解析几何全国卷高考真题

1、2015-2017解析几何全国卷高考真题21、（2015年1卷5题）已知M （x0,y。）是双曲线C: y22、（201522、（2015年1卷14题）一个圆经过椭圆 L 1的三个顶点，且圆心在164X轴的正半轴上，则该圆的标准方程为咯案】(x 3)2 y2 25【解析】设圆心为（a, 0）,则半径为4 a ,则（4 a）2 a2 22 ,解得a -,22uuuu uuurF1,F2是C上的两个焦点，若MF1?MF2 0,则yo的取值范围是（）（A）y二)3(B)(-且旦66(C)(D)(2,3（A）y二)3(B)(-且旦66(C)(D)(2,33空)3【解析】由题知F1（50）, F2（V3

2、,0）,2X0y21 ,所以uuuu uLmrMF1?MF2,解得当(.3X0,y0)?( .3X0,y。)=X2y233y21选A.考点：双曲线的标准方程；向量数量积坐标表示；一元二次不等式解法故圆的方程为(x 3)2 y2空. 24考点：椭圆的几何性质；圆的标准方程23、(2015年1卷20题)在直角坐标系xoy中，曲线C: y=上与直线y kx a 4(a0)交与M,N两点，(I)当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程；(II) y轴上是否存在点 P,使彳导当k变动时，总有/ OPM =OPN说明理 由.【答案】(I) Tax y a 0或& y a 0 (n)存在【解析】试题分析：

3、(I)先求出 M,N的坐标，再利用导数求出 M,N. (II)先作出 判定，再利用设而不求思想即将 y kx a代入曲线C的方程整理成关于x 的一元二次方程，设出 M,N的坐标和P点坐标，利用设而不求思想，将直 线PM PN的斜率之和用a表示出来，利用直线 PM PN的斜率为0,即可求 出a,b关系，从而找出适合条件的 P点坐标.试题解析：(I)由题设可得M(2/a,a) , N( 2无,a),或M( 272, a),N(2 Ja,a).y 1x,故y 2在x =2夜a处的到数值为 由，C在(2扬C)处的切线 24方程为y a Va(x 2品),即 Vax y a 0.2故y =在x=-272

4、a处的到数值为-品,0在(272a,a)处的切线方程为 4y aTa(x 2五),即 Vox y a 0.故所求切线方程为Tax y a。或反y a 0.(n)存在符合题意的点，证明如下：设P (0, b)为复合题意得点，M(x1,y1), N(x2,y2),直线PM PN的斜率分 别为ki,k2.将y kx a代入C得方程整理得x2 4kx 4a 0. TOC o 1-5 h z x, x2 4k,x1x24a.yi b y2 b 2kx1x2 (a b)(xi x2)_ k(a b) , , k1 k2.x1x2x1 x2a当b a时，有ki k2=0,则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角

5、互补，故/OPM=OPN所以P(0, a)符合题意.考点：抛物线的切线；直线与抛物线位置关系；探索新问题；运算求解能4、（2015年2卷7题）过三点A（i,3）, B（4,2）, c（i, 7）的圆交y轴于M, N两点，则 |MN |（）A. 2 7即=一整理,得=7所以椭|F| I BC2Ksic） aea 3圆离心率为2 = J J故选Ah 3考点：椭圆方程与几何性质.【思路点拨】求解椭圆的离心率问题主要有三种方法：（1）直接求得a，c的b值，进而求得e的值；（2）建立a，b，c的齐次等式，求得a或转化为关于e的 等式求解；（3）通过特殊值或特殊位置，求出 e .14、（2016年3卷16

6、题）已知直线l : mx y 3m V3 0与圆x2 y2 12交 于A，B两点，过A，B分别做l的垂线与x轴交于C，D两点，若AB 2代，则 |CD| .【答案】4E解析】试题分析；因为且图的半径为2招,所以圆心（0.0到直线咏+F+3阳=。的距离为解得班_tu直线解得班_tu直线的方程,以直线，的倾斜角为30 ,由平面几何知识知在轼册ABDC中，| CD |二上之 二4 , 考点：直线与圆的位置关系.【技巧点拨】解决直线与圆的综合问题时，一方面，要注意运用解析几何 的基本思想方法(即几何问题代数化)，把它转化为代数问题；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系得非常紧密，因此，准确地作出图形，

