载流圆线圈周围磁场分布

1、载流圆线圈周围磁场分布应.雨孟雨物理工程学院11级物理学类三班Email: HYPERLINK mailto:1240123245 1240123245摘要：本文第一次在直角坐标系中直接从磁感应强度的计算公式毕奥-萨伐尔定律出发，精 确求解了圆电流空间任一点磁场分布。并通过数值模拟，给出了圆电流周围磁场的空间分布 情况。关键词：载流圆线圈、椭圆积分、磁感应强度、数值模拟。引言圆电流的磁场分布是电磁学中一个重要而典型的问题，不少学者进行求解此方面问题时 一般采用矢势方法，而即使采用最为基本的毕奥-萨伐尔定律求解时，求解的也是简化后的 磁场在固定平面内的分布，而非整个三维空间内的分布。究其原因，在

2、于积分的复杂性。即 使求解磁场在平面内的分布，也涉及复杂的椭圆积分，因此对于磁场在三维空间任意处的分 布，很多学者避而不答。本文仅采用最为基本的毕奥-萨伐尔定律，通过一系列变量替换直 接在直角系给出了磁场分布的级数形式解。本文与己发文章闭合载流导线周闱磁感应强度的空间分布（物理学刊27期）、一个重要公式在电磁学中的应用161 （物理学刊29期）同属姊妹篇。第一篇文章提出了解决 该问题的一般方法，并推广到任意形状的闭合载流线圈，同时作为例子计算了过垂直载流圆 线圈环面中心直线上的磁感应强度。第二篇文章是对第一篇文章的进一步探索，运用椭圆积 分精确求解了载流圆线圈在其所在整个平面的强度分布情况。本

3、文是前两篇文章的更深一步 探索，最终精确求解了载流圆线圈在空间任意处的分布情况。通过这三篇文章，希望给大家 带来的不仅仅是问题的答案，更为重要的是将作者一步步探索问题的过程呈献给大家，希望 能给大家未来的学习和研究带来帮助。1 .载流圆线圈磁感应强度这里直接引用文章【5】、6】中的结果：BX 5 !尸xde_ 了 /?(/?-xcos6-zsin0)xdeIR(-ysmO) ,B. =x xdO 4万! 尸其中 r =+ = +）+ z - 2R（xcos 2+ z sin 0）2.积分公式求解分析式中的积分不难发现，积分的困难就在于分母的复杂性。而分母可以表示为下面 的形式：3dO(1 +

4、a sniO + b cos 0)2dO引入新的因此本文就先从最基本的积分形式入手。令Zo= J3引入新的 （l+-sin+bcose）2参量9,并满足tan=-,参量9,并满足tan=-,则a2/rL = J3 (1 + sin Z?cos 0)2dOd(0+(p)J L 2c （l + J（r+b- sm（0+0）2作第二次变量替换，引入角度变量。=3+0-m、数值变量R,并作替换律-Jcr+b2 ,则可得,3欠f , aT (1 +A - cos。)?写成一般形式，即曲 PW a (I-m2 smV)2 TOC o 1-5 h z 甘4/2 , k2 1 z n 13;z其中：P = =

5、(2 + 行 22 + k-2222对/。的进一步求解过程如下:； W . V dtJ t = suw | 1r1-xdta(l-m2 sin2 wV顺(l-t2yx(l-m2t21-xdt: X (1-/Z7- siir i/ydi/t = sm- x(-一)1 m- iI L 1一厂以上两式相减，考虑到cl - 1 广 7 /-（广，一2广 + 1）V（心一）=JtZUlp出nrt （1-尸网-仍）ZUlpz?72(/H2r4-2r+1) f nrr (1-sm2 /-x J i x：= xsm/?x _二i-nr 力 ,、：八-nrl-/suraa (l-r)2(l-/n-r)2 r(l

6、-sina)Ui m2 wz-smax-=xM()l-nr sin- a 1 - nr由此得到a (1-m2 sin。“)2=x f (1 - nr sm2 i/)2di/ + xA/(q,/7)1 - nr i1-nrCt=-rP) + nrM (a, fi)l-/?rL = tS 如前()对比式中出现的积分，引入参量/,匕并令_ 2r sinOdO r - ( cos OdO1 = J% = JI0 (l + osinO + bcos。)？ 0 (l + osinO + bcosC则由7 dO； ndy/ . z/0 + al + bl/0 + al + bl2bl i + Cll X0

