高考数学一轮复习 热点难点精讲精析 8.6抛物线

1、PAGE PAGE 5 2014年高考一轮复习热点难点精讲精析：8.6抛物线（一）抛物线的定义及应用相关链接1抛物线的离心率=1，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线之间的距离，这样就可以使问题简单化。2焦半径它们在解题中有重要作用，注意灵活运用。例题解析例已知抛物线C的对称轴与y轴平行，顶点到原点的距离为5。若将抛物线C向上平移3个单位，则在x轴上截得的线段长为原抛物线C在x轴上截得的线段长的一半；若将抛物线C向左平移1个单位，则所得抛物线过原点，求抛物线C的方程。解答：设所求抛物线方程为(x-h)2=

2、a(y-k)(aR,a0) 由的顶点到原点的距离为5，得=5在中，令y=0，得x2-2hx+h2+ak=0。设方程的二根为x1,x2，则|x1-x2|=2。将抛物线向上平移3个单位，得抛物线的方程为(x-h)2=a(y-k-3)令y=0，得x2-2hx+h2+ak+3a=0。设方程的二根为x3,x4，则|x3-x4|=2。依题意得2=2，即 4(ak+3a)=ak 将抛物线向左平移1个单位，得(x-h+1)2=a(y-k),由抛物线过原点，得(1-h)2=-ak 由得a=1，h=3,k=-4或a=4，h=-3,k=-4。所求抛物线方程为(x-3)2=y+4，或(x+3)2=4(y+4)。（二）

3、抛物线的标准方程与几何性质相关链接1求抛物线的标准方程常采用待定系数法。利用题中已知条件确定抛物线的焦点到准线的距离p的值；2对于直线和抛物线有两个交点问题，“点差法”是常用法。如若是抛物线上两点，则直线AB的斜率与可得如下等式。注：抛物线的标准方程有四种类型，所以判断类型是关键，在方程类型已确定的前提下，由于标准方程中只有一个参数p，只需一个条件就可以确定一个抛物线的方程。例题解析例已知如图所示，抛物线的焦点为，在抛物线上，其横坐标为4，且位于x轴上方，到抛物线准线的距离等于5。过作垂直于y轴，垂足为，的中点为。（1）求抛物线方程；（2）过M作MNFA，垂足为N，求点N的坐标。思路解析：由抛

4、物线定义求p求直线，MN的方程解方程组得N点坐标。解答：（1）抛物线的准线为于是4+=5，=2抛物线方程为y2=4x（）点的坐标是（，），由题意得B(0,4),M(0,2),又F(1,0),.MNFA,.则FA的方程为,MN的方程为y-2=x,解方程组,得.(三)直线与抛物线的位置关系相关链接1.直线与抛物线的位置关系设抛线方程为,直线Ax+By+C=0,将直线方程与抛物线方程联立,消去x得到关于y的方程my2+ny+q=0,(1)若m0,当0时,直线与抛物线有两个公共点;当=0时,直线与抛物线只有一个公共点;当0时,直线与抛物线没有公共点.(2)若m=0,直线与抛物线只有一个公共点,此时直线

5、与抛物线的对称轴平行.2.焦点弦问题已知AB是过抛物线的焦点的弦,F为抛物线的焦点,A(x1,y1),B(x2,y2),则(1) y1y2=-p2,=;（2）（3）；（4）以AB为直径的圆与抛物线的准线相切。例题解析例已知抛物线方程为，直线过抛物线的焦点F且被抛物线截得的弦长为3，求p的值。解析：设与抛物线交于由距离公式|AB|=由从而由于p0，解得（四）抛物线的实际应用例如图，是通过某市开发区中心0的两条南北和东西走向的道路，连接M、N两地的铁路是一段抛物线弧，它所在的抛物线关于直线L1对称M到L1、L2的距离分别是2 km、4km，N到L1、L2的距离分别是3 km、9 kin （1）建立

6、适当的坐标系，求抛物线弧MN的方程； （）该市拟在点0的正北方向建设一座工厂，考虑到环境问题，要求厂址到点0的距离大于5km而不超过8km，并且铁路上任意一点到工厂的距离不能小于km求 此厂离点0的最近距离（注：工厂视为一个点） 解析：（1）分别以、为轴、轴建立如图所示的平面直角坐标系，则M（2，4），N（3，9）设MN所在抛物线的方程为，则有，解得所求方程为（23）5分 （说明：若建系后直接射抛物线方程为，代入一个点坐标求对方程，本问扣2分） （2）设抛物线弧上任意一点P（，）（23）厂址为点A（0，）（5t8，由题意得07分令，23，49对于任意的，不等式0恒成立（*）8分设，8.要使（*）恒成立，需0，即01