近世代数 第4讲

1、第4讲 10等价关系与集合的分类 （2课时）本讲教学目的和要求：周知，映射是两个集合之间建立联系的一种方 法，利用这种联系来对两个集合进行比较，通过这种比较就能由一个 集合的性质去推测另一个集合可能有的性质。除了这种认识事物的方 法之外，有时也要把一个集合分成若干个子集，对各个子集进行分门 别类地研究或者对某些特殊的子集加以讨论，这种讨论有益于对原来 的集合的研究。这种以局部到整体地认识事物的方法，在高等代数中 已屡见不鲜，而在近世代数中更是不可缺少的，甚至是无处不有的。 本讲中将分成两个层次分别介绍集合的分类以及讨论集合进行分类 的一般原则一一等价关系。本讲中要求同学们能真正掌握集合的分类与

2、等价关系它们的内 在联系和互相转化的过程。本讲的重点和难点：（1）“集合分类”的定义（尤其是分类的三大特点）。（2）集合上的关系及等价关系（要求能辨别出是否等价关系）（1）上述两个概念的相互转化问题。（2）一个重要的实例一一模m的剩余类集合。本讲的教法和教具：本讲中仍采用投影仪辅助教学。在教学过程中， 由于其概念较多，内容也颇抽象，则需要耐心、循序渐进，将每个概念都讲透。本讲思考题及作业：思考题都穿插安排在教学内容之中，作业置后。一、集合的分类 例 1、设整数集 Z = . . . ,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,，并令A = n e Zn = 4q, q e ZA = n e

3、Z|n = 4q +1, q e ZA = n e Z|n = 4q + 2, q e ZA = n e Zn = 4q + 3, q e Z可知，A （i = 0,1,2,3）是整数集Z的一些子集，并具有以下特征:（1） A.。0（i = 0,1,2,3）（2） A. Pl A. =0Vi。j（3）Z = A UA UA UA = J A.i=0这三条性质说明，整数集Z恰好被分成一些（四个）两两不相交 的非空子集的并，这里的每个子集恰好由除以4余数相同的整数组 成。一般的，任取一个正整数m，都能将Z分解成m个两两不相交的 非空子集的并，使得每个子集恰好是由除以m余数相同的整数组成 的。特别地

4、，取m = 2时,Z则被分解成偶数子集和奇数子集的并。 例2、设M2（R） = a, ）|a e R;i, j = 1,2虹R上一切二阶矩阵组成的集合， 令A =0A =1A =a ) e M (R)1 秩(aA =0A =1A =a ) e M (R)|秩(a ) = 1b(a,b) 一 错，若4|a - b(仔细观察可知：土就是例1中的“除以4同余”的关系)例4、在M (R)中，定义气：(a，b)一对，若秩a =秩b2(a, b)错,若秩a。秩b(实际上，R2就是例2中的“秩相等”的关系) 例5、在z中，定义R3：(a,b)对,若b(a, b)错，若a b，R3不能将Z分类，因为3 2 n

5、 3与2同在一 类，即2与3在同一类n 2 3，这是不可能的.R4 : aR4b o a|b， R4不能将Z分类。因为2|4 n 2与4在同一类，但4 不能整除2 n 4与2不在同一类，导出矛盾.R5 :aR4b o （a, b） N 1，R5不能将Z分类。因（2,6）主1 n 2与6在同一类， （6,3）丰1 n 6与3在同一类，但（2,3） = 1 n 2与3不在同一 类，这是不可能的。上述的例子分析可知：不是用A的任何一个二元关系都能给A确 定一个分类；也就是说，能够给集合4确定分类的二元关系是需要具 有特殊性质才行。为此，我们必须研究下列特殊的二元关系。定义2、设是集合4上的二元关系，

6、如果具有以下三种性质：（1）反射律（反身性）：Va,e 4,aa（2）对称律（对称性）：Va,b e 4,当ab时必有ba ；（3）推移律（传递性）：Va,b,c e 4,当ab且bc时，必有ac。那么关系叫做4上的等价关系。并且当ab时，习惯称a与b等价。 从上述例子中可知：R1和R2都是等价关系，而R3 （不满足反身 性）、R4 （不满足对称性）和R5 （不满足传递性）都不是等价关系。我们已经知道，不是等价关系的关系不可能作为分类的手段，而 等价关系的重要意义正是在于它是造成分类的一般准则。下面讨论等价关系与集合的分类之间内在联系的重要事实.定理1：集合4的每个分类都决定了 4的一个等价关

