高数3.2012考研讲座1014可导可微

1、2012数学讲座（1014）10讲. 导数定义是重，y0f（x0，记M（x2012数学讲座（1014）10讲. 导数定义是重，y0f（x0，记M（x0+x，y0+y，作图形的“割线” M0M无论x的绝对值是多少，yx总表示，“当自变量变化一个 时，函数值平变化多少”从几何上看则是割线M0M的斜率（函数在一点可导）如果令x趋于零，函数f(x)在点x0 f (x0 x) f (x0f (x) f (x0 )x，x 则称函数 f (x) 在点x0 可导；并把这个极限值记为 f (x0 ，称为 f (x) 在点x0 理解你首先要熟悉“增量商”这个词。当x趋于零时，动点M沿着曲线奔向 =（yx（xxyy

2、0 f （xx0割线方程（点斜式切线方程（点斜式理解（3， x 0 时， lim（yx）=f (x0)yxf (x0)+(x)（无穷小 y f (x0) x由此即可证明，函数在点x0可导，则一定在x0连续。进而自然有， 函数在点x0的邻近有定义。理解运用定理（2“极限存在的充分必要条件为左、右极限存在且相等”“函数在点x0可导等价于“左，右导数存在且相等分段函数在定义分界点x0（x0，f ；+导数定义年年考。典型模式之一为“确定分段函式中的参数值，使函数可导= = = axx 例试确定常数 a 和 b ，使函数 f(x)2x , x分析 f(x) x1的可导性。函数在一点可导必在该点连续，1l

3、imaxb lim x2 f(1即 a b= a(1h)b(1h)2 f(1) f(1) 故 a2b hhlimaxb lim x2 f(1即 a b= a(1h)b(1h)2 f(1) f(1) 故 a2b hh（1f（1）= 1 例设函数f(x) 在点a的邻近有定义，f(x) 在点a 可导的充分必要条件f (a 2h) f (a h) （A） lim hf (a 1) f (a（B）hhf (a) f (a h) f (a h) f (a h) （C）（D）h分析 （A）是单侧极限式，只能说明右导数 f(a) （B（D(B)，(C) 与可导不等价，实质在于，即便（B）或(C) 中的极限存在

4、，f (x) 在该点也“不存在不存请对比下例:（特殊情形，运用“一点可导”条件的必要性求极限f(a nh) f(a 例已知函数f(x) 在点x =a 可导，求 hf(a nh) f(a)(f(a mh) f分析 原极限hf(a) n f(a nh)f(a (mh)f (a) m=(n m)f =（画外音：我把上述恒等变形技术称为“添零项获得增量中心认为你一定会这f(3h) f(3) 例29具体已知 f (3)2，则 f(3)229 又具体如 f (x)可导 ，a 为常数，则 lim 1f (t r f (t r 2 f r0 a例若函数f(x) 恒满足条件 f(1 x)a f(x) ，且f (

5、0)b，数a0，b0 （A）f(xx1 （B）f (1分析 已知函数于一点可导，或显然，本题需要将 f (1) 的定义式向 f (0) 的定义式转化，利用 f(10a f(0) f(1h) f(1) lim f(1h) f(10) lim af(h)af af （Dhhh理解42（例某商品的需求量Q与价格p的函数关系为Q=apb 其中a和b为常数且a0 则需求量Q 对价格 p的弹性是 p dQ 分析 Qabpb（例某商品的需求量Q与价格p的函数关系为Q=apb 其中a和b为常数且a0 则需求量Q 对价格 p的弹性是 p dQ 分析 Qabpb1Q f(x h) f理解如果函数f (x)在区（a

6、,b内每一点可导则对应关系 x f(x) f (x。简称导数。这是用极限定义的函数。h1 f (x) 例，f (x) n1 x（A）（C）x x x 分析 这是用极限定义的函数，必须先求f(x) 表达式，任意给定一x ，(视为不变。) ，分母中的x2n x2n ，是自变量为n的指数函数。令n 求极限计算相应的函数值。鉴于指数函数分为两大类，把x给定在不同区间所可能的影响（潜台词：函数概念深化，就在这变与不变。哲学啊分别算1 x 时 f(x1 时 恒有 f(xf(1)1 ；f(1)0，故 f（10）= 0， f(1+0)f（1+0）0 ，函数在点1|x|而（B例函数f (x) lim( sint