7、并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解 决.15、(2016年3卷20题)已知抛物线C： y2 2x的焦点为F ,平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点.(I)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明ARPFQ；(II )若PQF的面积是 ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程.一、一 ，一12【答案】(I)见解析；(n) y x 1.-I解析】试题分析；(I)设出与#轴垂直的两条直线,然后得出4人EQ五的坐标,然后通过证明直线,与直 线 改的斜率相等即可证明结果了式设直线J与X轴的交点坐标D(%o)品佣面积可求得M，设出.四

8、的申点J根据上与丈轴是否垂直分两种情田结合二%求解.1一 一F(-，0)试题解析：由题设 2.设l1：y a，l2：y b，则ab 0,且a2b2111abA( ,0),B(-,b), P( -,a),Q( -,b), R(-,) 22222 2.记过A，B两点的直线为l,则l的方程为2x (a b)y ab 0.3分(I)由于F在线段AB上，故1 ab 0.记AR的斜率为k1 , FQ的斜率为k2，则k1a b1 a2a ba2 ab生b k2 a,所以AR P FQ(n)设l与x轴的交点为D（x1,。），S ABF (n)设l与x轴的交点为D（x1,。），S ABF 则一 |b a|FD1

9、b a x1由题设可得21b 21 ca X1一, S2PQFa b|2 ，所以2（舍去），Xi设满足条件的AB的中点为E（x，y）.当AB与x当AB与x轴不垂直时，由kABkDE可得a bF(xX 11)a by2a by2而2 ，所以y x 1(x1)当AB与当AB与x轴垂直时，E与D重合，所求轨迹方程为2216、（2017年1卷15题）已知双曲线C：x2 2,（ a b点为A,以A为圆心，b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M , N两点，若 MAN 60 ,则C的离心率为【答案】2-1 3【解析】如图,AAOA a , AN AM, MAN 60 ,|ap fb, OP OA

10、2 |PA2 Ja2、b2.tanAP.tanAPOP3hb又 tan又 tana ,解得 a2 3b2-1 2/33 V-e-1 2/33 V-eb2112217、(2017年1卷20题)已知椭圆C：与2 1 a b 0 ,四点 a bP1 1, 1 , B 0, 1 , B 1，R 1，中恰有三点在椭圆C上.(1)求C的方程;(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A、B两点，若直线P2A与直线P2B的斜率的和为1 ,证明：l过定点.(1)根据椭圆对称性，必过 B、P4又P4横坐标为1,椭圆必不过P,所以过P2,P4三点将已0, 1 , P 将已0, 1 , P 1, 2代入椭圆方程得13,

11、解得a1 V1 Va 1 Va 12kP2 AKp2bm mm-i 1b2椭圆C的方程为:(2)当斜率不存在时，设l: x m , A m , yA , B m,Va所以所以l过定点2, 1【解析】得m 2,此时l过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足.【解析】当斜率存在时，设l：y kx bb 1【解析】A Xi , y , B X2 , y2一 y kx b联立 一 y kx b联立 x2 4y2 4。，整理得1 4k222_x 8kbx 4b 4 0 xixxix28kb1 4k2，4b2 41 4k2【解析】则kp2Akp【解析】则kp2Akp2By1 1y2 1x2 kx1 bx2x

12、1 kx2 bx1x1x2xx28kb2 8k 8kb2 8kb1 4k2 4b2 41 4k2一 8k b 1【解析】 1，又b 14 b 1 b 1【解析】b 2k 1 ,此时 64k,存在k使得 。成立.直线l的方程为y kx 2k 1当x 2时，y 12218、（2017年2卷9题）若双曲线C：: 4 1 （a 0, b 0）的一条渐近线 a b被圆x 22 y2 4所截得的弦长为2,则C的离心率为（）A. 2B A. 2B .庐 C .近2.33【命题意图】主要考查双曲线的性质及直线与圆的位置关系，意在考查考生的 转化与化归思想【解析】解法一：常规解法根据双曲线的标准方程可求得渐近线

13、方程为y bx ,根据直线与圆的位置关a系可求得圆心到渐进线的距离为V渐进线的距离为V3, 圆心到渐近线的距离为得e 2.解法二：待定系数法设渐进线的方程为y kx,根据直线与圆的位置关系可求得圆心到渐进线的距圆心到渐近线的距离为率与离心率-J圆心到渐近线的距离为率与离心率-J2kr，即/2 瓜,解得k2 1 k1k2 3；由于渐近线的斜关系为k2 e2 1,解得e 2.19、（2017年2卷16题）已知F是抛物线C：y2 8x的焦点，是C上一点，F的延长线交y轴于点.若为F的中点，则F .【命题意图】本题主要考查抛物线的定义及直线与抛物线的位置关系，意在考查考生的转化与化归思想运算求解的能力