7、系。证明：设Q = 气匚琲e /是A的一个分类，用O我们可以规定A上的 一个二元关系：ab o a与b在同一类里，显然是A的一个关系， 须证是等价关系。（1）反身性：Va e A,则有，e I使a e A ,故a与a同在人.中. aa。（2）对称性：Va,b e A,若ab,则有，e I,使a与b同在人中，当然b与a在A中ba .（3）传递性：Va,b,c e A,若ab,bc，故存在i, j e I,使a与b同在A中,b与。同在人 n b e A A A , /i j由分类的特性知A. = A. n a与c同在A.ac。定理2、集合A的任一个等价关系都可确定A的一个分类。证明：Va e A,

8、，令a = x e A|xa，如此确定的这些子集具有：（1）a 0 :由 a a n a e a；（2）a A b = 0，当a与b不等价时：若x e a A b n xa,xb，由 的对称性和传递性知ab，推出矛盾，所以a Ab = 0。（3）A = Ua: / Va e A n a e a c Ua。VaeAaeA.Q = a|Va e A是A 的一个分类。注意: （1）a b o a = bn ” ,/ a b n a e lbVx e an xa,由“传递性”n xb,:. x e b. a u b,又,/ b a n b e a n b u a，.： a = bu a e a = b

9、 n a e b :. a b(2)若a n b 0n a = b因为设 x e a n b n x e a即x a,又x e b即x b，由传递性推出 a b 再由（1）知a = b。由定理1、2可知：A的等价关系与A的分类是可以相互推导的， 但仍需要注意以下几个问题：（1）若先有A的一个等价关系由确定的分类若为Q1时，那 么用定理1由确定的等价关系2有j2。（2）若先有A的一个分类Q2，由Q2确定的等价关系是2，那么用定 理2,由2确定的A的分类若为Q时，则Q =Q。定义3:设Q是A上等价关系确定的分类，习惯上记Q=A/，并 称A/为A的关于等价关系的商集。因为A/=a|Va e A，那么

10、每个a叫做A的一个等价类，而a 叫做这个等价类的一个代表。而每类的一个代表组成的集合叫做A的 一个全体代表团。注：由于Vb e a，那么ba，这表明对等价类a来说，a中任何元 素b均可作为a的代表，即等价类与其代表元素的选取无关。在本讲的例1中，Q = Z /=A , A , A , A 而显然A = 0, A = 1，1012301A2 = 2, A3 = 3。但 4 e 00 = 4以及0 = -4 = -12 = . . ，所以在例1中Z/=0,1,3，而0,1,2,3是Z的关于的一个全 体代表团。思考题：你还能写出例1中的另一个全体代表团吗?一种重要的等价关系一一同余关系定义4、任取0

11、 n e Z，可以在z中确定一种等价关系R : Na, b e Z, aRb = n|a 一 b则称r为模n的同余关系，并将aRb记为a = b( n)(a 同余 b 模 n)由同余关系确定的分类中的等价关系为模n的剩余类。而由同余关系引导出来的商集ZR习惯上记为2 .在本讲的例1中，就是n = 4的同余关系，由此得到的分类为Z4 = 0,1,2,3，其中0 = ,一&4,0,4,8,= .,-7,-3,1,5,9,.= .,一6,-2,2,6,10,.= - 5,-1,3,7,11,.注：同余关系尤其是剩余类Z将是我们后续课程中常常出现的内容， 要求熟练掌握.课堂训练：1、在z中，哪两个整数

12、是模4同余的：3与7， -11与2， 21与-7，-9 与 15 o2、在z中，属于的整数是：16，-6， 20， -30o3、 在z4中，哪两个剩余类相等：-3与9； -12与32； -1与-10; -7与31 o思考题：1、For set a = a,b,c,d, give two partitions of A and the corresponding relationsSolution: Two partitions of A are q = a,b,c,d and corresponding equivalence relations are： 1a a, b11 b, a b,

13、b a，1c c, d d, c d, dc1.：2aa, b22 b c 2 c, d d，2cd, dc222、Whichof thefollowingisan equivalencerelationontheindicatedset, ifitis, give correspondingpartition.OnZ ,mn if m =阶OnZ ,mn if m-n is amultiple of 4.OnR, let b if a-be q(4)OnQ, ,nn if m-ne zOnR x R, let (a,b)(c,d) ifa 2 + b 2 = c 2 + d 2三、补充知识一一映射与分类、映射与等价关系之间的联系1、设是集合A上的一个等价关系n得到商集A/=a|a e A，作：b : A - A/，a 一 a，显然b是A到A/的一个满射，称a为 自然映射。2、设Q = A.匚Ai e I是集合A的一个分类，作：b : A Q， a A.， （如果a e A.），则b是满射，同时也称b为自然映射。3、设中:A B为一个映射，由中可定义A的一个等价关系P ：。P b。中(a) *(b)中由中确定了一个商集