系统根轨迹的绘制都是以根轨迹增益 为可变参量，这种根轨迹称为常规根轨迹。 从理论上讲，可变参量可以选择为系统的任何参数，如开环零点、

7、极点，时间常数和反馈系数等，这种根轨迹称为参数根轨迹，或广义根轨迹。 等效变换 前面介绍的相角条件、幅值条件及绘制根轨迹的各种规则都依然有效。 频率特性的基本概念 系统开环频率特性的极坐标图 乃奎斯特稳定判据和系统的相对稳定性 第五章 线性系统的频域分析法 系统开环对数频率特性的绘制 根据伯德图判断系统的稳定性则系统的幅频特性为：例5-4：二阶系统的开环传递函数：当取 时，系统的稳态输出 ，试确定系统参数 。解： 系统的稳态输出是指闭环系统的输出。系统的闭环传递函数：相频特性为：依题意有：其中：故有：解得： 系统开环幅相曲线的绘制 根据系统开环率特性的表达式可以通过取点、计算和作 图，绘制系统

8、开环幅相曲线。 概略开环幅相曲线应反映开环频率特性的三个重要特征： 开环幅相曲线的起点 和终点 开环幅相曲线与负实轴的交点设 时， 的虚部为零：即：或： 称 为穿越频率，而开环频率特性曲线与实轴交点的坐标值为： 开环幅相曲线的变化范围(象限、单调性) 开环系统典型环节分解和典型环节幅相曲线的特点是绘制开环幅相曲线的基础。绘制系统开环对数幅频特性的步骤 开环传递函数典型环节分解； 计算各典型环节的交接频率； 修正。 通过点 ，绘制斜率为 的低频段； 从低频段开始，随着 的增大，每遇到一个典型环节的 交接频率，就按上述方法改变一次斜率；例5-5：已知系统的开环传递函数为：试绘制开环系统的伯德图。解

9、： 开环传递函数典型环节分解：一个比例、一个惯性、 一个一阶比例微分和一个振荡环节组成。 计算各典型环节的交接频率； 惯性环节： 一阶比例微分环节： 振荡环节： 绘制低频段；所以，低频段的延长线经过 ，即 。 利用误差修正曲线进行必要的修正； 绘制各环节的相频特性，叠加后得到系统的相频特性。 处，斜率 处，斜率处，斜率 最小相位系统的对数幅频特性与相频特性之间存在着唯一 的对应关系。 根据系统的对数幅频特性，可以唯一地确定相应的相频特性和传递函数，反之亦然。 时，幅频特性斜率：相频特性：例5-7：已知最小相位系统的开环对数幅频特性的渐近线如 图所示，试写出系统的开环传递函数。解：由 可得：低频

10、段的斜率为：乃奎斯特稳定(乃氏)判据 闭环控制系统稳定的充分必要条件是：当 从 时，系统的开环频率特性 不穿过 点，且按逆时针方向包围 点 周， 为位于平面右半部的开环极点数。 若开环系统稳定，即 ，则闭环系统稳定的充要条件是：系统的开环频率特性不包围 点。 实际上，常只画 从 的部分，故上述乃氏判据中的 周应改为 周。闭环极点在 平面右半部的个数： 半闭合曲线(乃氏图) 穿越 点左侧负实轴的次数。半次穿越：开环幅相曲线起始于(或终止于)点 左侧 的负实轴。若沿逆时针离开(或终止于)负实轴， 记为半次正穿越；若沿顺时针离开(或终止于) 负实轴，记为半次负穿越。正穿越 ：随着 的增大，开环幅相曲

