第2部分 专题3 强基专题4　立体几何的动态问题 讲义

1、 7/7立体几何的动态问题立体几何中的“动态问题”是指空间中的某些点、线、面的位置是不确定的或可变的一类开放性问题，解答此类问题应该动静结合、化动为静，找到相应的几何关系，具体可以有以下几种解决方法：1函数法：某些点、线、面的运动，必然导致某些位置关系或一些变量的变化.变量变化时会引发其他变量的变化，从而建立函数关系，将立体几何问题转化为函数问题来解.2解析法：我们常利用空间直角坐标系解决立体几何问题，即实现几何问题代数化.因此利用空间坐标系将空间图形中的若干元素坐标化后，借助向量进行运算和分析，是解决这类问题的常用方法.3等价转换法：动和静是相对的，在运动变化过程中，要善于寻找或构造与之相关

2、的一些不变因素，将一些变化的点、线、面进行合理转换，实现变量与不变量的结合.类型1以静制动(旋转问题、投影问题)【例1】正四面体ABCD的棱长为1，棱AB平面(如图)，则四面体上的所有点在平面内的射影构成的图形面积的取值范围是_eq blcrc(avs4alco1(f(r(2),4)，f(1,2)去掉与问题无关的面，将四面体看成是以AB为棱的二面角CABD(二面角大小一定)，用纸折出这个二面角，不妨将AB置于平面内，将二面角绕AB转动一周，观察点C，D在平面上的射影，可以发现点C，D在平面上的射影始终在AB的射影的中垂线上图1图2图3当CD平面时，四边形ABCD面积最大，为eq f(1,2)(

3、如图1)当CD平面时(此时点C(D)到AB的距离即为异面直线AB与CD的距离)，四边形ABC(D)面积最小为eq f(r(2),4)(如图2)，转动过程中C，D在平面上的射影从C，D变化到CD(如图3)，故图形面积的取值范围是eq blcrc(avs4alco1(f(r(2),4)，f(1,2).在解决立体几何中的“动态”问题时，需从复杂的图形中分化出最简单的具有实质性意义的点、线、面，让几何图形的实质“形销骨立”，即从混沌中找出秩序，是解决“动态”问题的关键.eq o(跟进训练)1.如图，直线l平面，垂足为O.正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2.点A是直线l上的动点，点B1在平面内，则

4、点O到线段CD1的中点Peq r(2)2从题图分化出4个点O，A，B1，P，其中AOB1为直角三角形，固定A，B1，点P的轨迹是在与AB1垂直的平面上且以AB1的中点Q为圆心的圆，从而OPOQQPeq f(1,2)AB12eq r(2)2，当且仅当OQAB1，且点O，Q，P共线时取到等号，此时直线AB1与平面成45角类型2动点轨迹问题【例2】如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，E，F分别为AA1，AB的中点，M是正方形ABB1A1内的动点，若C1M平面CD1EFeq r(2)如图所示，取A1B1的中点H，B1B的中点G，连接GH，C1H，C1G，EG，HF，可得四边形EGC1D

5、1是平行四边形，所以C1GD1E，同理可得C1HCF因为C1HC1GC1，所以平面C1GH平面CD1EF由M是正方形ABB1A1内的动点可知，若C1M平面CD1EF，则点M在线段所以M点的轨迹长度GHeq r(1212)eq r(2).空间中动点轨迹问题变化并不多，一般此类问题可以从三个角度进行分析处理，一是从曲线定义或函数关系出发给出合理解释；二是平面与平面交线得直线或线段；三是平面和曲面圆锥，圆柱侧面，球面交线得圆、圆锥曲线.很少有题目会脱离这三个方向.注意：阿波罗尼斯圆，圆锥曲线第二定义)eq o(跟进训练)2.在正方体ABCDA1B1C1D1中，点M、N分别是直线CD、AB上的动点，点

6、P是A1C1D内的动点(不包括边界)，记直线D1P与MN所成角为，若的最小值为eq f(,3)，则点P的轨迹是()A圆的一部分B椭圆的一部分C抛物线的一部分D双曲线的一部分B把MN平移到平面A1B1C1D1中，直线D1P与MN所成角为，直线D1P与MN所成角的最小值是直线D1P与平面A1B1C1D1所成角，即原问题转化为：直线D1P与平面A1B1C1D1所成角为eq f(,3)，点P在平面A1B1C1D1的投影为圆的一部分，因为点P是A1C1D内的动点(不包括边界)，所以点类型3翻折问题【例3】如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D，E，F为圆O上的