7、 )x/(sintsinx)，求此函数的间断点sint分析 显然 x k ；任意给定x ，(视为不变。) ，这是1型极限 esinsint sinsinf(x) lim(1(sintsin ，其中， 1sinsinsinx xk, k 0, 1, 2, L，f (x)xlimesinx xx0 不存在。故 xk, k 1, 2, L，k0 esin*理解两个无穷小的商求极限，即是两个无穷小的比较。于是连续函f(x) 在点x0可导的充分必要条件是xx0 时，函数增量y是与x阶，或较x高阶的无穷小3 特殊情形。这时，增f(x)x 1cosxx设函数 f(x)，g (x) 有界，则 f(x) x =

8、 2x g 特殊情形。这时，增f(x)x 1cosxx设函数 f(x)，g (x) 有界，则 f(x) x = 2x gx（A）不存在极限（B）存在极限，但不连续（C）连续但不可导（D）可导分析 f（0）=0。是与xx 0 时，显然 f同阶的无穷小。比xx 0 时， f(xx = x g(x0 （Df(0)0 x21cosf (0) 0f(0) x 例设函数f(x)在点x = 0 的某邻域内有定义，且恒满足 | f (x)| x2，则点x = f (x（C）f (0（B）（D）f (0关系 0| f(x| x2x = 0 分析 因而 （Cf(0)0 x（画外音：对本题给一个反例 f(x) =

9、x2 sin(1x) ,它满足| f (x| x2说x0f(x是与x2 f(ah)1 limh 0 f (x)a 可导且 f(a*例ff(ah) 1, h0分析 这是1f1 a h) ef f hh0 f(ah) limf(ah) f(a) f1lim fh0 hfhf理解设函数 f (x) 在点x0 可导，且f (x0 ) f (x0 x) f (x04fx没有别的条件，可以试试体念符号（近朱者赤在x 0邻近，增，分子分母必定同号。进而在其右侧邻近，分子x为正，分只能为正，即恒有 f (x同理，在其左侧邻近，恒有f (x) f（x0不知道没有别的条件，可以试试体念符号（近朱者赤在x 0邻近，

10、增，分子分母必定同号。进而在其右侧邻近，分子x为正，分只能为正，即恒有 f (x同理，在其左侧邻近，恒有f (x) f（x0不知道各函数值间谁大谁小吧。要玩，你总得多方练习，先规则熟记于心11讲. 认识典型不可f（x）| f（x）| 的图形特点，能函数在一点x0可导，其导数值也就是函数图形在点（x 0，f (x 0)）处的切线斜率。于 ，则函数图形还可能有切线，竖直的切线。比如y|x|0例f(x) x3 与 g(x) bx2 都通过点(1, 0)(1, a 1 b 1 c 1 分析 曲线过点(1, 0) a1 ，bc函数 f(x) 与 g(x的图形在 (1, 0) 所f(1) g例 40 设曲

11、线 f(x) xn 在点（1, 1）处的切线与 x 轴的交点为(n, ；则lim f(n) 1/e f(1) ny xn在点1）的切线方程为 y 1n(x1x 111nn 1f(n) lim 11交点为1 0,，故nn n典型的不可感y =x。这是一个分段函数。还原成分段形式x = 01，左导数是 1y| sinx| 在点x0y| lnx| x= 1 连续函数在相邻的两个零点之间不变号。如xxy = sinxy = | sinx |5y x3 与 y| x3| 在x0yy x3 与 y| x3| 在x0yx3x00，图形有水平的切线横（00，x = 0重零f(x)恒为正或恒为负的区间上，y|f

12、(x)| 和曲yf(x) 的光性是一致的。只有f (x) 的零点处，才可能出现曲y = f (x) 光滑而曲线y = | f (x) | 不例若函数f(x) 在点x =a可导，（A） f (a0 f (a（C） f (a) 0 f (a|f(x| x a （B）f (a0 f (a（D）f(af (a（A）xa连续函数“一点大于0则一段大于0D都错；只有选（B。（画外音：如果用代数语言，f (x)f(a) 0f (a) 0a f(x的“若函f(x) 在点xa| f(x) | xa 不可导的充分必要条件是，af (x) 的单零点深A= “A“C连续A连续=B不连续。所以有结论： 连续函数与不连续