14、【解析】解法一：几何法【知识拓展】本题从抛物线定义入手，定比分点求坐标，这是基础概念题, 课本习题常有练习20、（2017 年 2 卷 20 题）设O设O为坐标原点，动点M在椭圆C:2上 y2 1上，过M做x轴的垂线，垂2uur _uuur足为N,点P满足NP V2NM .求点P的轨迹方程;uuur(2)设点uuur(2)设点Q在直线x=-3上，且OPuuurPQ1.证明：过点P且垂直于 OQ勺直线l过C的左焦点F.【命题意图】椭圆， 定值问题的探索;运算求解能力【命题意图】椭圆， 定值问题的探索;运算求解能力【基本解法】(I )解法一：相关点法求轨迹：、uuuruuuur设 M X0,y0

15、, N X0,O , P x, y ,则：NP x X0,y , NM0, y()uuu uuuur_又 NP V2NM ,所以：x X0,yT2 0,y。，则：x X0,y 2y。.椭圆C的参数方程为：x 2cos （为参数） y sin设 M 2Ccos ,sin , N 2C cos0,sinx 72cos , y72 0,sin , 则uuuur 0,sinx 72cos , y72 0,sin , 则贝U： NPx . 2 cos , y , NMuuu -uuuur 一又 NP夜NM ，所以：x . 2 cos , y 2 sin则：x2 y2 2.(n)(n)解法一ULlrOP2

16、 cos , .2 sin设 P 2 cos , 2 sinuuuruuur,OQ3,必,PQQ 3,yi, F 1,0 ,则3 & cos , y1 & sin ,uuurPF1.2 cos , -2 sinuuu又OPuuurPQ 1,所以:、2 cos , .2 sin 32 cos , y1 ,2 sin即：3、2cos、. 2ysin 3.3 2 cos 2cos2、2 ylsin2sin21uuur uur 那么：PF OQ1 、- 2 cos , 一 2 sin3,y13 3 .2cos . 2ysin 0.所以:uuurPFuuurOQ .即过P垂直于OQ的直线l过椭圆C的左焦

17、点F。解法二：设 P x1, y解法二：设 P x1, y1uuruur,Q 3,y2 , F 1,0 ,则 OPXi，Yi ， OQ3以,uuruuuPQ 3 X1,y2 Yi , PF 1 Xi, Yi .uuu uur又OP PQ 1,所以:2x1，y13 xl y3x x12Vi y2y11.又 P x, y1在x2 * 4 y2 2上，所以:3xi % y23.0.0.又 PF OQ 1。y13,y23 3% y1y2uur uur 所以：PF OQ .即过P垂直于OQ的直线l过椭圆C的左焦点a 0, b 0）的一条渐近线21、（2017年3卷5a 0, b 0）的一条渐近线a b-

18、22方程为y且与椭圆X2%1有公共焦点.则C的方程为（）22A. Z L 18 1022xy4B. 1452C.-5D.【解析】二双曲线的一条渐近线方程为22又椭圆12飞22又椭圆12飞1与双曲线有公共焦点，易知c2.2a bc29a ba b 0）的左、右顶点分别22、（2017年3卷10题）已知椭圆C:与 4 1a b为A, A2,且以线段A 4为直径的圆与直线bx ay 2ab 0相切，则C的离心率为（）【解析】二.以AA2为直径为圆与直线bxay2ab0相切，圆心到直线距离等于半径,12ab a,a2 b2a 0,b 0 ,则上式可化简为23ba 0,b 0 ,则上式可化简为23b.

19、b2 a2c2 ,可得 a2 3 a22即与ae a 故选a23、（201723、（2017年3卷20题）已知抛物线C：y过点（2, 0）的直线交C于A , B两点，圆M是以线段AB为直径的圆.（1）证明：坐标原点。在圆M上;（2）设圆M过点P （4, -2）,求直线与圆M的方程.【解析】显然，当直线斜率为时，直线与抛物线交于一点，不符合题意.myA(Xi,yi) , B(X2,y2),联立:2xmy2 得 myA(Xi,yi) , B(X2,y2),联立:2xmy2 得 y2 2my24m16恒大于,yiy22m,yy24uir uuuOA OBX1X2(myi2(mV1V22)(my21)yi y22)2m(yi，2，、4(m1) 2 m(2 m)y2)4ui