7、(1 + qsin0+6cos0)2 a (1-m2sin2/)2 节，(l + osmO + /?cos。) A=J =00 (l + asin+Z?cos6)2其中：=2虫Q + k罕得到结果_a(pK(nua)-I0) _b(p KWi,a,)_ I。)7, rscr +lr -。-+Zr2 d77 Ry-IRy9r令。= d ；b = 一一，则对式整理，得到以下结果 R- + r + y- + - R- + 厂 +）广 + r-IRy9rb、=*rx 12(R- + x2 + y2 + f)-B产字xr x 。-xl2 - z/J71 (R2 + x2 + y2 +B：=改xr x4”

8、 (R2 + x2 + y2 + z2y以上结果便是求解得到的载流圆线圈周围任意处空间磁感应强度分布，当然上式还不 算是最终结果，因为式中所涉及的不完全椭圆积分的具体形式E（m,a，D）,K（mq,Q）还没有确定，以下便是对其具体形式的求解。首先确定参数的取值范围由b x tan（/）= = 得71 7T 71-石- 0 /? 12 +妃3. E(m,a,/3)、K(m,a,们的计算P fixE(m, a,) = J (1 - nr sm2 wVW = J (1 一 ，x sin2n y/)di/a- a 2 n.Qn=l Z - a又由于2/-1I2n = j sky/dy/ = -j si

9、n ”d(cos#)=-cos w sm2,z-1 w + (2/? - l)j sm2,/V cos2 wW =-cos x sin2n1 w + (2 - l)/2n_2 + (1- 2)7 新从而得到cossin2/V 2n -1=；+ ； 72n-22/?2/7_sin21111/ (2/? -1) suf-3 w(2 一 1)(2 一 3)cos( 227 - 2)+ 2/7(2/? - 2)2，42n(2n - 2)=5 虻匕冬耍W.+Qkw)+2n 2， 2)(2)!！(2)!！ 0=(2-M(2-(2S2)“瑚5 + 生里/0h (2)!(2一(2灯1)!(2)!！ 0+ .十

10、-cos p sinEE P) + 佥片(“ 2)将上式带入到式中，得到E(m,a,/3(2)!！ (2-l)!(2-(2U2)!K人DJLJLJL(2)!(2 (2k + l)!由于3 ,些亡X也己当(0 _ Q) _弟艾四亡n=i ji-o 2 n 2g(2S)Q_cos”sin2gi)f (1 - TwsinW) -11 f 2 J ,J(1 -脸3)如=扁(此*心)如dE(m,a,0) 1 pdm ？, (1 广 sinu)-J(l一7-surv) 2如)=、，十/，a从而可以确定出 、m 、 dE(m,a、/3)K (m,a,/3) = E(my a, ft) - mdm综上所述，已

11、是严格意义上的精确解。至此，载流圆线圈周围任意处空间磁感应强度 分布己由严格给出。4.结果分析虽然结果己由上文给出，但式结果依然比较复杂，先对其进一步简化。考虑到, I k2 , 山沪 (2 1)!(2 (2k + 2)!,疔 1八 .-Z1 nr nr . - (1 一 nr siir ay (1- + sin cp)-p 小 nr、 nrnr cos 、o = / J (1 _ - )+cos 9；:r)1 -nr 42 zl nr 广.-(1- +5.数值模拟综合上式、，用软件Matlab进行数值模拟，相关取值如下:/h = 12.5663706144x107 H厂/ = LA; R =

12、 0. Im首先对式中的旦进行数值模拟，由于目标函数攻是关于空间变量X、），、Z的三元 函数,实际模拟时本文采用降维方法：固定其中一个空间变量Z ,对目标函数进行三维模拟。 并通过令变量Z取不同的数值进行多次模拟，比较结果的差异，从而得到国的空间分布。当Z分别取0, 4, 10, 20时，磁场分量的分布如下列图所示。对式中的鸟进行数值模拟,当对式中的鸟进行数值模拟,当z分别取0,4,10,20时，磁场。.分布如下列图所示:40 40-43 .4340 40-43 .43同理，磁场札分布如下列图所示:*10860.4020.0?同理，磁场札分布如下列图所示:*10860.4020.0?参考文献:

13、赵凯华陈熙谋电磁学(第三版)M.高等教育出版社2012:245刘耀康导出圆电流的磁感应强度的简便方法J大学物理2007. 26 (7)王竹溪郭敬仁.特殊函数概论M.北京:北京大学出版社.2000:549张之翔电磁学中几个简单问题里的椭圆积分J.大学物理2002.21 (4)孟雨闭合载流导线周围磁感应强度的空间分布J.物理学刊2012. 27孟雨一个重要公式在电磁学中的应用J.物理学刊2012.29Distribution of magnetic field strength of electricround stringAbstract: The aiticle fiistly precisely solves tlie question of distiibution of magnetic field strength of electiic round stimg in everywhere of three-dimensionality duectly by Biot-Savaifs law in rectangular c