13、函数的和一定不连续推理的关键在于，逆运算减法可行（极限存在A + 不存在B= 不存在C ，可导A +(连续)不可导B(连续)不可导C。ysinxx0 yxsinx 也不可导。函数 f| 的不可导点是函数为“和”结构。无论是sin x的不可导点或cos x的不可导点，是f 的不可导点。即x =与x=k+/2 ，k= A B A (连续)B 比如 y = x x0与“和”的情形相比，积的逆运算不一定可行A0C/A B 61f(x在点x0f(x0) 0g（x）在点x0y = f (xg（x）在点x 02（*43）f(x) x1f(x在点x0f(x0) 0g（x）在点x0y = f (xg（x）在点x

14、 02（*43）f(x) xag(x) xa连续而不可导，试证明函数 F(x) f (x)g(x) x = a 可导的充分必要条件是 f (a) = 0.证明 先证充分性，设 f (a)= 则 F (a)=F(a) lim F(a h) F(a) f (a h)g(a h) hh lim (f(a h)f(a) lim g(a h) f hF (x) x = a 可导而 f(a0 f(xx = a g(x) F(x) x = a f(af例设函数f(x)可导，F(x) f(x)(1|sin x|)，则f(0)0是F(x)在x = 0 处可（A）（C）（D）既非充分又非必要条件x 0 分析 1s

15、in是“可导函数 导。由上例结论知应选2|x3 x| 函数 f（B）2，可导函数分函数具“积”结构。 f点x1，x2 = 1（ （By = f（u）u = （x）y = f（x，f f 有间断点或(连续)不可导点，这些“病12讲. 求导熟练过大高等数学感觉不好的考生，第一原因多半是不会或不熟悉求导（1）用定（2）求导基本公 7要注意宏观总结：常函数的导数为 0（函数幂函数1 次，故n次多项式的n阶导数为常数，n+1 0 ；题目中最常遇到是 y = x ，y = x 1的导数；指数函数e x是“求导算子的不动点“函数”ln x与反正切的导数都是有理分式。x + 时，ln xsinxcosx（3）

16、和、差、积、商函数求导法则 (af (x) bg(x) af (要注意宏观总结：常函数的导数为 0（函数幂函数1 次，故n次多项式的n阶导数为常数，n+1 0 ；题目中最常遇到是 y = x ，y = x 1的导数；指数函数e x是“求导算子的不动点“函数”ln x与反正切的导数都是有理分式。x + 时，ln xsinxcosx（3）和、差、积、商函数求导法则 (af (x) bg(x) af (x) bg( f (x)g(x) f (x)g(x) f (x)g g(x) f (x)g(x) f (f (x) f 2f (x)（dy f (u) （4）复合函数求导法则y f(u), u 则（5

17、）幂指型函数yu(x)v(x)取对数求导法先取对数得， lny= v(x)lnu（6）参数式所表述的函数y x x ，且导函数有参数式用参数式确定的函数 y y ）公vC vL u1 nn（求函数的导数，第一设问是，我“对什么类型的函数对初等函数求导，要点是学会熟练地对初等函数作结构分析。应该设问（步步设问“是对复合结构求导还是对四则运算结构求导 对含有多个变量（有参变量）“是对表达式中的哪一个变元复合函数求导算例 f 1 d1x1f ( ) x分析 x1d11u x f (u)x8f (u) f)令即22f(3x 2f (xarctgx2y 3x u 3xf (u)arctgu分3x 3x

18、f (u)24已知f(x) 是可导的奇函数，且 f (3)2，则 f (3)解 可导的奇函数，其导数是偶函数。实际上，奇函数满足 ff(3x 2f (xarctgx2y 3x u 3xf (u)arctgu分3x 3x f (u)24已知f(x) 是可导的奇函数，且 f (3)2，则 f (3)解 可导的奇函数，其导数是偶函数。实际上，奇函数满足 f(x) f(f (x) (f f (x) f (x)f (3)= f (3) 若 f (x f (x), ( x (, 0) 内满足 f (x0 f (x0，则在 (0, ) 内（A）f (x)（C）f (x)f (x)f (x)（B）f (x)0

