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1、第三章 行波法与积分变换法一 行波法适用范围： 无界域内波动方程，等1 基本思想： 先求出偏微分方程的通解，然后用定解条件确定特解。这一思想与常微分方程的解法是一样的。关键步骤： 通过变量变换，将波动方程化为便于积分的齐次二阶偏微分方程。一维波动方程的达朗贝尔公式 行波法 结论：达朗贝尔解表示沿x 轴正、反向传播的两列波速为a波的叠加，故称为行波法。a. 只有初始位移时， 代表以速度a 沿x 轴正向传播的波 代表以速度a 沿x 轴负向传播的波4 解的物理意义b. 只有初始速度时：假使初始速度在区间 上是常数 ，而在此区间外恒等于0解：将初始条件代入达朗贝尔公式5 达朗贝尔公式的应用影响区域决定

2、区域依赖区间特征线特征变换行波法又叫特征线法6 相关概念7 非齐次问题的处理利用叠加原理将问题进行分解：利用齐次化原理，若 满足：则：令：从而原问题的解为双曲型方程 椭圆型方程 抛物型方程 特征方程例1 解定解问题解例2 求解解：特征方程为令：例3 求解Goursat问题解：令补充作业：解定解问题二 积分变换法1 傅立叶变换法傅立叶变换的性质微分性位移性积分性相似性傅立叶变换的定义偏微分方程变常微分方程例1 解定解问题解：利用傅立叶变换的性质例2 解定解问题解：利用傅立叶变换的性质2 拉氏变换法拉普拉斯变换的性质微分性相似性拉普拉斯变换的定义偏微分方程变常微分方程例3 解定解问题解：对t求拉氏变换什么时候选择傅里叶变换，什么时候选择拉氏变换呢？例4 解定解问题解：对x求傅氏变换对t求拉氏变换例5 解定解问题解：对t求拉氏变换对x求傅氏变换例6 求方程 满足边界条件 ， 的解。 解法一：解法二：对y求拉氏变换例7 解定解问题解：对t取拉氏变换x取傅立叶变换其中3 积分变换法求解问题的步骤对方程的两边做积分变换将偏微分方程变为常微分方程对定解条件做相应的积分变换，导出新方程变的为定解条件对常微分方程，求原定解条件解的变换式对解的变换式取相应的逆变换，得到原定解问题的解4 积分变换法求解问题的注意事项如何选取适当的积分变换定

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