11、线逆时针(从上) 穿越点 左侧负实轴；负穿越 ：随着 的增大，开环幅相曲线顺时针(从下) 穿越点 左侧负实轴； 开环极点在 平面右半部的个数。判断：系统稳定；系统不稳定。例5-9：绘制开环传递函数为 的系统 的乃奎斯特图，并判断系统稳定性。解：起点：终点：系统稳定。例5-10：绘制 0型3阶系统幅相频率特性，并判别系统稳定性。解：起点：终点：系统在 右半平面上有两个极点，不稳定。思考：欲使系统稳定，该怎么办？根据伯德图判断系统的稳定性1. 乃氏图与伯德图的对应关系 乃氏图中单位圆对应于伯德图中 线； 乃氏图中负实轴对应于伯德图中 线； 乃氏图中单位圆以外对应于伯德图中 ； 乃氏图从上而下对穿过

12、负实轴 线段，相角增加， 称为正穿越，伯德图中 从下而上穿过 线，意 味着相角的增加，称为正穿越； 乃氏图从下而上对穿过负实轴 线段，相角减小， 称为负穿越，伯德图中 从上而下穿过 线，意 味着相角的减小，称为负穿越；伯德图对数幅频特性对数相频特性:剪切频率:穿越频率2. 对数频率稳定判据 闭环系统稳定的充要条件是：当 时，在开环对数幅频特性 的频段内，相频特性 穿越 线的次数 满足 。 为 平面右半部的开环极点数。半对数坐标下 的对数相频曲线 的确定 开环系统无虚轴上的极点时， 等于 曲线。 开环系统存在积分环节 时，需从 曲线 较小 且 的点处向上补作 的虚直线， 曲线和补作的虚直线构成

13、。 例5-13：解： 开环系统存在振荡环节 时，需从对数相频特性 曲线 点起向上补作 的虚直线至 处， 曲线和补作的虚直线构成 。 所以，系统稳定。 串联相位超前校正 第六章 自动控制系统的校正 串联相位迟后校正串联相位超前校正 基本原理：利用超前校正网络相角超前特性去增大相角 裕度 ，以改善系统暂态响应。 要求：校正装置最大超前角出现在校正后系统的剪切 频率 处。 步骤： 根据给定的稳态误差要求，确定系统的开环增益 ， 并按已确定的 绘制出待校正系统的伯德图； 计算相角裕度 ，根据给定的相角裕度 ，计算所需 要的相角超前量 ；为何需要加 ？ 串联相位超前校正 便是为了补偿被减小的相角裕度。

14、令 ，计算 ：若 则应考虑采用有源校正装置或两级网络。 确定未校正系统幅频曲线上增益为 处的频率， 此频率就是校正后系统的剪切频率 ； 求出相位超前校正装置的两个交接频率 画出校正后系统的伯德图，验算系统的相角裕度。若不 符合要求，可增大 ，并从第步起重新计算。 校验其他性能指标，必要时重新设计参量，直到满足 全部性能指标。例6-1：设型单位反馈系统原有部分的开环传递函数为：要求设计串联校正装置，使系统具有 及 的性能指标。解： 时， 待校正系统 的伯德图如 右图所示 (蓝色)。由 得： 由 得：为保证系统的开环增益不变， 应提高 倍所以，经校正后，系统的开环传递函数为：符合要求！例6-2：设

15、型单位反馈系统固有部分的开环传递函数为：要求设计串联校正装置，使得：由 得： 解： 时，待校正系统的伯德图如上图所示。 由 得：为保证系统的开环增益不变， 应提高 倍由 得： 解： 时，待校正系统的伯德图如上图所示。 取 ，由 得：为保证系统的开环增益不变， 应提高 倍所以，经校正后，系统的开环传递函数为：符合要求！串联相位迟后(滞后)校正 基本原理：利用相位迟后网络的高频段衰减特性。 要求：利用高频段衰减特性，降低系统剪切频率。从而 增大相角裕量 ，改善系统部分暂态性能，同时可以提高低频响应增益以改善稳态性能。 步骤： 根据给定的稳态性能要求，确定系统的开环增益 ， 并按已确定的 绘制出待校正系统的伯德图； 求出相角裕度 ；为何需要加 ？ 求出待校正系统伯德图上相角裕度为 处的 频率 ，则 即为校正后系统的剪切频率。 补偿迟后校正装置在 处的相角迟后。 求 值；令未校正系统的伯德图在 处的增益