19、, f (x)（D）f (x)0, f (x) 分析 与上例同样可算，可导的偶函数，其导数是奇函数逐阶求导，f(x)f (x为奇函数。f(x)C。反函数的导数 反函数的导数，是函数导数的倒数。（潜台词：各在对应点x0，y0d2y例若函数y=y (x) 单调、连续、可导，则其反函数存在，试dy(d2dy)分析 dy dy “要对变量y 求导，而y是x 的函数”因而要按复合关系 “y x y ”用链锁法则计算。x 是中间变元。即1) y dy (y)(例已知函数f (x)及其反函数都二阶可导，且f (x)kex，k 为常数，求f (x)的反d2数的二阶导dy分xxd2dy1) ( dy dydx

20、dy故kk其它求导算例xt，f (t)(2t1)ef(t) lim 设 xt式一点t （视为常数）求极限分xt，所f(t)te f (t)(2t 1x x t 9 x例函数y=y (x) 2y ty e 2t分析 t y2y y2 t2yyet y（ty2 (y2et)(1t2) 2(1 2yt)1y (t)2(1 x例函数y=y (x) 2y ty e 2t分析 t y2y y2 t2yyet y（ty2 (y2et)(1t2) 2(1 2yt)1y (t)2(12， 又 x (t) 122)9 ，求 f (10函数 f分19 n 将二次三项式作因式分解，得 f公式导数公式由于计算的是 f

21、(101x1 (x1)09100f (10)(1)(C1 (9!)9(x2)8经济应用计例设商品的需求函数为Q = 1005p ，其中Q ，p分别表示需求量和价格，如1 ，则商品价格的取值范围是 （10，20）分需求量Q对价格p的弹性 (10051005解不等式 |1Q 0p 20 ，就可以算得 p 例设某产品的总成本函数为 C(x)4003x 1 x2，而需求函数2，p（2）（3）（4）p x，dC(x) 3 解 （1）dR(x) x（2）R px100 x d(R C) 3 x（4）因为收益R=px，而p ，故xx，R pp21002 Rppp2 R 100*例设某产品的需求函数为Q=Q(

22、P) ，收益函数为R=PQ ，其中P为产品价格，Q) a 0 c0P0为EP= b 1 ，求P0 和 分析 RPQ QPQ（Q (P) 是单调减函数，导数为负。但又已知需求对价格的弹性为正，因而求导后1dQ1 P P (P) P(1PQa 0 c0P0为EP= b 1 ，求P0 和 分析 RPQ QPQ（Q (P) 是单调减函数，导数为负。但又已知需求对价格的弹性为正，因而求导后1dQ1 P P (P) P(1PQP (1 1)P 00bb0再由收益函数R = P dP(1EP PcQ P0113讲. 基本推理先记f (x)x = 0 连续， lim f(x) 1在xf (x) 1f(x) 在

23、点x0连续， x（1 在x0时，limf（x）= f（潜台词：由极限存在的充分必要条件（3， x信息（2，已知函数 f(x) x0连续，所以 lim f(x f0 ) （3（ ) f(x) f (0)f(x) lim f(x) f(0) f (0（常用技巧添零项获得函数增量或xx（4，(“) f (x) x最后一条没有进一步的结论，但这是体验极限符号的思维素养对比： 如果已知 lim f(x) 1x信息（3）*f(x)f(x) 在原点可导，0信息（4）*，商的极限为正数1 ，在x = 0的适当小的去心邻域内，商的符对比： 如果已知 lim f(x) 1x信息（3）*f(x)f(x) 在原点可导

24、，0信息（4）*，商的极限为正数1 ，在x = 0的适当小的去心邻域内，商的符，故分母 f(x0，即 f(0)0 f (x) 再对比f（x）x 分析 F（x）Ff（x，比如信息（3）得，F（x）在原点可导，故 f（x）=F（x）+ xx2 bx3 ，求常数 bc 例已知 x分x1 f (x) x2 bx c，连续，由已知极限得 lim f(x)0 f(1) ，实际计算f（11+b +c =f(x) f(1) xf (1) 2+b ，联解之， b= c= 2程序化的经典题在“求（分段）函数 f（x）的导函数，导函数的*例 63 设 ab 都是实常数，且 b 0，定义函数 f(x0 x，f ，f