7、点，DBC，ECA，FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起DBC，ECA，FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥当ABC的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm3)的最大值为_cm3.4eq r(15)如图，连接OD，交BC于点G，由题意，知ODBC，OGeq f(r(3),6)BC设OGx，则BC2eq r(3)x，DG5x，三棱锥的高heq r(DG2OG2)eq r(2510 xx2x2)eq r(2510 x)，SABCeq f(1,2)2eq r(3)x3x3eq r(3)x2，则三棱锥的体积Veq f(1,3)SABCheq

8、r(3)x2eq r(2510 x)eq r(3)eq r(25x410 x5).令f(x)25x410 x5，xeq blc(rc)(avs4alco1(0，f(5,2)，则f (x)100 x350 x4.令f (x)0得x2.当x(0,2)时，f (x)0，f(x)单调递增，当xeq blc(rc)(avs4alco1(2，f(5,2)时，f (x)0，f(x)单调递减，故当x2时，f(x)取得最大值80，则Veq r(3)eq r(80)4eq r(15).三棱锥体积的最大值为4eq r(15) cm3.在解决立体几何中的“动态”问题时，对于一些很难把握运动模型规律的求值问题，可以通过

9、构建某个变量的函数，以数解形.eq o(跟进训练)3.如图，在直角梯形ABCD中，ABBC，ADBC，ABBCeq f(1,2)AD1，点E是线段CD上异于点C，D的动点，EFAD于点F，将DEF沿EF折起到PEF的位置，并使PFAF，则五棱锥PABCEF的体积的取值范围为_eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(1,3)因为PFAF，PFEF，且AF交EF与点F，所以PF平面ABCEF.设DFx(0 x1)，则EFx，AF2x，S五边形ABCEFS四边形ABCDSDEFeq f(1,2)(12)1eq f(1,2)x2eq f(1,2)(3x2)所以五棱锥PABCEF的体积为V(x

10、)eq f(1,3)eq f(1,2)(3x2)xeq f(1,6)(3xx3)令V(x)eq f(1,2)(1x2)0，得x1或x1(舍)当0 x1时，V(x)0，V(x)递增，故V(0)V(x)V(1)，V(0)0，V(1)eq f(1,3).所以V(x)的取值范围是eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(1,3).类型4动态最值问题【例4】在正四面体ABCD中，E为棱BC的中点，F为直线BD上的动点，则平面AEF与平面ACD所成二面角的正弦值的取值范围是_eq blc(rc(avs4alco1(f(r(2),3)，1)本例可用极端位置法来加以分析先寻找垂直：记O为ACD的中心，

11、G为OC的中点，则BO平面ACD，EG平面ACD如图1，过点A，E，G的平面交直线BD于点F.此时，平面AEF与平面ACD所成二面角的正弦值为1.由图形变化的连续性知，当点F在直线BD的无穷远处时，看成EF和BD平行，此时平面AEF与平面ACD所成二面角最小(如图2)，其正弦值为eq f(r(2),3). 图1 图2综上可知，平面AEF与平面ACD所成二面角的正弦值的取值范围为eq blc(rc(avs4alco1(f(r(2),3)，1) 在解决立体几何中的“动态”问题时，对于移动问题，由图形变化的连续性，穷尽极端特殊之要害，往往能直取答案.eq o(跟进训练)4长方体ABCDA1B1C1D

12、1中，AB2，BC1，AA12，P为该长方体侧面CC1D1D内(含边界)的动点，且满足tanPADtanPBC2eq r(2).则四棱锥PABCD体积的取值范围是()Aeq blc(rc(avs4alco1(0，f(2,3)Beq blcrc(avs4alco1(f(r(2),3)，f(2,3)Ceq blc(rc(avs4alco1(0，f(4,3)Deq blcrc(avs4alco1(f(r(2),3)，f(4,3)B如图所示，在RtPAD中，tanPADeq f(PD,AD)PD，在RtPBC中，tanPBCeq f(PC,BC)PC，因为tanPADtanPBC2eq r(2)，所以PDPC2eq r(2).因为PDPC2eq r(2)CD2，所以点P的轨迹是以C，D为焦点，2a2eq r(2)的椭圆如图所示：aeq r(2)，c1，beq r(21)1，椭圆的标准方程为：eq f(x2,2)y21.又P1(0,1)，联立eq blcrc (avs4alco1(x1,f(x2,2)y21)，解得yeq f(r(2),2).所以P2eq blc(rc)(avs4alco1(1，f(r(2),2)，P3eq blc(rc)(avs4alco1(1，f(r(2),2).当点P运动到P