25、，f x0不可微？有连续的导函数 f (x) *（4）在什么情况下 ，f (x) 可微但 f (x) ？*（5）在什么情况下 ，f (x)f (x在原点邻近有界，但 f (x) lim f(x)0 f(0)分x 0 f (x) 由于实数b0 x0 时，sin(xb) 或cosxb) 都是震荡因子0 （潜台词：无穷小量= 无穷小量解 （1）a 0 f(x) 00点间断。0断点（振荡间断0a 1 fx0 xa 解 （1）a 0 f(x) 00点间断。0断点（振荡间断0a 1 fx0 xa bb a1f(00 axa1 sin(xb) bxab1 cos(xb), x 是可导函数。且f (x) a1

26、 时，fx(画外音：要继导函数，先写出导函数的表达式。x0 x = 注意cos( xbx 0 时也是振荡的，而 ab1a1当b（3）a1|b| f (x)的两项在0点的右极限都存在，且都为（潜台词：有无穷小“磨擦因子”才能克制“震荡因子得到 0 又因f (0)=0 ，故(x)在0点右连续。f(x) 有连续的导函数1a 1|b| ，f (x)的前项连续，但后项保持震荡，有振荡间断点“连续 + 间断 = 间断 ” ，故f (x)在0点间断，不连续。具体又分为（4）与（5）两种情形 *（4）1a1| b| ab1 0 ，f (x)x 0振荡。即f (x。（5） a1| b| 时，ab 10 f (x

27、)cos (xb)，x0f (x) (画外音：例 62 的（4（5）都是很好的反例。函数可导，导函数不一定连续。（400年就有了。老老实实地例 64已知函数f（x）在xa时连续，且当x+时f（x）有极限A，试证明（1）用综合法走一步：本题即证，f（x）C（常数。）ba，b 上有界。那无穷的尾巴上怎么估计函 xA ，即 x + 时函数的绝对值无限靠近数 A这就是说可以取到充分大的数b ，使xb 时，恒有f（x）A+ a，b f（x）M mCC=maxA+14讲. 微分是个新起微分学研究函数的方法，是用函数的导数回头去研究函数。这和物理学用速度及加速度去研究物体运动是一个道理。微分则是运用导数研究

28、函数的起点。“能否把非线性问题线性化？”这是人们在CC=maxA+14讲. 微分是个新起微分学研究函数的方法，是用函数的导数回头去研究函数。这和物理学用速度及加速度去研究物体运动是一个道理。微分则是运用导数研究函数的起点。“能否把非线性问题线性化？”这是人们在经验基础上的自然思考。实际上，非线性即= + 尾项（非线性模型线性模型关键在于表示尾项，研究尾项！找到尾项可以被控制的 近模型yAx+ = yAxx如果能，即有 y A（常数）xo(xo(x表示较x高阶的无穷小，就称函数f (x )x0点可以微分，简称可微。记dy = Ax的线性主部是函数在点x0的导数 f (x0)；从而有y f (x0

29、)x ；y=dy+(x)；dyf (x0)x=f (x0)得到函数的一个新的（微局部地）f (x) f (x0) f f (x) f (x0) f 0)0)历史上，这个表达式称为余项的一公式 例 67设函数f(u)可导，y f(x2) 当自变量x在点 x 1取得增量x 0.1时，相应的函数增量 y的线性主部为0.1 ，则 f(1)分析 y的线性主部dy y(xf (u)2xy(12f 故 dyy(xdx0.1y(10.1 f (1f（x）记微分d f (x) d x 。但是不能忘了用微分产生等价无1 (x) ，就可以看出f (x0)0f (x0f (x00 是等价无穷小“若f (x)在x0可导

30、f (x0则 y 和 dy f用微分产生等价无1 (x) ，就可以看出f (x0)0f (x0f (x00 是等价无穷小“若f (x)在x0可导f (x0则 y 和 dy f，选择中心点x00，对常用函数计算，得到五个最常用的等价无穷系。要尽可能记熟这些常用的等价无穷小ln(1x) ； 1 x 1 1 x， x 0sin x 1 e；1cosx 1 x2（用别的公式推证。又称 1cosx （1）常用等价无穷小的拓展 若 (x) e(，sin(x)(x) 1ln(1(x) ，n 1 x4 1 1 xn（2）等价无穷小的差为高阶无穷小xsinx3/，xlnx（1+x2/（3）不同阶的有限个无穷小的线性组合是无穷小。它与其中最低阶的那个无穷小同阶x0 时，x23x 与x 同阶。实际上，x23xx（x+3例x 0时，下列无穷小量中，哪一个是比其它